9平面直角坐标系与点的坐标

平面直角坐标系与点的坐标

一、选择题

1. （2013贵州安顺，3，3分）将点A （－2，－3）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 所处的象限是（ ）

A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】：D ．

【解析】A （－2，－3）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 为(1,－3), (1,－3) 在第四象限. 【方法指导】本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点．先利用平移中点的变化规律求出点B 的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B 所处的象限． 【易错警示】注意平移中点的变化规律．

2．（2013山东德州，12，3分）如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰

到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为

A 、（1，4） B 、（5，0） C 、（6，4） D 、（8，3） 【答案】 D

【解析】如下图，动点P （0，3）沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角， 到①时，点P （3，0）；到②时，点P （7，4）；到③时， 点P （8，3）；到④时，点P （5，0）；到⑤时，点P （1，4）；到⑥时，点P （3，0），此时回到出发点，继续....... ，出现每5次一循环碰到矩形的边. 因为2013=402×5+3（2013÷5=402 … 3）. 所以点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（8，3）. 故选D.

【方法指导】本题考查了图形变换（轴对称）与平面直角

坐标系规律探索. 以平面直角坐标系为背景，融合轴对称应用的点坐标规律的规律探索题，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律. 3．（2013山东日照，6，3分）如果点P （2x+6,x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）

【答案】 C

【解析】由点P （2x+6,x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，所以

⎧2x +6>0,

解得-3

x -4

【方法指导】本题考查点在平面直角坐标系中的特点，从而找到关于x

的不等式组，再把这

个不等组的解集在数轴上表示。在数轴上表示解集时，就注意什么时候是实点，什么时候是圆圈。 4．（2013广东湛江，6，4分）在平面直角坐标系中，点A(2，－3) 在（ ）象限

A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 【答案】D.

【解析】由于点A 的横坐标是正数，纵坐标是负数，因此这个点在第四象限。

【方法指导】本题考查了平面直角坐标系中点的分布。对于点（a 、b ）来说，点位置与坐标

5．(2013湖北荆门，10，3分) 在平面直角坐标系中，线段OP 的两个端点坐标分别为O (0，0) ，P (4，3) ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°到OP ′位置，则点P ′的坐标为( )

A ．(3，4) B ．(－4，3) C ．(－3，4) D ．(4，－3) 【答案】C

【解析】如图1，过点P 作P A ⊥x 轴于点A ，设点A 旋转后的对应点为A ′，则P ′A ′＝P A ＝3，OA ′＝OA ＝4，∴点P ′的坐标为(－3，4) ．故选C ．

图1

【方法指导】在平面直角坐标系中，点(a ，b ) 绕坐标原点O 逆时针旋转90°后，所得对应点的坐标为(－b ，a ) ；点(a ，b ) 绕坐标原点O 顺时针旋转90°后，所得对应点的坐标为(b ，－a ) ． 6. （2013深圳，7，3分）在平面直角坐标系中，点P (-20, a ) 与点Q (b ,13) 关于原点对称，则

a +b 的值为

A ．33 【答案】D

B ．-33

C ．-7

D ．7

【解析】点(x , y ) 关于原点对称的点是(-x , -y ) ，故b =20, a =-13，则a +b =7，故D 是正确的

【方法指导】考查了坐标平面内点的对称性及有理数的运算。若两个点关于原点对称，则它们的横、纵坐标分别互为相反数，这一特征是解题的关键。

7. (2013湖南邵阳,8,3分) 图(二) 是我市几个旅游景点的大致位置示意图. 如果用(0,0)表示新宁崀山的位置，用(1,5)表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为（ ） A ．(2,1) B ．(0,1) C ．(－2，－1) D ．(－2,1)

【答案】：C ． 【解析】：建立平面直角坐标系如图，城市南山的位置为（－2，－1）．故选C ． 【方法指导】：本题考查了利用坐标确定位置，是基础题，建立平面直角坐标系是解题的关键. 8 (湖南株洲,9,3分) 在平面直角坐标系中，点P （1，2）位于第象限. 【答案】：一

【解析】:因为点A （2，－3）的横坐标是正数，纵坐标是负数，所以点A 在平面直角坐标系的第四象限. 【方法指导】：解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负.

