数学概念教学中的问题

数学概念教学中的若干问题

山东沂南教育局 李树臣

【本文发表在《山东教育》2008年第3期】

决定数学教学效果的首要因素、基础因素和贯穿始终的因素就是：概念要明确。我们在前面就数学概念的分类、概念之间的关系及概念的定义方式作了探讨，这为数学概念课的教学奠定了理论上的基础。我们在本文就数学概念的教学问题谈三个问题，供老师们参考。

一、正确认识数学概念教学的现状

我国数学教育界历来都十分重视数学概念课的教学，随着《全日制义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）的颁布实施，人们更加注重对数学概念的教学，但由于传统教育思想的影响，使得在进行数学概念教学活动时存在这样或那样的问题，直接影响着教育教学质量的提高。仔细分析目前概念教学中存在的问题，主要有以下两种倾向：

其一，在概念教学中过分重视定义的叙述，对定义是字字推敲、处处斟酌，不厌其烦的举正、反两方面的例子，并且要求学生熟读定义，熟记定义。这种教学往往是费时费力，注重了形式而忽视了实质，因而实际效果欠佳。其主要缺点是：（1）容易将学生导向只注意死记硬背定义和结论，而不求深入的理解概念的歧途；（2）由于学生思维中缺少能说明概念关键特征的具体形象，一旦遇到不能用自己已经有的固定模式可套用解决的问题，就会感到束手无策，不能做到“举一反三”，因此不利于数学思维能力的提高。

其二，在概念教学中，不注意揭示概念的形成过程，只注重概念的应用。对于数学概念的定义，并没有按照“问题情境—建立模型—求解、应用和拓展”的教材编排体系去指导学生进行积极地探索，而是按照“定义＋例题”的成果教学模式进行，只能强“塞给”学生定义与方法，删去了从问题到结论和方法之间的精彩过程。这种教学停留在现成知识的传授上，满足于结论的验证（或证明），注重的是“最终”产物，这样做势必导致学生不能从知识结构的总体上去把握数学中的观念、定理、公式、方法和技巧，他们所学的知识处于零散的、“混沌”无序状态，是“死”的，无法形成优化的数学认知结构，不能用数学思想和方法去观察、发现、分析数学结论，不能理解和领悟结论的实质。这样的知识不具有广泛的迁移性和普遍性。长期接受这样训练的学生是没有创造性的。

二、数学概念教学的宏观策略

为了克服目前在数学概念教学中存在的上述问题，我们可以从以下三个方面来加强对数学概念的教学：

1、把概念教学贯穿于数学教学的全过程

《标准》指出：对课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。相应的《数学课程标准解读》将其称为六个“核心概念”，可见数学概念是学生学习的主要知识，从课程论的研究观点看，数学概念是构成数学教材的基本结构单位，正是因为这些数学概念的存在，才形成了数学教材的知识结构，这个结构是数学应用与学生进一步学习的基础。数学公式、定理和方法都是反映数学

对象和概念间关系的，学生只有建立起了正确明晰的概念，才能牢固的掌握基础知识。这就决定了在新课的讲授过程中一刻也不能离开数学概念。而我们常说的复习课更是离不开概念，通过复习欲达到系统掌握知识的目的，而一个个的数学知识点就是靠概念“串连”在一起的，复习时只要把本单元所涉及的概念串连起来就能“再现出”教材的上述知识结构。所以从数学教学的形式和内容上看，数学概念教学始终与课堂教学并存。

另外，从学生思维能力的发展来看，概念也起着重要的作用。因为概念是思维的单位元，是学生在学习数学中赖以进行思维的基础，数学思维的主要形式和活动过程是数学概念、判断和推理，而概念是思维活动的核心与基础。概念教学是培养学生思维能力的起始阶段和基本出发点，学生在深入理解数学概念的过程中能使自己的抽象思维得到发展。可见，数学概念教学的质量，直接影响到学生思维能力的形成，关系到其思维能力的发展。所以，我们要把数学概念的教学融入到教学的全程之中去。

