克莱姆法则及应用

本科生毕业论文（设计）

题 目： 克莱姆法则及应用

2012年 3月 10日

专业代码： 070101

作者姓名： 蔡婷婷

学 号： 2008200631

单 位： 数学科学学院

指导教师： 樊树芳

目录

前 言 ............................................... 5 1. 克莱姆法则的定义 ................................... 5 2. 克莱姆法则的证明 ................................... 4

2.1 克莱姆法则的一般证明方法 ....................................... 4 2.2克莱姆法则的简易证明 ........................................... 9 2.3克莱姆法则的一个新证明 ........................ 错误！未定义书签。 2.4 关于克莱姆法则的证明方法的比较 错误！未定义书签。

3. 克莱姆法则的应用 ..................... 错误！未定义书签。

3.1 三维相对论欧拉方程组的洛仑兹不变性

———克莱姆法则的应用 ............................ 错误！未定义书签。 3.2 关于相容线性方程组的广义克莱姆法则

.................................................. 错误！未定义书签。

4.克莱姆法则的推广...................... 错误！未定义书签。

4.1 推广1 ........................................ 错误！未定义书签。 4.2 推广2 ........................................ 错误！未定义书签。 4.3 推广3 ........................................ 错误！未定义书签。

结论 ................................. 错误！未定义书签。 参考文献 .............................. 错误！未定义书签。

摘要

克莱姆法则及应用是高等代数中的重点内容.本文首先叙述了克莱姆法则的定义，之后给出了克莱姆法则的几种证明方法，最后结合实例探讨了克莱姆法则的应用阵的应用.

关键词：克莱姆法则

Abstract

The problem of linear transformation and the matrix diagonalization is an important part of the whole advanced algebra . This article gives some conclusions about the eigenvalue and eigenvector of linear transformation and matrix at first .Then the article describes the definition of linear transformation and matrix which can be diagonal .Given of the conclusions which have been proven , the article gives the necessary and sufficient conditions of the linear transformation and matrix that can be diagonal, as well as the relationship between the linear transformation which can be diagonal and the matrix which can be diagonal. Finally, the article describes the methods and steps of how diagonal a linear transformation and a matrix and the function of the matrix which can be diagonal .

Key words: matrix；linear transformation；eigenvalue；eigenvector .

克莱姆法则及其应用

前 言

克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆

（Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。生于瑞士，卒于法国。在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。

1. 预备知识

若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。现在就给介绍一下系数行列式。

设含有n个未知量n个方程的

a11x1a12x2a1nb1

a22x1a22x2a2nb2



aaab

n2nnnn1

（1-1）

其系数构成的行列式

a11

D

a21



a12a22





a1na2n



an1an2



ann

称为方程组（1-1）的系数行列式。

1. 克莱姆法则的定义

克莱姆法则（Cramer Rule）：一个含有n个未知量n个方程的线性方程组（1-1)

当它的系数行列式D0时，有且仅有一个解：

x1

D1D,x2

D2D

,,xn

DnD.

（1-2）

期中

DJ

b,b,,bn

是将D的第j列换成常数项1而其余列不变的行列式。即

2

a11

Dj

a21an1



a1,j1a2,j1

an,j1

b1b2bn

a1,j1a2,j1

an,j1



a1na2nann



b1A1jb2A2jbnAnj,(j1,2,n).

2. 克莱姆法则的证明方法

克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是

2.1克莱姆法则的一般证明方法

2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法

在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。现在就有一般方法来证明克莱姆法则。

xj

DjD

,(j1,2,,n)

证 首先，证明（1-2）式确实是方程组（1-1）的解：把

代入（1-1）中第一个方程，得

a11

1D1D1D

D1D

a12

D2D

a1n

DnD



1D

(a11D1a12D2a1nDn)

)a2nb(AnbA1

1bnA2nn

n1

2

a11(b

AbA22bnAn)a11111b(AbAbA121122n22n



)

aA12anA11112b1a1A

n1

b1aA21a1A111a2nAbaAaA1aA12n1n1111n

n12



1211

b1Db20bn0b

1

a11(b1A11b2A21bnAn1)1a12(b1A12b2A22bnAn2)

D

a1n(b1A1nb2A2nbnAnn)b1a11A11a12A12a1nA1n

1

b2a11A11a12A12a1nA1nD

baAaAaAn111112121n1n1D

b1Db20bn0b1

这就是说，（1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余n-1个方程。因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。

其次，设

x1k1,x2k2,,xnkn

是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组（1-1）

a,a,,anjA,A,,Anj

得n个恒等式，再用D的第j列元素1j2j的代数余子式1J2J依次乘所

得的n个恒等式的两端再相加，得

A1j:a11k1a12k2a1jkja1nknb1,A2j:a21k1a22k2a2jkja2nknb2

















Anj:an1k1an2k2anjkjannknbn,0k10k2DkjannknDj,

即

kj

DjD

DkjDj,j1,2,n,

由D0,知

,j1,2,,n.