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M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上

B 所处的象限是（ ）

A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点：坐标与图形变化-平移．

分析：先利用平移中点的变化规律求出点B 的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B 所处的象限．

解答：解：点A （﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度，得到点B 的坐标为为（1，﹣3）， 故点在第四象限． 故选D ．

点评：本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点．注意平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 12．（2013湖北孝感，9，3分）在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），

13．（2013湖北宜昌，15，3分）如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ）

14. .（[2013湖南邵阳，8，3分] 图(二) 是我市几个旅游景点的大致位置示意图. 如果用(0,0)表示新宁崀山的位置，用(1,5)表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为（ ） A ．(2,1) B ．(0,1) C ．(-2，-1) D ．(-2,1)

知识考点：坐标的地理位置确定.

审题要津：建立平面直角坐标系来解决此题.

满分解答：解：已知新宁崀山的位置为(0,0)，隆回花瑶的位置为(1,5)，所以以新宁崀山的位置(0,0)为坐标原点建立平面直角坐标系即可得到城步南山的位置（-2，-1）. 故选C . 名师点评：解决此题的关键是建立平面直角坐标系.

15．（2013·泰安，11，3分）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，已知在AC 上一点P （2.4，2）平移后的对应点为P 1，点P 1绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点P 2，则P 2点的坐标为（ ）

A ．（1.4，－1） B ．（1.5，2） C ．（1.6，1） D ．（2.4，1） 考点：坐标与图形变化－旋转；坐标与图形变化－平移．

分析：根据平移的性质得出，△ABC 的平移方向以及平移距离，即可得出P 1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P 2点的坐标． 解答：解：∵A 点坐标为：（2，4），A 1（－2，1）， ∴点P （2.4，2）平移后的对应点P 1为：（－1.6，－1）， ∵点P 1绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点P 2， ∴P 2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C ．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．

16．（2013•东营，6，3分）若定义：f (a , b ) =(-a , b ) ， g (m , n ) =(m , -n ) ，例如

f (1,2=) -(1, ，2) g (-4, -5) =(-4,5) ，则g (f (2,-3)) =（ ）

A ．(2,-3) 答案：B

B ．(-2,3)

C ．(2,3)

D ．(-2, -3)

解析：由题意得f(2，3)=(－2，－3) ，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3) ，故选B ．

17．（2013·济宁，8，3分）如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是（ ）

A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（0，2） D ．（0，3）

考点：轴对称－最短路线问题；坐标与图形性质．

分析：根据轴对称做最短路线得出AE =BE ，进而得出B ′O =C ′O ，即可得出△ABC 的周长最小时C 点坐标．

解答：解：作B 点关于y 轴对称点B ′点，连接AB ′，交y 轴于点C ′，此时△ABC 的周长最小， ∵点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B ′点坐标为：（－3，0），AE =4，则BE =4，即BE =AE ，∵C ′O ∥AE ，∴B ′O =C ′O =3，∴点C ′的坐标是（0，3），此时△ABC 的周长最小．故选：D ．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C 点位置是解题关键．

18. （2013四川乐山，6，3分）如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是（3，

m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是

4

，则sin α的值是【 】

3

A ．

4535 B ． C ． D ． 553

4

19. （2013四川遂宁，7，4分）将点A （3，2）沿x 轴向左平移4个单位长度得到点A ′，点

二、填空题 1．（2013江苏苏州，17，3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且OQ ＝OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为( ， ) ．

【答案】(2，4－

) ．

倍求出OB ，再求出BQ ，然后求出△BPQ 和△OCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP 的长，再求出AP ，即可得到点P 的坐标．

解：∵四边形OABC 是边长为2的正方形， ∴OA =OC =2，OB

． ∵QO =OC ，

∴BQ =OB －OQ

－2． ∵正方形OABC 的边AB ∥OC ， ∴△BPQ ∽△OCQ ． ∴

BP BQ BP

2

=，即=．

2OC OQ 2

解得BP

－2．

∴AP =AB －BP =2－（

－2）=4－

∴点P 的坐标为（2，4－

）． 所以应填2，4－

【方法指导】本题考查了相似三角形的判定与性质，

倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP 的长是解题的关

键．

【易错警示】本题是综合题，掌握所用知识不全面而出错．

2. （2013四川雅安，17，3分）在平面直角坐标系中，已知点A (－5，0) ，B (5，0) ，点C 在坐标轴上，且AC +BC ＝6，写出满足条件的所有点C 的坐标________．

