论文 椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

江西省上犹中学 刘鹏

关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用 摘要

：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即

或

者ABAB1-x2

y1-y2，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：

2ab2AB=22，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.

a-ccos2θ

下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.

解法一：根据弦长公式直接带入解决.

x2y2

题：设椭圆方程为2+2=1，左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，直线l过椭圆的右焦点F2交椭

ab

圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求弦长AB.

x2y2

椭圆方程2+2=1可化为b2x2+a2y2-a2b2=0……①，

ab

直线l过右焦点，则可以假设直线为：x=my+c(斜率不存在即为m=0时)，代入①得：

2222

(b2m2+a2)y2+2mcb2y+bc-ab=0，整理得，(b2m2+a2)y2+2mcb2y-b4=0

2mcb2b4

,y1y2=-22∴y1+y2=-22，

22

bm+abm+aAB1-y2=∴

=2ab22

1+m∴AB=22 ()2

bm+a

（1）若直线l的倾斜角为θ，且不为90,则m=

1

，则有： tanθ

2ab22ab21⎛2

AB=221+m=1+() 2

bm+a2tanθ22⎝b+a2tanθ

⎫⎪⎭,

2ab2

由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为AB=2……②. 22

a-ccosθ

2ab22b22

（2）若θ=90，则m=0，带入AB=22(1+m),得通径长为a，同样满足②式.并且由

bm+a2

2ab22a(b2m2+a2)-2a3+2ab22a(a2-b2)2a(a2-b2)2b22

AB=221+m)==2a-22≥2a-=2(22222

bm+abm+abm+aaa2b2

,当且仅当m=0即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为，故可知通径是最短的焦点弦，.

a2ab2

综上，焦点弦长公式为AB=2.

a-c2cos2θ

解法二：根据余弦定理解决

x2y2

题：设椭圆方程为2+2=1，左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，直线l过椭圆的右焦点F2交椭

ab

圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求弦长AB.

解：如右图所示，连结F1A,F1B，设F2A=x,F2B=y，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得F1A=2a-x,F1B=2a-y，在

∆AF1F2中，由余弦定理得

(2c)2+x2-(2a-x)2b2

cos(π-θ)=，化简可得x=，在

a-ccosθ4cxb2

，则弦长 ∆BF1F2中，由余弦定理同理可得y=

a+ccosθb2b22ab2

AB=x+y=+=22

a-ccosθa+ccosθa-ccos2θ.

解法三：利用焦半径公式解决

x2y2

题：设椭圆方程为2+2=1，左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，直线l过椭圆的右焦点F2交椭

ab

圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求弦长AB

.

2m2cb22a2c

+2c=22解：由解法一知x1+x2=my1+c+my2+c=m(y1+y2)+2c=-22.由椭圆22

bm+abm+a

的第二定义可得焦半径公式，那么F2A=a-ex1,F2B=a-ex2

2ab2m2+2ab22ab2(1+m2)=22

故AB=a-ex1+a-ex2=2a-e(x1+x2)=b2m2+a2

bm+a2

后面分析同解法一.

解法四：利用仿射性解决

x2y2

题：设椭圆方程为2+2=1，左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，直线l过椭圆的右焦点F2交椭

ab

圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求弦长AB.

⎧x'=x

⎪222

解：利用仿射性，可做如下变换⎨a，则原椭圆变为(x')+(y')=a，这是一个以原点为圆心，

y'=y⎪b⎩

a

a为半径的圆.假设原直线的斜率为k，则变换后斜率为k.

椭圆中弦长AB1-x2，经过

b

变换后变为AB''=1-x2，带入，得变换前后弦长关系为

AB''……③

而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为

y=

a

k(x-c)，圆心到直线的距

b

离为d=，根据半径

为a，勾股定理求得弦长

为

A'B'=，将此结果带入③中，

得

AB2ab2(1+k2)

'B'2，由k=tanθ，带入得 22b+ak2ab2

AB=22.

a-ccos2θ

2ab2

上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：AB=2，22

a-ccosθ

记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.

例1

x2y2

+=

1A,B两点，求AB. 已知椭圆

2521

分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.

2ab2

解：由题，a=5,b=21,c=4，θ=,带入AB=2得AB=10. 22

3a-ccosθ

2

2

π

例2

3x2y2

已知点P(1,-)在椭圆C2+2=1(a>b>0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与

2ab

椭圆C交于M,N两点. （1）求椭圆的标准方程；

（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNPAB，W=

AB

2

MN

,试判断W是否为定值？若是定值，

求出这个定值，若不是，说明理由.

分析：因为l过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知c=1，将点P带入得

19

+=1，又a2=b2+c2，解得a2=4,b2=3，故椭圆22a4b

x2y2

+=1. 方程为43

（2）假设A(m,n

)，则AB=θ

，则cosθ=

2

，根据过焦点的

2ab2

=弦长公式则MN=2

22

a-ccosθ

ABm2n2123m2+4n2

=4（+）=4. =，故W=222

mMN4312(m+n)4-2

m+n2

例3

x2y2

+=1的左右焦点为F1,F2，过F2的直线l1交椭圆于A,C两点，过F1 如图，已知椭圆43

3

π，求四边形ABCD的4

的直线l2交椭圆于B,D两点，l1,l2交于点P(P在x轴下方)，且∠F1PF2=

面积的最大值.

分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成∠F1PF2=内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.

解：假设l1的倾斜角为θ,则l2的倾斜角为

3π

的点P在圆4

3π12+θ，由椭圆的焦点弦长公式得：AC=, 244-cosθ

BD=

124-cos2(θ-

)

4

2

，S=

11212AC⋅BD=⋅, 24-cos2θ4-cos2(θ-)

4

2

设f(θ)=(4-cosθ)(4-cos(θ-

π

4

71714971=(-cos2θ)(-sin2θ)=-sin2θ+cos2θ）+sin4θ

2222448

))

设sin2θ+cos2θ=t(t∈⎡)，

⎣2

则sin4θ=t-1,带入得f(t)=

49712

-t+(t-1) 448

即f(t)=

12797t-t+

848

f(t)min=

99-,

此时t=

8

即sin2θ+cos2θ=，得到θ=

π. 8

≈5.14.此时

综上，四边形ABCD

的最大值为Sθ=

π7π，得到l2的倾斜角为,刚好两直线关于y轴对称，如88

右图所示.