这就是说，如果

k1,k2,,kn是方程组（1-1）的一个解，则

kj

DjD

,j1,2,

n,

.

即方程组只有一个解。

2.1.2 克莱姆法则的一般证明方法的应用

例1 解线性方程组

aaa

3x1x12x1x1



x2x2x2



x3x32x32x3



x4x4x4x4



3,4,7,6.

解 由于方程组的系数行列式

3D

121

1110

1122

1211

130,

故由Cramer法则知此方程有唯一解，又因为

3D1

4763D2

1213D3

1213D4

121

3476111011101110112234761122

347613,

11

130,

212121139,126,

所以方程的唯一解是：

x1

D1D

1,x2

D2D

2,x3

D3D

13,x4

D4D1.

在线性方程组中，有一种特殊而重要的方程组，即常数项为零的方程组：

a11x1a12x2a1nxn0,

a21x1a22x2a2nxn0,



axaxax0.

n22nnnn11

称其为零解。其次

称此为其次线性方程组。这种方程组显然有解：线性方程组若有其他的解，即

xi

x10,x20,,xn0,

不全为零的解，成为非零解。

对于方程个数与为质量的个数相同的其次线性方程组，利用Cramer法则，有

定理 若其次线性方程组

x22anxn10,a11x1a1



x22anxn20,a21x1a2





axaxax0.

n22nnnn11

的系数行列式

（1-3）

Daij0,

则方程组（1-3）有唯一零解。

证 因为D0,故由Cramer法则知，方程组（1-3）有唯一解。但零显然是

其解，从而方程组（1-3）只有零解。

aA0

例2 如果n阶行列式D0,，而D中元素ij的代数余子式ij，则其次线性

方程组（1-3）必有非零解。

证 因为D0,，故D的每一行元素的代数余子式都是方程组（1-3）的解。又

Aij0

，故方程组（1-3）必有非零解。

参考文献：《高等代数》上东大学出版社

2.2 克莱姆法则的一个简易证明

在线性代数教学中, 一般是通过解二元和三元线性方程组引入行列式; 又为了完整和扣题, 是通过介绍克莱姆法则结束行列式教学的, 尽管在后面我们可以用逆阵的理论轻松地得到克莱姆法则. 由于此时, 我们还没有建立完整的线性方程组解的理论, 故一般我们是分解的存在性和唯一性两部分来证明克莱姆法则, 结果是讲的费劲, 学的迷惑. 特别是, 此刻只能指出(方程与未知数个数相同的)齐次方程的系数行列式为零是此方程组有非零解的必要条件, 很难说明充分性也成立. 在本文中, 我们用消元法轻松、自然地给出一个有关线性方程组的基本引理. 用此引理, 我们又可以轻松地证明克莱姆法则及齐次方程组有非零解的充要条件. 虽然我们多加了一个引理, 但此引理突显的是消元法, 而这也是线

性代数中理应强调的.

引理 线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1

a21x1a22x2a2nxnb2

(a) 

 

axaxaxb

n22nnnnn11

可以通过消元变换(将一方程的k倍加到另一个上)变为同解方程组

b11x1b12x2b1nxnc1



 b22x2b2nxnc2

(b) 

 

 bxc

nnnn

.

证明 首先, 通过消元法我们证明方程组(a)可化为下列形式的同解方程组

b11x1b12x2b1nxnc1



b22x2b2nxnc2

. (c) 

bn2x2bnnxncn

(1) 若a110, 用i1乘第1个方程加到第i方程上, 方程组(a)就可以化为方程组(c)

11

a

的形式;

(2) 若a110, 但某个ai10(i1), 则先将第i个方程加到第1个方程上, 再进行按上

面的方法进行;

(3) 若a11an10, 结论成立.

对于方程组(c)的后n1个方程再进行同样的处理即知本引理成立.