【答案】 (02，) ，(0，－2) ，(－3，0) ，(3，0) (写对2个各得1分，写对3个得2分)

【解析】需要分类讨论：①当点C 位于x 轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C 的坐标；②当点C 位于y 轴上时，根据勾股定理求点C 的坐标．

【方法指导】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质．解题时，要分类讨论，以防漏解．另外，当点C 在y 轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C 的坐标．

3．（2013兰州，19，4分）如图，在直角坐标系中，已知点A （﹣3，0）、B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为 ．

考点：规律型：点的坐标． 专题：规律型．

分析：根据勾股定理列式求出AB 的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．

解答：解：∵点A （﹣3，0）、B （0，4）， ∴AB =

=5，

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12， ∵2013÷3=671，

∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵671×12=8052，

∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）． 故答案为：（8052，0）．

点评：本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．

4．（2013贵州安顺，17，4分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB ′，则点B ′的坐标为 ．

考点：坐标与图形变化-旋转．

分析：画出旋转后的图形位置，根据图形求解．

解答：解：AB 旋转后位置如图所示．

B ′（4，2）．

点评：本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心A ，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得B ′坐标．

5. （2013陕西，13，3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计．．．．

分．

A ．在平面直角坐标第中，线段AB 的两个端点的坐标分别为A ( 2, 1), B (1, 3) ，将线段AB 经过平移后得到线段A B ，若点A 的对应点为A (3, 2) ，则点B 的对应点B 的坐标是 ．

考点：点的平移与坐标之间的关系。

解析：点A 与A 对应，从坐标来看是将点A 向右平移5个单位后再向上平移1个单位得到，所以点B 的坐标也是向右平移5个单位后再向上平移1个单位得B (6, 4)

B ．比较大小：

8cos 31//////>”，“=”，“

考点：科学计算器的使用：数的开方及三角函数值。

解析：按键顺序：易得填“>”

6．（2013贵州省黔东南州，11，4分）平面直角坐标系中，点A （2，0）关于y 轴对称的点A ′的坐标为 （﹣2，0） ．

三、解答题

1. （2013福建福州，19，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，0），等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD ．

（1）△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是__________个单位长度；

△AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是__________；

△AOC 绕原点O 顺时针旋转得到△DOB ，则旋转角度可以是__________度；

（2）连结AD ，交OC 于点E ，求∠AEO 的度数。

【思路分析】（1）由点A 的坐标为（－2，0），根据平移的性质得到△AOC 沿x 轴向右平移2个单位得到△OBD ，则△AOC 与△BOD 关于y 轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC ＝∠BOD ＝60°，则∠AOD ＝120°，根据旋转的定义得△AOC 绕原点O 顺时针旋转120°得到△DOB ；

（2）根据旋转的性质得到OA ＝OD ，而∠AOC ＝∠BOD ＝60°，得到∠DOC ＝60°，所以OE 为等腰△AOD 的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE 垂直平分AD ，则∠AEO ＝90°．

【答案】（1）2；y 轴；120；

（2）解：依题意，连接AD 交OC 于点E

如图，由旋转得OA ＝OD ，∠AOD ＝120°

∵△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°

∴∠COD ＝∠AOD －∠AOC ＝60°

∴∠COD ＝∠AOC

又OA ＝OD

∴OC ⊥AD

∴∠AEO ＝90°

【方法指导】本题是一道综合性基础题，考查了平移、轴对称、旋转、等边三角形、等腰三角形的有关知识．平移、轴对称、旋转前后两图形全等，运用图形变换解答题目时要找准对应点，同时还要注意图形变换的有关性质，如在旋转中对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．

2．（2013上海市，21，10分）已知平面直角坐标系xoy （如图6），直线 y =

过第一、二、三象限，与y 轴交于点B ，点A （2，1）在这条直线上，

联结AO ，△AOB 的面积等于1．

（1）求b 的值；

（2）如果反比例函数y =1x +b 经 2k （k 是常量，k ≠0） x 的图像经过点A ，求这个反比例函数的解析式．

3（2013上海市，24，12分）如图9，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx (a >0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO =OB = 2，∠AOB =1200．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结OM ，求∠AOM 的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．