复数三角形式二
复数三角形式二
引入:复数代数形式的四则运算我们已经掌握,用复数的三角形式计算复数的乘、除、乘方运算可使之运算简便。 1、 复数三角形式的乘法公式
设复数 Z 1=r1(cos θ1+jsin θ1) Z 2= r2(cos θ2+jsin θ2)
(cos θ1+jsin θ1)⋅∙ r 2(cos θ2+jsin θ2)=r1r 2[cos(θ1+θ2) +jsin(θ1+θ2) ] z 1⋅z 2=r 1
即:两个复数相乘,积的模等于两个复数的模之积,积的辐角等于两个复数的辐角之和。
上述结论,可以推广到有限个复数相乘的情况
Z 1·Z 2·Z 3…Z n = r(…r ( ⋅∙ r (1cos θ1+jsin θ1)2cos θ2+jsin θ2)n cos θn +jsin θn ) =r1r 2……r n [cos(θ1+θ2……θn ) +jsin (θ1+θ2……θn )]
2、 复数的乘方(棣莫佛定理
[r(cosθ+jsin θ)]n =rn (cosn θ+jsin n θ)
这即:复数的n (n ∈N )次幂的模等于模的n 次幂,辐角等于这个复数的辐角的n 倍,这个定理称为棣莫佛定理。 例1 计算。
2(cos π/12+jsinπ/12)·3(cos π/6+jsinπ/6) 【3+3i】
注:运算结果一般化为代数形式:
练习:计算: 1. (cos π/4+jsin π/4)* 2.
例2:计算[3(cosn/5+jsinn/5)]5 【-243】
3 [cos(-3π/4)+jsin (-3π/4)]
2(cos18゜+jsin18゜)*3(cos27゜+jsin27゜)
例3:计算(1+3j )6 64
练习:计算(1)[3(cos18゜+i sin18゜)]5
(2)2(cos π/4+i sin π/4)]
3、 复数三角形式的除法
设:Z 1=r1(cos θ1+jsin θ1) Z 2= r2(cos θ2+jsin θ2)
[r1(cos θ1+jsin θ1)]/[ r2(cos θ2+jsin θ2)]=
6
r
12
[cos(θ1-θ2) +jsin (θ1-θ2)]
即:两个复数像除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的
辐角减去除数的辐角 例4:计算 (1+j )÷[3(cos
练习:计算 (1)[12(cos (2)[
4、 复数r(cosθ+isinθ) (r>0)的n 个n 次方根为:r (cos
θ
n +i sin
3π4
+jsin
3π4
)] 【
63
j 】
π
3
+jsin
π
3
)]÷[6(cos
π
6
+jsin
π
6
)]
3(cos150o +jsin150o )]÷[2(cos120o +jsin120o )]
ϑ
n
)
例题与习题:
1.求复数─32+32i的六次方根.
2.已知w= (1+i)/(2─2i) 是复数z 的一个五次方根,求z 的辐角主值最大的五次方根
3.设z=2─2i , u=, 求u 的所有四次方根之积.
小结 : 本节主要内容是:(1)复数三角形式的乘除法及乘方、开方运算;(2)利用复数的三角形式讨论复数问题。
利用复数三角形式讨论问题,其优点在于:(1)可以运用复数三角形式的运算法则,如隶莫弗定理等,将复数的乘除及乘方、开方运算转化为模和辐角的简单运算;(2)可以充分利用三角函数中的种种变形技巧和公式来帮助解决问题。