克莱姆法则 若线性方程组(a)的系数行列式D|aij|n0, 则此方程组有唯一的一组解

x1

D1D

, x2

D2D

, , xn

DnD

,

这里Di是将D中的第i列a1i,,ani换成b1,,bn得到的行列式.

证明 由上述引理, 方程组(a)与(b)同解, 且它们的系数行列式相等, 即

b11bnnD0. 再对方程组(b)从下向上逐步消元知, 方程组(a)与 a1x1 d1

 a2x2 d2

(c) 

 

 axd

nnn

同解, 且Da1an0. 再由行列式的性质, 我们还有

d1

D1

d2dn

a2



an

d1a2an

a1

d1d2dn



an

a1d2an

, D2,

......,

a1d1



an1

dn1dn

a1an1dn

Dn

.

于是

x1

d1d2D2dnDnD

. 1, x2, , xn

1n2DDD

定理 齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0

a21x1a22x2a2nxn0

(d) 

 

an1x1an2x2annxn0

有非零解系数行列式|aij|n0.

证明 () 设齐次方程组(d)有非零解, 我们用反证法来证实|aij|n0. 假设|aij|n0, 由克莱姆法则知此方程组有唯一一组解; 又因为齐次方程组一定有零解, 故方程组(d)无非零解. 这与开始的假设矛盾.

() 此时, 以|aij|n0为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解. 由引理知, 方程组(d)与方程组

b11x1b12x2b1nxn0

 b22x2b2nxn0

(e) 

 

 bx0

nnn

同解, 且b11bnn|aij|n0. 此刻, 至少有一个bii0. 设b11,,bnn中第一个为0的是bkk. 现在, 取xk1,xk1xn0代入方程组(e), 方程组(e)化为

b11x1b12x2b1,k1xk1d1

 bxbxd22222,k1k1

(f) .

 bk1,k1xk1dk1

此时, 方程组(f)的系数行列式等于b11bk1,k10. 由克莱姆法则, 此方程组有唯一一组解. 此解与xk1,xk1xn0拼起来就是方程组(d)的一组非零解.

2.3 克莱姆法则的一个新证明

克莱姆法则是线性代数的一个基本定理，本文用一种简洁的的方法对该定理给出了一种新的证。

克莱姆法则的定义已在1.1中学过，设含有n个未知量n个方程的

a11x1a12x2a1nb1

a22x1a22x2a2nb2



aaab

n2nnnn1

xl

其中各

detAE1

aij

为系数，各

bi

为常数项，各为未知量。用

AE1

表示方程组b2



E1的系数矩阵，

bn

'

表示系数矩阵的行列式值。用

Ai,E1

b

表示用列向量1

替换

AE1

的第

j列得到的方阵。如果detAEi0，则线性方程组有唯一的解向量如下：

detA1,E1detA2,E1detAn,E1

,,,

detAE1detAE1detAE1

'

。

AE1

证明 由于

detAEi0

，知

AE1

可逆，故可以经过有限次初等变换把逐步变成

AE2,AE3,,AEm

（单位矩阵）。

对线性方程组

E1一次做这些行初等变换，则线型方程组依次变成

。由于

AEmI

AE2,AE3,,AEm

，可知

Em具有以下形式：

c1,c2,cn,

x1

x2

Em:

xn

c2



c1n'

一方面，这些线性方程组都是同解的，而显然另一方面，对任意正整数t，有

Em存在唯一的解向量c1

。

detAEt1

detA,

Et



detAEt,

kdetAEt,

其中依次是做了如下的变换： （1）如果对（2）如果对

Et做了换行变换而变成Et1， Et做了行消法变换而变成Et1，

Et的某一个方程两端同乘以k倍而变Et1，

（3）（3)如果对

detAi,Et1

detA,i,Et

detAi,Et,

kdetAi,Et,

其中依次做了如下变换： （1）如果对（2）如果对（3）如果对

Et做了换行变换而变成Et1， Et做了行消法变换而变成Et1，

Et的某一个方程两端同乘以k倍而变Et1，

detAi,Et1detAEt1



,1



detAi,EtdetAEt

.