2、注重数学概念的过程教学

我们一直强调，数学教学应重视过程教学，只有揭示知识的形成过程才能从源头上强化知识与智力的内在联系，引发起学生探索发现的意识和创新思想的形成，从而促进学生思维的发展和数学能力的提高。一个数学概念的教学就是一个完整的教学过程，研究表明这个过程大致可以分为如下四个阶段：

（1）概括。数学概念的获得有两种基本形式：一种是从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，这种获得概念的方式称为概念形成；另一种是向学生展示定义，利用原有认知结构中的有关知识理解新概念，这种方式称为概念同化。可以说概念形成主要依赖的是对具体事物的抽象概括，而概念同化主要依赖的是学生对经验的概括和新旧知识的联系，所以无论是哪种方式都离不开“概括”。这一阶段的任务就是在对具体事例或原已掌握知识的分析过程中，抽象出事物的关键特征，摒弃非关键特征。

（2）表述。对某类具有相同关键特征的事物进行命名，根据实际选择一种易于学生理解的方式揭示概念的本质，陈述定义。

（3）识别。在给出概念表述以后，教师应该区分学生对新知识是真正理解了，还是根据其无关特征回答有关概念的问题，为此，教师可以举出一些该概念外延之内或之外的例子，让学生根据定义进行判别练习，通过这样的练习可以帮助学生更加准确地把握概念的关键特征，排除无关特征，从而真正理解概念。

（4）运用。对已经获得的概念在知觉水平和思维水平上进行运用。所谓在知觉水平上运用就是指当遇到这类事物的特征时，能立即把他看做是一类事物的具体例子；而在思维水平上进行运用则指新的概念或命题被类属于包摄水平较高的原有概念或命题中，或一类已知事物的一个新的不大明显的代表被识别出来。对数学概念的学习不仅要注意知觉水平上的运用，还要注意在思维水平上的运用。例如，识别过原点的一条直线和解析式y=2x表示的是同一个函数，是对函数概念知觉水平上的运用，而能够认识到y=1也是一个函数则是在思维水平上运用了函数概念。只有能在以上这两个水平上运用概念，才能真正达到灵活运用概念

的目的。

这个过程告诉我们，给数学概念下定义不是概念教学的全部，不能在定义本身下太多的功夫，应注意概念教学的全过程，不可有头无尾，也不能对四个阶段平均用力，应根据具体概念的实际和学生的认知水平，恰当的分配教学时间，以最优的方式完成概念教学。对于一些抽象数学概念的教学，要如《标准》指出的那样，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。

3、从思想方法的高度进行数学概念教学

走上工作岗位的人都有这样的体会：在实际工作中真正需要用到的具体数学分支学科，具体的数学概念、定理、公式和结论，其实并不很多，学校里学过的一大堆数学知识很多似乎都没有派上什么用场，但通过在校学习时所受到的数学训练，那种铭刻于头脑的数学思想和方法，却能长期在他们的生活和工作中发挥着重要的、积极的作用，成为他们取得成功的最重要因素之一。因此。如果仅仅将数学概念作为一般知识来学习，而忽略了概念所渗透的数学思想方法对学生的熏陶作用以及对提高学生数学素质的意义，就去了开设数学课程的价值。

《标准》明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实，数学活动经验）以及基本的数学思想方法和应用技能”。前苏联学者M.M. 弗利德曼曾指出“在学校课程中数学的思想和方法应当占有中心的地位，占有把教学大纲中所有的，为数很多的概念，所有的题目和章节连结成一个统一的学科的核心地位。”数学概念是数学思想方法的某一侧面之外显示形式，是学习数学思想方法的起点，数学概念的发展亦得益于数学思想方法，如无理数概念的出现。同时，数学概念的积累与演变也能促进数学思想方法的发展。因此，数学概念教学的主要目标之一就是使学生通过概念的掌握和运用，最终理解和掌握数学思想方法。只有当学生能在数学思想方法的高度上掌握数学概念、数学知识时，才能较好的形成数学能力，并受益终生。

