抛物线的综合题及应用

抛物线的综合题及应用

考点一：确定二次函数关系式

对应训练

1

1．（2013•湖州）已知抛物线y=-x+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标．

点二：二次函数与x轴的交点问题

2

例2 （2013•苏州）已知二次函数y=x-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x

2

的一元二次方程x-3x+m=0的两实数根是（ ） A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的

2

一元二次方程x-3x+m=0的两实数根． 对应训练

2

2．（2013•株洲）二次函数y=2x+mx+8的图象如图所示，则m的值是（ ） A．-8 B．8 C．±8 D．6

考点三：二次函数的实际应用

例3 （2013•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式．

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

思路分析：（1）根据销售额=销售量³销售价单x，列出函数关系式；

（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；

（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．

解：（1）由题意得出：

22

w=（x-20）∙y=（x-20）（-2x+80）=-2x+120x-1600，故w与x的函数关系式为：w=-2x+120x-1600；

22

（2）w=-2x+120x-1600=-2（x-30）+200，

∵-2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．

答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．

2

（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）+200=150．解得 x^=25，x2=35． ∵35＞28，∴x2=35不符合题意，应舍去．

答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．

2

2

3

4

化简得：n-3n-4=0，解得n=4或n=-1．

∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）． 点评：第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标． 对应训练

2

4．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC． （1）求直线CD的解析式； （2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO； （4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

2

A．

B．（2，2）

C．2）

D．（2

1．C

2．（2013•滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．

2．解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm．

22

由题意得：y=x（90-x）³20=-20（x-90x）=-20（x-45）+40500 当x=45时，y有最大值，最大值为40500．

3

答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm．

6

3．（2013•日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）

（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式． （2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：

7

8

10

【备考真题过关】 一、选择题

2

1．（2013•大庆）已知函数y=x+2x-3，当x=m

时，y＜0，则m的值可能是（ ） A．-4 B．0 C．2 D．3 1．B

2

2．（2013•南昌）若二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）

2

A．a＞0 B．b-4ac≥0 C．x1＜x0＜x2 D．a（x0-x1）（x0-x2）＜0 二、填空题

2

4．（2013•宿迁）若函数y=mx+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．

2

5．（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax上，⊙P恒过点F（0

，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．

5．

1

6．4n

11

三、解答题

12

13

14

15

16

17

二次函数与相似

一、典例精析 考点一：二次函数与圆

9

3．（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－0)，点C(0，3)，点B是x轴上一

4点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C． ．．．．（1）求∠ACB的度数；

（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解： (1) ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ∴∠ACB=900 ．．．．(2) ∵△AOC∽△ABC ∴OC2=AO∙OB

99

∵A(－0)，点C(0，3)，∴AO= OC=3

44

9

OB ∴ OB=4 ∴B(4,0) 4

127

x+3 把 A、B、C三点坐标代入得 y=-x+

312

2

∴3=

(3) ①OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。 DH=

113OC OH=OB ∴D(2,) 222

4433

DG= ∴D(,)

5555

② BD=BO 过D作DG⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG=

2．（2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3

，. （1）求此抛物线的解析式；

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

18

解：（1

）解析式为：y=（2）存在

抛物线y=

2x-x „„„„„„3分 99

2x

x的顶点坐标是(2,，作抛物线和⊙M（如图），

设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0)

在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1,

CD = ∴

C (1,

设切线 l 的解析式为:y=kx+b(k?0)，点B、C在 l 上，可得：

⎧k+b=⎪

解得：

BC

的解析式为：k=b=y=x+⎨

⎪⎩-2k+b=0

∵点P为抛物线与切线的交点

⎧

⎪y=⎪由⎨⎪y=⎪⎩

2x-x99x+33

1⎧

x=-1⎪2⎪

解得：⎨

⎪y=1⎪⎩2

⎧x2=6

⎪⎨ ⎪y2=

⎩

∴点P

的坐标为：P1(-

1，

P2(6, „„„„„„8分 223

∵

抛物线y=

2xx的对称轴是直线x=2此抛物线、⊙M都与直线x=2成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线x=2的对称直线 l′(如图)得到B、C关于直线x=2的对称点B1、C1 l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x=2的对称点：

9P3(

，P4(-即为所求的点. 2∴这样的点P共有4

个：P1(-

19，P

2，P

3(，P4(- „„„12分 2219

13

3.（2011桂林）已知二次函数y=-x2+x的图象如图.