因此，对任意正整数t，及任意i，恒有以下各等式成立：

1



c1

1



1

c2cicn

1

注意到

Ai,Em



因此，原线性方

知i，有

det

Ai,E

m



ci

，而

AEmInn

为单位矩阵，故有

detAEm1

EI

存在唯一的解向量为

c1,

c2,

1

,c2

,

cn,',

cn

'1

,,

detAn,Em

,'

detAEm

detAn,E1

,'

detAE1



c1,1

detA1,Em,

detAEm

detA1,E1,

detAE1

detA2,EmdetAEmdetA2,E1detAE1

,

,

。

参考文献:

【1】 北京大学数学系 高等代数（第二版）【M】。北京：高等教育出版社，19 【2】 贾启恒，高等代数，济南：山东大学出版社，1993 。

2.4 关于克莱姆法则的证明的比较

2.4.1克莱姆法则证明方法的比较及其示

在克莱姆法则的证明中，不管用哪种方法，都需要论证3个结论：界的存在性、解的行列式表达、级的唯一性。从逻辑形式上来说，解的行列式表达已蕴涵了解的存在性，即只要验证（2）是（1）的解，就证明了解的存在性；事实上，

增根(因在A l , A Z*, A % 中可能有一个为0)

的新方程组D x .一D . , 而此方程组当D 并.

时有唯一解(2 ) , 因而验证了(2) 确是方程组 (l) 的解, 即就是方程组(1) 的唯一解. 3 克莱姆法则证明方法的比较及启示

在克莱姆法则的证明中, 不管用哪一种方法, 都需要论证3 个结论:解的存在性%解的行列式表达%解的唯一性.从逻辑形式上来说, 解的行列式表达已蕴涵了解的存在性, 即只要验证(2 )是(1) 的解, 就证明了解的存在性;事实上, 通过构造出( l) 的解来证明解的存在性应是克莱姆法则的本质所在.这里, 根据(1) 的解是被(验证∋还是被(构造∋, 可以将这5 种证明方法分为两种类型: (验证性∋证明和(构造性∋证明.

在(验证性∋证明中, 只要验证了(2 )是(l) 的解, 就证明了解的存在性, 文献)l #%[2 #中的证明方法就属于(验证性∋证明, 并通过(同一法∋证明了解的唯一性在(构造性∋证明中, 首先构造出( 1) 的唯一解, 再证明此唯一解也可用(2) 来表达. 可以看出, 文献[3 ] %[4 ∃和[5 ∃中的证明方法就属于(构造性∋证明.通过分析比较这两类证明方法及其证明的思路, 得到求解线性方程组的3 点重要启

不.

3 .1 消元的思想和方法是( 构造性∋证明的本质

(验证性∋证明利用行列式的性质及展开定理, 将(2) 式代人方程组( 1) , 验证了(2) 确是

(1) 的解,这样既证明了方程组( 1) 有解, 又证明了方程组(1) 的解可用(2) 来表达.但是,并非实际构造出方程组( l) 的解, 而在(构造性∋证明中, 或者通过矩阵的乘积及其乘积的行列式, 或

者通过矩阵的初等变换与所对应行列式的相互关系等数学工具确实构造出了方程组(l) 的各种不

同形式的解, 这些解都能转化为(2 )的形式.从数学严格意义上讲, 克莱姆法则是需要做出(构造性∋证明的, (构造性∋证明能体现克莱姆法则的本质, 能反映消元的思想和方法, 这也是求解

线性方程组的本质.

3.2 克莱姆法则的理论价值高于实用价值

不管哪一类证明方法, 都要给出线性方程组求解公式的行列式表达, 此表达式揭示了线性方程组的解与系数之间的函数关系,它给出了线性方程组有解的充分条件, 也检验了行列式定义的合理性, 这都是克莱姆法则的理论价值.需要指出, 克莱姆法则所给出的线性方程组的求解公式是理论性的研究中不可缺少的工具, 但在方程组的数值解法中很少被使用, 因为用克莱姆法则求解线性方程组, 需要计算n + 1 个n 阶行列式, 用于数值计算并不有效.但在(构造性∋证明方法中所渗透的消元的思想和方法克服了克莱姆法则在数值计算上的不足.

3.3 消元是解线性方程组的一个皿要的思想和方法

克莱姆法则在数值计算上的不足引起人们对一般线性方程组解的研究, 从而产生了线性方程组的数值解法的很多方法和算法,消元是解线性方程组的一个重要的思想和方法, 其基本思想是用统一算法, 经过有限次四则运算, 逐步消去方程组中未知数, 把原方程组化为同解的三角形方程组再(回代∋求出准确解.这个方法中所渗透的基本思想在线性代数的其他一系列理论问题和计算问题中都发挥着重要的作用.

