第三节向心力的实例分析

第三节 向心力的实例分析

[

[一、转弯时的向心力实例分析

○理要点：

1、汽车、自行车转弯问题

汽车在水平路面上转弯，靠的是轮胎与路面间的静摩擦力。设汽车以速率v转弯，要转的弯的半径为R，则

v2v2

需要的侧向静摩擦力Fm。如该汽车与地面间侧向最大静摩擦力为Fmax，有Fmaxm得，转弯的最大

RR

速率vmax

FmaxR

，超过这个速率，汽车就会侧向滑动。 m

2、火车转弯问题

火车在转弯处，外侧的轨道高于内侧轨道，火车的受力分析如图所示，其转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。

设车轨间距为L，两轨道高度差为h，车转弯的半径为R，质量为M的火车在轨道上行驶。

由三角形边角关系可知sin由火车的受力分析可知tan

h L

F。

Mg

因为θ角很小，所以tanθ=sinθ。由于火车作匀速运动，其合外力充当向心力。所以

v2

MgtanM

R

解得：v○重拓展：

（1）若火车的速度v（2）若火车的速度v

ghR

L

ghR

，重力和支持力的合力恰好充当火车圆周运动的向心力，不需要挤压铁轨。 L

ghR

，重力和支持力的合力不足以充当火车圆周运动的向心力，火车挤压外侧铁轨。L

使外侧轨道对火车产生一个向里的弹力，补充不足的向心力。

（3）若火车的速度v

ghR

，重力和支持力的合力大于火车圆周运动的向心力，火车挤压内侧铁轨。抵消一L

部分重力和支持力的合力。

二、竖直平面内的圆周运动实例分析

○理要点：汽车过桥和竖直面内的圆周运动

1、汽车过桥问题

在汽车过拱桥时，汽车的向心力是由汽车的重力和路面的支持力来提供的。当路面对汽车的支持力为零时，汽车将脱离路面，因此，必须保证支持力N＞0，即汽车在最高点时速度的最大值是刚好重力提供向心力，即mg

υ2＝m，即该圆周运动的最大速度为v＝gr，当速度为该值时，汽车将由沿桥面切线方向上的速度（水平速

r

度）和只受重力作用，而做平抛运动。因此，汽车过拱桥时，速度应小于gr。

2、小球在绳和杆的作用下通过最高点问题

（1）在最低点，不论是线拉物体还是杆连物体，线或杆的弹力指向圆心（竖直向上），物体的重力竖直向下，

υ2

二者的合力提供向心力，则有mg＋T＝mr＝m；

r

2

υ2

（2）在最高点时，线拉物体的临界状态是T＝0，重力提供向心力mg＝m，即v＝gr。因此可以看出速度

r

必须大于等于gr才能保证物体做圆周运动。

而杆连物体时，杆可以对物体提供支持力，因此物体在最高点速度可以为零。当0＜v＜gr，杆对物体提供支持力；当v＝gr时，重力刚好提供向心力，杆施加的力为零；当v＞gr时，杆对物体施加的是拉力，此时和线拉物体的效果是一样的。

[读题悟法·思维激活]

○读题型组

题型一：汽车转弯问题

例1、汽车与路面的动摩擦因数为 ，公路某转弯处半径为R（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），问： （1）若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？

（2）若将公路转弯处路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角 ，如图所示，汽车以多大速度转弯使，可以使车与路面间无摩擦力？

读思路：在路面水平的情况下，汽车转弯所需的向心力是由汽车和路面之间的静摩擦力来提供的，当公路转弯处是外高内低的斜面时，重力和斜面的支持力将在水平方向上提供一个合力，加上和路面的静摩擦力来提供向心力，此时，在同样的情况下，所需的静摩擦力就减小。

规范解：（1）汽车在水平路面上转弯时，汽车转弯的向心力由静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大时，汽车的转弯速度最大。由

υ2

mg＝m

r

解得 v＝μgr

(2) 当转弯处路面倾斜，且重力和支持力 的合力恰等于向心力时，此转弯速度最为

υ2

理想，则有mg tan＝m

r

解得 v＝grtanα

题后小结：运动物体在转弯时所需的向心力也是由物体所受到的合力来提供的。这时应该注意做圆周运动的圆面和受力不在同一个平面内，但合力却一定在圆面内，沿半径方向。

题型二：绳系物体过最高点问题

例2、如图，质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s， g取10 m/s2，求：

(1) 在最高点时，绳的拉力？

(2) 在最高点时水对小杯底的压力？

(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?