三、掌握概念教学的微观做法

关于数学概念课教学的问题，笔者认为宜分以下三个阶段：

1、数学概念的引入

概念的引入是概念教学的第一步，常用的引入方法有以下四种：

（1）用实际事例或实物、模型进行介绍

课标下教科书的素材来源于学生的生活现实，这在一定程度上也进一步印证了“数学来源于生活”的观点，可以说，教材中的几乎所有概念都有“生活背景”。所以在进行概念教学时，应密切联系概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，使学生在观察有关的实物、图示、模型的同时，获得对于所研究对象的感性认识，在此基础上逐步认识它的本质属性，并提出概念的定义，建立新的概念。例如，教材中“数轴”的概念是用温度计来引入的；“平面直角坐标系”是从学生列队的实际问题来引入的，等等。

（2）在学生原有的基础上引入新概念。数学概念最普遍和最常用的一种定义方式就是属加种差定义法。用这种方法定义概念，要做好两方面的工作：一是找出被定义的邻近的属；

二是确定种差，即找出被定义概念所反映的事物区别于包含在同一属中其他概念所反映的本质属性。例如，教材在学习了“等式”之后就可以给出“方程”的定义；在学习了“线段”的定义之后，可介绍“弦”、“直径”等概念。

（3）从数学本身内在需要引入概念。从数学本身内在的需要出发引入概念也是引入数学概念的常用方法之一。这样的例子比比皆是。例如，整个数学的建立过程就体现了这一点：在小学里学习的“算术数”（含自然数、零、正分数和正小数）的基础上，为了解决“算术数”减法中出现的问题，必须引入负有理数概念，从而使数的外延扩展到有理数。

（4）类比。类比不仅是一种非常重要的思维形式，还是引入概念的一种重要方法。例如，分式基本性质的引入，教材就是在引导学生回忆联想分数的基本性质的基础上类比得到的。

2、概念的形成

数学中的概念，是人们在长期的生产实践中，抓住事物的本质而总结出来的。通过概念的引入阶段，学生对概念的认识比较肤浅。因此，在这一阶段，我们必须把概念的本质属性剖析透彻，然后用定义将其揭示出来。这样才能达到从规律把握概念所反映的对象。这阶段的主要任务是：

（1）剖析概念的本质

对概念的深化认识必须从概念的内涵与外延上作深入的剖析，剖析概念的内涵就是抓住概念的本质特征。以三角函数为例，可抓住正弦函数进行剖析，正弦函数涉及到比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识。正弦函数的值本质上是一个“比值”。为了突出这个比值，今剖析如下：①正弦函数是一个比；②这个比是∠α的终边上任意一点的纵坐标y 与这一点到原点的距离r 的比值；③这个比值随∠α的确定而确定，与点在∠A 的终边上的位置无关（这一点可用相似三角形的原理来说明）；④由于y 的绝对值≤r ，所以这个比值不超过1。

经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，应指出：∠α的终边上的一点P （x ，y ）一旦确定，就涉及x 、y 、r 这三个量，任取其中两个就可以确定一个比值，这样的比值有且只有六个。因此，基本三角函数只有六个，这便是三角函数的外延，在初中我们仅学习这六个中的四个。

在作上述分析时。应紧扣函数这一概念，从中找出自变量、函数及它们的对应规律。这时，∠α是自变量，函数是“比”，这个“比”之所以叫做的函数，就在于对∠α的每一个确定的值，都有一个确定的比值与之相对应。有了这样的一些分析，学生对正弦函数的理解就比较深刻了。

（2）讲清概念的定义

数学概念的基本定义方式是，属加种差定义法。有些概念的个性比较突出，因此，概念的属种定义又有一些特殊的形式，如发生定义法就是其中的一种。在给一个数学概念下定义之前，应充分揭示概念定义的本质特征，对于“属十种差”定义的概念，应充分揭示其种差的含义；对于发生定义方式概念的教学，应加强定义形成过程的教学，揭示出概念的发生过