42

（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的 位置关系，并说明理由.

解: （1）由y=-

123bx+x得 x=-=3 „„„„1分 422a

∴Ｄ（３，０）„„„„2分

（2）方法一:如图1, 设平移后的抛物线的解析式为y=-

123

x+x+k „„„„3分 42123

则C(0,k) OC=k 令y=0 即 -x+x+k=0

42

得

x1=3

x2=3„„„„4分

∴

A(3，

B(3

∴AB2=3-32=16k+36„„„5分

AC2+BC2=k2+(32+k2+(32

=2k2+8k+36„„„„„„„„6分 222

∵AC+BC=AB

2

即: 2k+8k+36=16k+36 得 k1=4 k2=0(舍去) „„„„„7分

123

∴抛物线的解析式为y=-x+x+4 „„„„„8分

42

方法二: ∵ y=-

123⎛9⎫

x+x ∴顶点坐标 3,⎪ 42⎝4⎭

设抛物线向上平移h个单位,则得到C(0,h),顶点坐标M 3,∴平移后的抛物线: y=-

⎛

⎝9⎫

+h⎪„„„„3分 4⎭

192

(x-3)++h„„„„„„„„4分

44

20

当y=0时, -

14(x-3)2

+94

+h=0, 得

x1=3

x1=3∴

A(3

B(3„„„„„„„„5分

∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB ∴OC2

=OA²OB„„„„„„„„)

6分

h2=

3

3 得 h1=4,h2=0(舍去)„„„„7分

∴平移后的抛物线: y=-

14(x-3)2+94+4=-12

254(x-3)+4

„„„„8分

（3）方法一:

如图2, 由抛物线的解析式y=-

14x2+3

2

x+4可得 A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M(3,25

4

) „„„„9分

过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H, 则MH=3

∴DM2

=(

254)2=62516

CM2=MH2+CH2=32+(

25-4)2225

4=16

在Rt△COD中,CD

=5=AD

∴点C在⊙D上 „„„„„„„10分

∵DM2

=(

2524)=62516

CD2+CM2=52+22525625

16=(4)2=16

„„11分

∴DM2=CM2+CD2

∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM ∴直线CM与⊙D相切 „„„„12分

方法二:

如图3, 由抛物线的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M(3,

25

4

) „„„„9分 作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则MH=3, DM=25

4

, 定理得CM=

154

∵DM∥OC ∴∠MCH=∠EMD

∴Rt△CMH∽Rt△DME „„„„10分

∴

DEMH=MD

CM

得 DE=5 „„„„11分 由(2)知AB=10 ∴⊙D的半径为5

∴直线CM与⊙D相切 „„„„12分

21

由勾股

考点二：二次函数与相似形

4、(09安顺)如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 ⑴ 求抛物线的解析式；

⑵ 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

⑶ △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

5、（09年遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，73)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截

9得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

22

x=-1，

3、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。 (1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

(3) 连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

23

二、能力提升 1、（08昆明）如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C ,过点C的直线交x轴的负半轴于点D(－9，0) (1) 求A、C两点的坐标;

(2) 求证

直线CD是⊙M的切线‘

(3) 若抛物线y=x2+bx+c经过M、A两点，求此抛物线的解析式；

(4) 连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F。如果点P是抛物线

上的动点，是否存在这样的点P，使得S PAM:S CEF，若 存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。 (注意：本题中的结果均保留根号)

2.（

09长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连

0)、C(0，且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(-3，

相等．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2

）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与

△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

24

3、（09湖南怀化）如图11，已知二次函数y=(x+m)2+k-m2的图象与x轴相交于两个不同的点A(x1，0)、

B(x2，0)，与y轴的交点为C．设△ABC的外接圆的圆心为点P．

（1）求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标；

（2）如果AB恰好为⊙P的直径，且△ABC的面积等于5，求m和k的值．