读思路：不论取杯子和杯子里的水为研究对象，还是只研究杯子里的水，这两种情况都属于线拉物体的模型，而这种模型中在最高点的研究是一个重点和难点。

规范解：(1) 求绳的拉力时，选杯子和杯子里的水这个整体为研究对象，它们做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力T的合力。则有

υ2

mg＋T＝m

r

代入数据，解得T＝9N

(2) 求水对杯底的压力，应该以水为研究对象，先求杯底对水的压力，然后根据牛顿第三定律得到水对杯底的压力。水做圆周运动的向心力是重力和杯底对水的压力N的合力。即

υ2

mg＋N＝m

r

代入数据解得N＝3 N

(3) 水不从杯子里流出的临界情况是水的重力刚好都用来提供向心力。即

υ2

mg＝m

r

解得v＝m/s

题后小结：解决绳的连接体过最高点的问题，是因为在最高点，绳子只能给物体施加拉力，而不能是支持力，这就物体其在最高点有最小合外力只能等于重力，对应的有其最小速度。

题型三：杆连物体过最高点问题

例3、如图所示，小球A质量为m.固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高位置时，杆对球的作用力为拉力,拉力大小等于球的重力。求：

（1）球的速度大小；

(2)当小球经过最低点时速度为gL，杆对球的作用力的大小和球的向心加速度大小。

读思路：竖直平面内的杆连物体的圆周运动，主要就是注意在最高点是杆有提供拉力、支持力和没有力三种情况。在受力分析时应该引起注意力的方向。

规范解：(1)小球A在最高点时，对球做受力分析：重力mg; 拉力F=mg

根据小球做圆运动的条件，合外力等于向心力。

υ2

mg＋F＝m ①

L

F＝mg ②

解①②两式，可得v＝2gL

(2)小球A在最低点时，对球做受力分析：重力mg; 拉力F，设向上为正

根据小球做圆运动的条件，合外力等于向心力

2υ2

F－mg＝m，解得F＝mg＋m＝7 mg

LL2

而球的向心加速度a＝＝6g

L

题后小结：解决杆的连接体过最高点的问题，主要考虑在最高点，杆不仅可以给物体拉力，而且可以是支持力，因此物体在最高点的合外力最小等于零，对应的是其最小速度。

○读创新题

例4、(应用性题)飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象也叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至昏厥，飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力。图是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测验人的抗荷能力。

离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，若被测者所受的重力为G，现观察到图中的直线AB（即垂直于座位的直线）与水平杆成30°角。求

（1）被测者做匀速圆周运动所需的向心力多大？ （2）被测者对座位的压力多大？

读思路：前面的信息是让我们了解该部分内容，真正对我们解题起作用的是后面的题干。从中提取有用信息，对被测者进行受力分析，运用所学的力的合成，结合牛顿运动定律来列方程求解。 规范解：被测者做匀速圆周运动的向心力由他所受的重力和座位对他的支持力的合力来提供，对其受力分析如图所示。 （1）做匀速圆周运动需要的向心力

F向

F向＝Gcot30°＝3G

（2）座位对其的支持力为F＝G/sin30°＝2 G

由牛顿第三定律可知，飞行员对座位的压力大小也为2 G。

题后小结：该题考查了做匀速圆周运动的物体的向心力是由物体所受的重力和支持力的合

力来提供的。情景设置比较新颖，但题目的难度不大，乍看起来，好像是条件不足，但实际上，在解答时，只要正确的判断向心力的来源，能够作出力的合成图示，就可以正确的求解。

○读高考题

例5、（探究性题）（06年全国卷

如图所示，一固定在竖直平面

II） 内的光滑的半圆形轨道ABC，其

半径R，轨道在C处与水

＝5.0m 平地面相切。在C处放一小物块，

给它一水平向左的初速度v＝5，结果它沿CBA运动，通

0m/s

过A点，最后落在水平面上的D点，求C、D间的距离s取

。

重力加速度。

g＝10m/s2

读思路：该题首先通过题意，物体从A点离开后做平抛运动， 我们可以求得物体平抛运动的时间。从而只需要知道在A点的 速度，再利用动能定理求出到达A点的速度即可。

规范解：设小物体的质量为m，经A处时的速度为V，由A到D经历的时间为t，有

11

mV02mV2＋2mgR， 22

1

2R＝2

2

s＝Vt

由上述三式并代入数据得 s＝1 m 题后小结：解决竖直面内的圆周运动，我们要注意考虑其最高点和最低点。通过在特殊位置的合外力充当向心力，或者根据与平抛运动的有关知识来分析。