参考文献∀l] 刘仲奎, 杨永保, 程辉, 等. 高等代数∗M ∃. 北京:高等教育出版社, 20 3 , 2 6一28.∗2] 郭幸琦, 岑嘉评.徐贵桐. 线性代数导引∗M #.北京:科学出版社, 2 00 1 , 52一53 .[3 ∃ 丘维声. 高等数∀M #. 北京:高等教育出版社, 199 6 , 215 .∀4 # 孙伯奎.克莱姆法则的一个断证明[J #. 山东大学学报(理学版) , 200 3 , 3 8 (2) :119一120 .∀5 ∃ 同济大学数学教研室.工程数学:线性代数(第3 版)[M #. 北京:高等教育出版社, 1999.29-3 0 .

3.1三维相对论欧拉方程组的洛伦兹不变性——克莱姆法则的应用

介绍有关三维相对论欧拉方程组的一个性质，即该方程组保持洛伦兹不变性。在证明的过程中，克莱姆法则起到了重要的作用，另一些向量运算的技巧也是必须的。

3.11 简介

我们考虑4维闵科夫斯基时空中的相对论欧拉方程组，

xx



T



0,(,0,

（1）

,3)

(nu)0,(,0,,3)



式中：T

量，且g



(pqc)uupg

2

表示能量张量；g



表示平直的闵科夫斯基时空的度



diag(1,1,1,1)，并且x0ct，同时

pn(1

ec

2

)

， （2）



是质能密度，n,e,c分别表示粒子数，静止能量以及光速。p表示压力；u(0,,3)表

u





1dx



示四维速度且

cdt

2

，这里t是固有的时间间隔，并且有

3

i2

(u)(u)1

i1

(3)

令

v

，

vv

2

2

（4）

很容易得到三维相对论欧拉方程组的方程模型见参考文献【1—4】。

x0,1





222

pcppcp

vxvv0,1

1v2c21v2c2

pc2ppc2pp

2xv0,12222

c1vc1vc （5）

式中：

x

表示关于空间变量

xx1,x2,x3

求散度。上述方程中第一个方程表示粒子数守

恒方程，第二个方程表示动量守恒方程，（因为速度为向量，它其实包括三个方程），第三个方程为能量守恒方程。

关于上述方程组的一维情形，文献【5】中证明了极端相对论整体熵解的极限问题，

文献【6】证明了其等熵子系统整体熵解的极限问题。对于三维情形，大多是球对称方面的结果，例如【7—12】。同时有关方程组( 5) 局部经典解的存在性和奇异性结果见参考文献【13—16】。并且文献【17】还从数学上揭示了方程组( 5) 的特殊相对论效应问题。

方程组( 5) 的保持洛仑兹不变性是相对论欧拉方程组的重要性质，但是在以往的工作中，只是运用这一结果，很少从理论上对其进行严格的证明，尤其对更有物理意义的三维相对论欧拉方程组而言运算比较复杂，在本文中，我们将对其进行严格的数学证明。

3.12 方程组( 5) 保持洛伦兹变换不变性

命题 1 系统( 5) 在下述洛伦兹变换下保持不变性。在证明该引理之前，首先讨论如下的洛伦兹变换。我们考虑从坐标系 K 到另外一个坐标系 K—的变换，并且坐标系 K—相对于坐标系 K 作速度为V = ( 1，V2，V3) 的运动，相应的坐标( t，x) 和( t—，x—) 应该满足下面的公式

Vx

twt2

c



xwVtIw1





,VV

x2

V

(6)



w

这里

V

2

2

。

根据式( 6) ，得到两个坐标系K和K下粒子的运动速度分别为

v

dxdt和

v

dx

dt 7

即

1

1

(1w)VV

v(VwI22

1Vvcv

1

v)

 (8)



11Vvc

2

(Vwv

1

(1w)v

2

1

VvV)