程。发生定义本身的特点决定了它可以作出图形来，借助于图形直观，把概念的定义具体化、形象化，这样便于学生理解概念的本质。并能做到记忆长久。

如三角函数概念的产生过程，实质上就给出了这样的一个构造程序：

y x y x ①建立坐标系；②计算∠α终边上一点P （x ，y ）到原点的距离r ；③作，，r r x y

四个比；④分别给出四个比的名称；⑤给出三角函数的定义。

在具体教学时，必须揭示出三角函数的产生过程，这样易于接受和掌握。

如sin300的计算过程是：建立如图1所示的坐标系，在300角的终边上任取一点P （x ，y ），

y y 1显然，P 点到O 的距离r=2y，所以sin300=

==。

（3）掌握概念的符号

数学符号是数学科学专用的特殊文字，是含义高度概括、形体高度浓缩的科学语言、是为便于记录和阅读，以加速思维进程和高效传播思维的科学书面语言。由于数学符号有简明性和直观性的特点，所以常用数学符号来表示数学概念。这样做既是数学的特点，又是数学的优点。在概念教学中真正使学生掌握概念符号的意义尤为重要。在实际教学中，一要防止概念与实际对象脱节；二要防止概念与符号脱节。因为概念符号化后，很容易使概念与所反映的对象的内容脱节而产生错误。例如，学生往往将正弦函数概念的符号“sin ”看成一个数，从而得出如下的错误结果：sin(300+450)=sin300+sin450。

这一点一定要引导同学们注意！

3、概念的巩固和发展

由于数学概念具有高度的抽象性，这就为牢固掌握它带来了一定的难度。再加之数学概念数目较多，不易于记忆，因此，巩固概念教学就越显重要。

（1）引于新概念后，让学生做一些巩固练习。例如，在给出正弦函数的概念以后，为了让同学们从本质上掌握这一概念，可让同学们解答下列题目：

①在Rt △ABC 中，∠C 为直角，如果∠A=600，那么∠A 的对边与斜边的比值是多少？ ②如图2，∠XOY=450，试求sin450的值。

③如图3，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a，AC=b。则sinA= ，sinB= ，sin 2A+sin2

1练习①在同学们知道了sin300=后，马上可求得答案。练习②是检查同学们能否从本2

质上把握正弦函数这一概念的。只要抓住了正弦函数的本质是一个比值这一关键属性，同学们就一定能正确解答这一题目。而且通过解答这个题目进一步加深了对正弦函数概念的理解。这对于以后解直角三角形及解决实际问题都具有积极意义。练习③的前两个小题就是一个巩固性练习。最后一问也容易解决。在解决它时。既巩固了所学概念，又复习了勾股定理。而且为后面即将学习的余弦函数、正切函数留下了伏笔。这对于同学们系统地掌握数学概念大有益处。

（2）举反例加深理解概念。对于数学概念的学习除从正面进行强化记忆、学习之外，也可从反面来加深对它的理解。如，为了让学生从根本上掌握正弦函数符号“sin ”的意义，不再出现类似“sin(α1+α2)=sinα1+sinα2”的错误。可举反例如下：

133sin300=，sin600=，sin(300+300)=sin600=， 222

11而sin300 +sin300=+=1，故sin （300+300）≠sin300+sin300。 22

（3）注意概念之间的联系，在相互联系中把握概念。

在学习了四个基本三角函数概念之后。应从它们的本质是比值这一根本属性出发，来加深对它们的认识。为达此目的，可让同学们熟练掌握以下几个关系式：

（1）sinA=cos(900－A) ，cosA=sin(900－A) ，tgA=ctg(900－A) ，ctgA=tg(900－A) ；

sinA （2）sin 2A ＋cos 2A=1，tgA ·ctgA=1；（3）tgA=。 cosA

关于数学概念的教学，一直是教师们教学研究中的一个重要课题。由于数学概念的种类繁多，关系复杂，其本质属性又各有千秋，从而形成了较多的定义方式。可以说，对于用不同定义方式揭示其本质属性的数学概念。其教学的“程序”又不一样，笔者的陈述只是一个普遍现象。对有些概念的教学不一定适用。我们广大的一线教师应不断加强业务学习，并相互交流自己的研究成果。不断提高数学概念教学的质量，从而提高数学素质教育的质量。

主要参考文献：

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[3]章建跃. 《数学学习论与学习指导》[M].人民教育出版社，2001年11月第一版.

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[5]展涛. 义务教育课程标准实验教科书数学[M].青岛出版社、泰山出版社，2005年7月第1版