[读后升华 聚焦高考]

高考渗透点 ○高考要求

1、通过实例分析，体会向心力的来源，并能根据具体情况求出相关的物理量。

2、能够分析竖直面内的圆周运动的向心力的来源，并能运用所学知识来解决实际生活中的问题。

○命题透析

在未来几年的高考中，无论是水平面内的汽车和火车的转弯问题，还是竖直面内的圆周运动，都是高考考查的热点内容。另外竖直面内的圆周运动与平抛运动、机械能定律结合的题目，更是高考中出现频率较高的地方。

在最近几年的高考中，每年都出现这部分问题。

○误区警示

误区一 研究对象及研究位置的选取

例1、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使电动机不会从地面上跳起，电动机飞轮的转动的角速度不能超过 MmMm

g BAg

mrmr

C．

MmMg

g D．

mrmr

答案：当重物转动到最高点时，对电动机的向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，重物对电动机的拉力

的最大值为T＝Mg；对重物来说，随飞轮一起做圆周运动，它的向心力是重力和飞轮对重物的拉力T′，T′和T是一对作用力和反作用力。由牛顿第二定律，得

T′＋mg＝mr2

代入T′的数值，解得＝

Mm

g mr

所以该题的答案为B

走出误区：该题的研究位置应该在最高点，而杆对电动机的拉力恰好等于电动机的重力，而不是等于（M+m）g，是解决该题的关键所在。

误区二 圆周运动的静摩擦力方向

例1、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的细绳刚好被拉直（绳上拉力为零）。物块和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的 倍，求：

（1）当转盘的角速度1＝

μg

时细绳的拉力F1； 2r

3μg

时细绳的拉力F2。 2r

（2）当转盘的角速度2＝

答案：当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的细绳刚好被拉直（绳上拉力为零），物块和转盘间的最大静摩擦力提供向心力，设此时的角速度为，则有

mg＝mr2

解得＝

g r

μg

时，因为1＜，所以物块和转盘间的静摩擦力足够提供向心力，所以细绳的拉2r

（1）当转盘的角速度1＝力F1＝0。

（2）当转盘的角速度2＝

3

μg

时，物块和转盘间的最大静摩擦力不足以提供向心力，绳子的拉力和最大静摩2r

擦力提供向心力。有mg＋F2＝mr22，解得F2＝

1

mg。 2

走出误区：该题容易出错的地方，一是误认为是绳子的拉力充当向心力，二是误认为是静摩擦力充当向心力。正确的思路是当最大静摩擦力不足以提供向心力时，绳子的拉力和最大静摩擦力的合力充当向心力。

[读题解题·精题精练]

○经典题

1、在水平面上转弯的汽车，向心力是（ ） A．重力和支持力的合力 B．静摩擦力 C．滑动摩擦力

D．重力、支持力、牵引力的合力

2、用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是 A．小球在圆周最高点时所受向心力一定是重力 B．小球在圆周的最高点时绳子的拉力不可能为零 C．小球在圆周最低点时拉力一定大于重力

D．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是gl

3、火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是

①当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力

②当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 ③当速度大于v时，轮缘挤压外轨 ④当速度小于v时，轮缘挤压外轨

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 4、汽车以一定速率通过拱桥时 ，下列说法中正确的是 A．在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力 B．在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力 C．在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力

D．汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零

5、如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是

A．a处为拉力，b处为拉力

B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力

a

D．a处为推力，b处为推力

6、如图所示，在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上，有两个质量相等的小物块A和B，它们分别紧贴漏斗的内壁，在不同的水平面上做匀速圆周运动。则以下叙述正确的是 A．物块A的线速度大于物块B的线速度 B．物块A的角速度大于物块B的角速度

C．物块A对漏斗内壁的压力大于物块B对漏斗内壁的压力 D．物块A的周期大于物块B的周期

7、飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径r＝180 m的圆周运动。如果飞行员的质量m＝70 kg，飞机经过最低点P时的速度v＝360 km/h，则这时飞行员对座位的压力为____________。（g取10 m/s2）

8、质量相等的两辆汽车以相同的速度v分别通过半径皆为R的凸形桥的顶部与凹形桥的底部，两桥面各受的压力之比为

F凸∶F凹 ＝____________。

9、质量为800 kg的小汽车驶过一座半径为50 m的圆拱桥，到达桥顶时的速度为5 m/s，求此时汽车对桥的压力

○活巧题

10、如图所示, 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端加盖与水平轴O连接. 试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动。 求：（g取10m/s2）

(1) 转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍。 (2) 转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况?