这里，表示两个向量的点乘。

利用克莱姆法则，可以从式( 6) 中反解出来(t,x)，其中

twc2

V1

wc

2

V2

wc

2

V3xw1

w1w111

V

2

V2

1

V2V1V2

V2V1V3xw1w12V2V1V21

V

2

V2

w1

2

V2

V2V3

xw1

3

Vw1w11V3t

V2

V

2

V3V21V2

V2

3wwc2

V

w1V2

wc

2

c

2

V3wV11

w1

w1w1V

2

V2

1

V2

V1V2

V2V1V3wVw122

V1

w1V2

w1

V1V2V

2

2

V2

V2V3

wVw1

w13

V2

V1V3

V

2

V3V1w12

V

2

V23

为简单起见，记

wwc2

V1

wc

2

V2

wc

2

V3wVw1

w1w11

1

2

V2V1V2

V2V1V3

L

V

V2

1

wVw12V2V1

w1V2

w1

1V2V

2

2

V2

V2V3

wVw1

3

V2

Vw11w11V3

V

2

V3V2

V

2

V2

3

经过计算，可得 L1。 所以，可以解得

wtwc

2

V2

wc

2

V3wVw1w11x12V1V2

2V1V3xVV1

1L

wV2x21

w1V2

w1

V

2

2

V2

V2V3

wVw13

x3

1w1V

2

V3V2

V

2

V2

3

(9)

(10(11 )

)

wwV1wV2wV3

1

wcV

22

V1V1

2

tx1x2x3



wc

2

w1

2

w1VV1

2

x2

1L

V1V3V2V3

V3

2

w1VVw1

2

V1V2V1V3

w1

2

w1V

2

(12 )

wwc2

V1

wc

2

V2twVw1

2

w111

xV

2

V1

V2V1V2

x13

1L

wVw1w12V2V1V21

V

2

V2

2

x2wVw1

w13

V2

V1V3

V

2

V2V3

x3

因此，有

tw

Vxt,



c2

xwVtI(w1)VV

V2

x

 同样地，从(7)式和(14)式 可以得到 v

1VV1Vvc

2

(V(w1)

V

2

)x

在以上各个式子的基础上，有如下的式子成立

vV

V

2

vV

1vVc

2

1

vV2

c

2



w

1vVc

2

(13 )

(14 (15 )

(16 (17 ) )

)

vvv

1

(1vVc)

2

2

2

(V

2

wv

2

2

2vV

(vV)c

2

)

(19 )

另一方面，从式( 6) 和式( 14) 可得:

ttw,

tx



Vc

2

w

(20 )

xt

wV,

tx

I

(w1)V

2

VV

(21 )

根据式( 20) 和式( 21) ，则相对论欧拉方程组中的粒子数守恒方程变为

t



vVx1w2c

w1

vVV0vwV2V

(22 )

把式( 16) ～ ( 19) 代入到式( 22) 中，整理得

t



vVx12c



0

三个动量守恒方程可以化为

t(

pc

1v

2

22

c

vjx(

pc

1v

2

22

c

vvj)xjp0(j1,2,3)

再次利用式( 20) 和( 21) ，上式可以化为

t(

pc

1v

2

22

c

vjw(1

vVc

2

)

wVjc

2

p)x(

pc

1v

2

22

c

vj(vwV

w1V

2

(Vv)V))

xp

xxj

0(j1,2,3)

(23)

把

vj

11Vvc

2

(Vjwvj

1

(1w)v

2

1

(vV)Vj)

代入到式( 23) 中，整理得到

22pcppc

wVjt(2)x(v)22

22c1vc1vc

(ij

w1V

2

22pcpcViVj)t(v)(vv)pjj02222xxj

1vc1vc (24 )

根据( 16) ～ ( 21) ，能量方程可以化为

2222pcppcpcpc

2)x(v)t(v)x(vv)xp0t(22222222c1vc1vc1vc1vc

(25)

t(

pc

1v

2

22



pc

2

结合式( 24) 和( 25) ，他们相当于关于变量

t(

c

)x(

pc

1v

2

22

v)

c

和变量

pc

1v

2

22

c

vj)x(

pc

1v

2

22

c

vvj)xjp

(j1,2,3)的一个齐次线性方程组，其系数

矩阵的行列式为 1wV1wV2wV3

1

1c

2

V1

V1

2

1cV1

22

V2V1V2

V2

2

1cVV1

22

V3V1V3

w

V2V3

V3

2

w1V

2

2

w1w1w1

2

1

w1VVw1

2

V1V2V1V3

w1V

2

2

0

w1V

V2V3

w1V

2

所以根据克莱姆法则，得到方程组( 24) 和( 25) 只有零解。 即

t(

pc

1v

2

22



pc

2

c

22

)x(

pc

1v

222

22

v)0

c

和

t(

pc

1v

2

c

vj)x(

pc

1v

2

c

vvj)xjp0

这也就证明了相对论欧拉方程组( 5) 在洛仑兹变换( 6) 下保持形式不变性。 参考文献:

［1］ Anile A M． Relativistic fluids and magneto-fluids，cambridge monographs on mathematical physics，Cambridge University Press， New York，1989:80 － 82．

［2］ Landau L D，Lifchitz E M． Fluid mechnics，2nd Edi-tion，Pergamon，1987: 505 － 512． ［3］ Li T T，Qin T． Physics and parital differential equa-tions ( 2nd edition ) ，Higher Eudcation Press: Bei-jing，2005: 183 － 196．

［4］ Shi C C． Relativistic fluid dynamics，Science Press，Beijing，1992: 161 － 232． ［5］ Geng Y C，Li Y． Non-relativistic global limits of entro-py solutions to the extremely relativistic Euler equa-tions，Z Angew Math Phys，2010，61: 201 － 220．

［6］ Li Y C，Geng Y． Non-relativistic global limits of Entro-py solutions to the isentropic relativistic Euler equa-tions，Z Angew Math Phys，2006，57: 960 － 983．

［7］ Guo Y，Tahhvildar-Zadeh S． Formation of singularitiesin relativistic fluid dynamics an in spherically sym-metric plasma dynamics［J］． Cntemp Math，2009，238: 151 － 161． ［8］ Hao X W，Li Y C． Non-relativistic global limits of en-tropy solutions to the Cauchy problem of the three di-mensional relativistic Euler equations with sphericalsymmetry［J］． Commun Pure Appl Anal，2010，9: 365－ 386．

［9］ Hsu C H，Lin S，Makino T． Spherically symmetric so-lutions to the compressible Euler equation with an as-ymptotic γ-law［J］． Japan J Indust Appl Math，2003，20: 1 － 15． ［10］ Hsu C H，Lin S，Makino T． On spherically symmetricsolutions of the relativistic eulere quation［J］． J Dif-frential Equations，2004，201: 1 － 24．

［11］ Mizohata K． Global solutions to the relativistic Eulerequation with spherical symmetry［J］． Japan J IndustAppl Math，1997，14: 125 － 157．

［12］ Moser J． Global solutions to the relativistic euler e-quation with spherical symmetry［J］． Jappan J InduAppl Math，1997，14: 125 － 157．

［13］ Lefloch P，Ukai S． A symmetrization of the relativisticEuler equations in sevaral spatial variables［J］． KinetRelat Modles，2009，2: 275 － 292．

［14］ Makino T，Ukai S． Local smooth solutions of the rela-tivistic euler equation［J］． J Math Kyoto Univ，1995，35: 105 － 114．

［15］ Makino T，Ukai S． Local smooth solutions of the rela-tivistic euler equation［J］． Ⅱ Kodai Math J，1995，18: 365 － 375．

［16］ Pan R，Smoller J． Blowup of smooth solutions for rela-tivistic euler equations ［J］． Commun Math Phys，2006，262: 729 － 55．［17］ Geng Y C，Li Y． Special relativistic effects revealed inthe Riemann problem for three-dimensional relativis-tic Euler equations［J］． Z

Angew Math Phys，2010．287

3.2 关于相容线性方程组的广义克莱姆法则

克莱姆法则给出了未知量个数等于方程个数的相容线性方程组的求解公式.本文利用向量空间的有关知识，将克莱姆法则推广到一般相容线性方程组求解的情况，得到所谓的广义克莱则.

3.2.1 问题的提出

众所周知，线性方程组的克莱姆法则揭示了未知数的个数与方程组的方程个数相同的情况下，当系数行列式 det(A)0 时，非齐次线性方程组：

a11x1a12x2a1nxnb1



a21x1a22x2a2nxnb2



axaxaxb

n22nnnnn11

有唯一解。即

xj

det(AjB)det(A)

,(j1,2,,n)

其中

AjB

表示将矩阵A的第j列用列向量 B替换后所得到的矩阵【1】。

对于如上非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组，当它们的系数行列

()时，非齐次线性方程组无解或无穷多解，而其对应的齐次线性方0式 detA

程组有非零解，此时用克莱姆法则却无法确定解空间的结构【2-3】。另一方面，

高斯消元法虽然较克莱姆法则在求解非齐次线性方程组的解时简捷，并给出了求解的方法步骤，在计算机上编制程序较为简单，但它却不适用于一般线性方程组的求解。

现给定一个长方形线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1

a21x1a22x2a2nxnb2



axaxaxb

m22mnnmm11

(1)

