因式分解答案

类型一：因式分解的概念

(1)12xy ＝3x ·4y (2)m(x＋y －z) ＝mx ＋my －mz

33

(3)ax＋bxy －xy ＝ax ＋xy(b－1) (4)xy ＋xy ＝y(x＋x)

1．下列各式中，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？

32

3

2

(5)

2

2

(6)a－2ab ＋b ＝(a－b)

2

222

(7)a－b ＝(a＋b)(a－b) (8)x－x －6＝(x＋2)(x－3)

32

思路点拨：由于因式分解的对象是多项式，而12x y 是单项式，所以(1)不是；由于因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而m(x＋y －z) ＝mx ＋my －mz 恰恰相反，它是把m 与x ＋y －z 的积化为一个多项式，所以(2)不是；由于(3)的结果也不是整式的积的形式，而是将原多项式进行了部分的分解，所以(3)不是；(4)中等号右边的x ＋x 还可以提

3

公因式x ，它还没有分解完，所以(4)不是；(5)采用的是提公因式法，但它提取的是，这

不是整式，而我们要求提取的公因式应为整式，即单项式或多项式，所以(5)也不是；(6)、(7)、(8)均符合因式分解的定义，并且将等式右边的乘积算出来，其结果等于原式，所以(6)、(7)、(8)是因式分解．

解析：(1)、(2)、(3)、(4)、(5)不是因式分解；(6)、(7)、(8)是因式分解． 总结升华：

(1)因式分解是在整式范围内进行的．另外，要注意在什么数的范围内进行因式分解，若题目没有说

明，一般指在有理数范围内进行． (2)因式分解不能只分解多项式的某些项，变形的结果必须是化成几个整式的积的形式． (3)一定要把多项式的每个因式分解到不能再分为止。

举一反三：

【变式 1】下列从左到右的变形，属于因式分解的有( )

A 、(x＋3)(x－2) ＝x ＋x －6 B 、ax －ay －1＝a(x－y) －1

23232

C 、8a b ＝2a ·4b D、x －4＝(x＋2)(x－2)

思路点拨：本题考查因式分解的意义，考查对概念的辨析能力。要将各个选择项对照因式分解的定义进行审查。A 是整式乘法，显然不是因式分解；B 的右端不是积的形式，也不是因式分解；C 的左端是一个单项式，显然不是因式分解；D 是将一个多项式化成两个整式的积，符合因式分解的定义。 答案：D 。 总结升华：因式分解与整式乘法是一对互逆的运算．多项式的因式分解是把和差化为积的形式；而整式乘法是把积化为和差的形式，虽然都是恒等变形，但它们是互逆的两种过程．

2

【变式2】下列各式从左到右的变形, 属于因式分解的是( )

A 、a(a－b ＋1) ＝a －ab ＋b B 、a －a －2＝a(a－1) －2

2222

C 、－4a ＋9b ＝(－2a ＋3b)(2a＋3b) D 、x －4x －5＝(x－2) －9 答案：C

2

2

类型二：提公因式法分解因式

2

2

2．用提公因式法分解下列因式．

22

2

32

2

(1)21xy ＋7x y (2)－x y ＋3xy －12xy (3)x(x－y) ＋y (x－y)

22

思路点拨：(1)：当多项式的某一项和公因式相同时，注意不要漏掉1，即7x y÷7xy ＝1。(2)这个多项式的第一项为负，而括号内多项式的首项应为正，所以公因式为－xy ，注意括号内中的每一项都要变号．(3)把(x－y) 当作一个因式，利用提公因式法进行分解因式，但注意最后结果应是最简形式，能合并的一定要合并．

解析：(1)21xy ＋7x y ＝7x y(3y＋1)

3222

(2)－x y ＋3xy －12xy ＝－xy(xy －3y ＋12)

22222

(3)x(x－y) ＋y (x－y) ＝(x－y)[x(x－y) ＋y ]＝(x－y)(x－xy ＋y )

总结升华：在确定各项的公因式时要注意，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同的字母，各字母的指数取次数最低的。2：提出公因式后，剩下的项组成的另一个因式的项数应和原多项式的项数相同。

22

2

2

举一反三：

【变式 1】分解因式 (1) 3xy(x－y) －6xy (y－x) ， (2)3x(x－y) ＋2y(y－x)

222222

思路点拨：要找出3x y(x－y) 与－6xy (y－x) 的公因式。因为(y－x) ＝[－(x－y)]

222222

＝(x－y) ，所以要先把－6xy (y－x) 化为－6xy (x－y) 后再找出公因式：3xy(x－y) 。(2)因为(y－x) ＝－(x－y) ，所以公因式为(x－y) ．

解析：(1) 原式＝3x y(x－y) －6xy (x－y)

2

＝3xy(x－y) (x－2y) (2) 原式＝3x(x－y) －2y(x－y) ＝(x－y)(3x－2y)

总结升华：当公因式是多项式时，要注意符号问题，若需要改变括号内的字母顺序，应尽量改变偶次幂项括号内的字母顺序，若均为奇次幂项，则应保持首项系数为正． 当 n为偶数时，(x－y) ＝(y－x)

n n

当n 为奇数时，(x－y) ＝－(y－x)

n

n

2

2

2

2

2

2

2

2

【变式2】分解因式 15a(a－b) －10ab(b－a) (n为正整数) 。

2n ＋12n

解析：原式＝15a(a－b) －10ab(a－b)

2n

＝5a(a－b) [3(a－b) －2b]

2n

＝ 5a(a－b) (3a－5b) 。

2n ＋1

2n

【变式3】计算：(1) (2)如果 解析：(1)原式＝ (2)