○创新题

11、如图所示，内壁光滑的导管弯成圆轨道竖直放置，其质量为2m，小球质量为m，在管内滚动，当小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，此时小球速度多大?(轨道半径为R)

1、答案：B

提示：在水平面上转弯的汽车，受到的重力和支持力是在竖直方向上的，但圆周运动的圆面是在水平方向上，向心力是在水平方向上的。而没有向外侧滑，所以汽车受到的向心力是水平指向圆心的静摩擦力。

2、答案：D

提示：小球受到的向心力是重力和细绳的拉力的合力来提供的，A错；当小球刚好在竖直平面内做圆周运动时，

υ2

绳子的拉力刚好等于零，此时mg＝m，则其在最高点速率是v＝gl，B错D对，当v＞gl时，绳子的拉

l

力是大于零的一个任意值，C错。 3、答案：A

提示：设火车的转弯半径为R，外轨高于内轨的高度与水平方向的夹角为 ，若火车的重力和轨道面的支持力的

υ2

合力刚好提供向心力，则有mgtan ＝m，若速度大于v，则外轨将对轮缘有积压，反之，若速度小于v，则

R

内轨将对轮缘有积压。 4、答案：C

提示：当汽车以一定速率通过拱桥时，汽车的重力和拱桥面对汽车的支持力的合力将提供向心力，有mg－N＝

υ2m，即N＜mg，C对。 R

5、答案：AB

提示： a处一定是拉力。小球在最低点时所需向心力沿杆由a处指向圆心O，向心力是杆对小球的拉力与小球重力的合力，而重力的方向竖直向下，故杆必定给球竖直向上的拉力。小球在最高点时若杆恰好对球没有作用力，

2

υC

即小球的重力恰好提供向心力，设此时小球速度为vC，则mg＝m，当小球在最高点的速度v＞vC时，所需向

R

心力F＞mg，杆对小球有向下的拉力；若小球的速度v＜vC时，杆对小球有向上的推力，故选AB。 6、答案：AD

提示：小物块紧贴漏斗的内壁，与内壁相对静止，因此具有相同的角速度，A对B错；物块A和B的重力和漏斗内壁的支持力的合力提供向心力，设漏斗的顶角为2 ，则有漏斗内壁的支持力N＝mg/sin，即A和B的支

4π2

持力是相等的，又有mgcot ＝mR2可以看出R越大，T越大。

T

7、答案：4588.9 N

提示：飞行员受到的重力和座椅对飞行员的支持力提供飞行员做圆周运动的向心力，有

υ2

N－mg＝m

r

υ2

解得 N＝mg＋m＝4588.9 N

r

由牛顿第三定律可知，飞行员对座椅的压力为4588.9 N。

υ2υ2

8、答案：（g—）∶（g＋）

RR

υ2υ2

提示：汽车经过凸形桥的顶部时，有mg－N＝m，汽车受到的支持力N＝mg－m，

RRυ2

汽车经过凹形桥的底部时，有N′－mg＝m，

Rυ2

汽车受到的支持力N′＝mg＋m。

R

由牛顿第三定律可以知道，

υ2υ2

两桥面受到的压力F凸＝N，F凹＝N′，即两桥面各受的压力之比为F凸∶F凹 ＝（g—）∶（g＋）

RR

9、答案：7440 N

υ2

提示：小汽车通过拱桥的桥顶时，其重力和桥面对其支持力的合力提供向心力，有mg－N＝m，代入数据可

Rυ2

以解得支持力N＝mg－m＝7440 N。由牛顿第三定律，得汽车对桥面的压力为7440 N。

R

10、答案：（1）20 rad/s； （2）102rad/s

提示：（1）试管底所受压力的最大值出现在试管开口端向上的时候，此时N－mg＝mr2，试管底所受压力的最小值出现在试管开口向下的时候，此时mg－N′＝mr2，又有N＝3 N′。联立可以解得＝20 rad/s。

（2）小球与试管底脱离接触的情况出现在试管开口向下的时候，此时脱离的临界情况是N＝0，即mg＝mr2，解得＝102 rad/s。 11、答案：3gR

提示：当小球运动到最高点时，设导管对小球的压力为N，则由牛顿第三定律，可知小球对试管的作用力N′＝

υ2

N，此时导管刚好要离开地面，则对导管N′＝2mg，而对小球有mg＋N＝m，联立解得v＝gR

R