＝12

，那么代数式

＝

的值等于多少？

＝ 2005

类型三：用平方差公式分解因式

3．对下列多项式进行因式分解：

2

2

(1) （2011江苏连云港）x －9 (2)1－25b

(3)xy －z (4)

222

思路点拨: 以上各式均满足使用平方差公式分解因式的条件，所以可直接利用公式法进行因式分解. 解析：(1)x－9＝

2

2

2

2

(2)1－25b ＝1－(5b)＝(1＋5b)(1－5b) (3) xy －z ＝(xy)

22

2

(4)＝

() －(0.1n)＝

2 2

总结升华：注意平方差公式适用于只有两项而且是两个数的平方差或者是可化为平方差的形式的两项式，因式分解要分解彻底——即每一个多项式都不能再分解为止。

举一反三：

【变式】把下列各式分解因式：

(1)－49＋x (2)4(x＋m) －(x－m) (3) x－x (4) x－y 解析：

(1)－49＋x ＝ x－49＝x －7＝(x＋7)(x－7) 或

(2)4(x＋m) －(x－m) ＝ ＝

＝(3x＋m)(x＋3m) (3)x－x ＝x(x

4

4

22

3

2

2

2

2

3

4

4

) ＝x(x＋1)(x－1)

2 2

2

2

2

2

2

2

(4)x－y ＝(x) －(y) ＝(x+y)(x－y ) ＝(x+y) (x＋y)(x－y)

类型四：用完全平方公式分解因式

2

2

2

2

2

4．把多项式(1)25p＋10pq ＋q (2) －x －4y ＋4xy (3) 9(p－q) －6(q－p) ＋1分解因式。 思路点拨：(1)此题目中含有两个字母，那么这两个字母同公式中的a 、b 含义是一样的，即25p 、q 是两个单项式且原式中是(5p)与q 的平方和的形式，中间一项是它们乘积的2

2

2

2

2

倍．(2) 此题没有明显的完全平方形式．但它是一个二次三项式，该式的前两项分别是x

2

的相反数、4y 的相反数，因此如果把负号提到前面来就可得完全平方式了．(3) 解这个题目时，一种可能就是忽略了p －q 与q －p 的问题，直接把它们看成一个整体，从而错解。另一种可能是注意到了它们的区别，但在符号上出现了错误，如把q －p 化成p －q 时，没有提

2

2

2

2

出负号，或者把(p－q) 变成(q－p) 的同时，又出现了变负的错误即写成－(q－p) 。

22222

解析：(1)25p＋10pq ＋q ＝(5p)＋2·5p·q＋q ＝(5p＋q) 。

2222222

(2)－x －4y ＋4xy ＝－(x＋4y －4xy) ＝－[x－2·x·2y＋(2y)]＝－(x－2y)

222

(3)9(p－q) －6(q－p) ＋1＝9(p－q) ＋6(p－

q) ＋1＝(3p－3q ＋1) 总结升华：运用完全平方公式分解因式时要注意两项是平方和的形式，中间一项是它们乘积的2倍，公式中的a,b 可以是单项式或多项式。

举一反三：

【变式】分解因式 :(x－1) ＋6(1－x ) ＋9。

222

解析：(x－1) ＋6(1－x ) ＋9

222

＝(x－1) －6(x－1) ＋9

22

＝[(x－1) －3]

22

＝(x－4)

2

＝[(x＋2)(x－2)]

22

＝(x＋2) ·(x－2) 。

2

2

2

类型五：提公因式法与公式法的综合应用

5．（2011江苏南通）分解因式：＝ ____________. 思路点拨：在分解因式时，一定先要认真观察，不要盲目下笔．通过观察发现多项式含有公因式解

解析： 总结升华：因式分解一般先考虑提公因式，然后再考虑用公式，并且要分解到底。

，因此先提取公因式

，余下的因式

又可以利用公式法继续分

举一反三：

【变式 1】 分解因式

(1)x －y ； (2)a b －ab ．

44222222

解析：(1)x －y ＝(x ＋y )(x －y ) ＝(x ＋y )(x ＋y )(x －y ) ；

32

(2)a b －ab ＝ab (a －1) ＝ab (a ＋1)(a －1) ．

4

4

3

【变式2】

(1)简便计算2004－4008×2005＋2005

222005

(2)已知a －2a ＋b ＋4b ＋5＝0，求(a＋b) 的值。

22222

解析：(1) 2004－4008×2005＋2005＝2004－2×2004×2005＋2005＝(2004－2005) ＝1

(2) a－2a ＋b ＋4b ＋5＝0变形为(a－1) ＋(b＋2) ＝0 ∴a－1＝0,b ＋2＝0

2

2

2

2

2

2

∴a＝1,b ＝－2 (a＋b)

2005

＝[1＋(－2)]

35

2005

＝－1

【变式3】把–16x y ＋24x y –9x y 分解因式。

24

思路点拨：首先这是一个三项式；其次各项有公因式x y ；最后为了适应完全平方公式

24

的形式，各项还要变号，为此提一个含有“–”的公因式–x y ：

2422

解析：原式＝–x y (16xy –24xy ＋9)

242

＝–x y (4xy–3) 。

总结升华：分解因式时有公因式的要先提公因式，

运用公式法分解因式时，首先从多项式的项数上区分选择哪种公式，然后再从形式上判断是否符合公式的特点，进而正确地进行因式分解。

46

24

【变式4】已知

，

，求

的值．

，它体现了

，进一点求出

的值．

，

，

思路点拨：根据完全平方公式有的关系，由题中给出的条件，即可求出 解：∵ ∴ 当 ∴

，

．

， 时，有

．

总结升华：要熟练掌握完全平方公式的结构特征，另外最后求值时，的平方根，是一对互为相反数的数，故结果应有两个值．

应是