将它写为矩阵的形式为：AXB

这里

a11

A

a21am1

a12a22am2



a1na2namn

,X

x1x2xn

,B

b1b2bn

其中A是一个mn实矩阵，且rank(A)mn,B是一个m1的实矩阵。

根据克朗奈克———卡波尔定理，显然rank(A)rank((A,B))mn，所以线性方程组（1）有无穷多个解【3】遗憾的是，克朗奈克———卡波尔定理并没有给出具体找相容线性方程组所有解的方法.通过对一般齐次线性方程组解空间基础解系的研究，我们虽然得到了齐次线性方程组与非齐次线性方程组通解结构的性质，但通解的表达式仍然不是定量的，尤其是求非齐次线性方程组的特解没有规律可循，所以解题步骤尚不规范。

本文对一般相容线性方程组求解的上述问题，给出了求一般线性方程组一组特解的广义克莱姆法则。

3.2.2 引力及理论

为了得到本文的主要结果，首先我们给出如下预备知识：

引理 2.1 对于n维向量空间V的任意子空间W且dimWm，总存在W的正交补

W





，使得VWW其中表示线性空间的直和且 dimW



nm

1

引理 2.2 对于n 维向量空间V 的任意子空间W且dimWm，设

ai(a1i

a2i



ani)W,(i1,2,,m)



c(m1)n)W



且线性无关，则总可以找到向量

Bm1ai,(i1,2,,m)

Bm1(c(m1)1c(m1)2

使进一步，可以找

到

Bm2,,Bn

使

a1,,am,Bm1

成为向量空间V的一组基

12。

证明 引理 2.2 的前一部分在文献[1-2]中已经证明.下证后半部分。 因为

Bm1ai,(1,2,,m)

，所以向量组

a1,,am,Bm1

线性无关。事实上，设

k1a1kmamkm1am1

等式两边用Bm1作内积得 km10，于是上式成为

k1a1k2a2kmam

而a1,a2,,am线性无关，因此k1k2km0，即a1,,am,Bm1线性无关。

同理，我们可以找到向量组a1,,am,Bm1的正交补向量Bm2，使向量组

a1,,am,Bm1,Bm2

线性无关，一直继续下去，经过nm步之后得到的向量组

线性无关。又由于dimVn，所以成为向量空间V的一组基。

a1,,am,Bm1,Bm2,Bna1,,am,Bm1,Bm2,Bn

引理 2.3 对于n维向量空间V，设线性方程组(2)中向量组

ai(ai1

ai2



ain)V,(i1,2,,m)

，这里

通过添加单位正交补向量扩充为V的一组基

cj(cj1

cj2





a1,,a1,cm1,,cn

cjn),(jm1,m2,,n)

即

aicj0,cjc



j1

0,cj1,(i1,2,,m;jm1,m2,,n)

cn)



如果记

C(cm1cm2



，则线性方程组

AB

XC0

(3)

的解一定是线性方程组(2)的解.反之未必。

注：对于矩阵 C 不是矩阵 A 的单位正交补矩阵的情况，该结论依然成立【2-3】。

定理 2.1 （广义克莱姆法则）在线性方程组（2）中，若rank(A)m，则

xj

detA(jBA



)



detAA(

dAej(A0)

,(j1,2,n,

)



(4)

)

是线性方程组（2）的一组特解.其中 Aj〈B〉和 Aj〈0〉分别表示将矩阵 A 的第 j 列用列向量 B 和 0 替换后所得到的矩阵，AT表示 A 的转置。

证明 由引理 2.3 知，线性方程组（3）的系数矩阵行列式 所以由克莱姆法则知，线性方程组（3）有唯一解

AB

det()

C0

Adet

C

A

det()0

C【4】，

xj

,(j1,2,,n)

(5)

A

det0

在（5）的分子、分母上同乘以C，得

xj

ABA

det()det

C0C

AAdetdet

CC





,(j1,2,,n)

(6)



由拉普拉斯（Laplace）定理，上式可表为

AjBAdet()det

C0

Cj

AA

det()

CC



xj

,(j1,2,,n)

根据分块矩阵乘法和分块矩阵行列式的性质，因为

AAAA

CCCA





ACAA



CC0

0I

所以

AAAA

det()det

CC0



0

detAAI

再根据行列式的性质

AjB0AjB

det()det(

C0Ccc

jjjj

AjBAjB0

det)detCC



所以

AjBAjBAj0AAA

det()detdetdetdetdetC0CCCCCj





而

AjBAAjBAjBAA

det()detdet()det

CCCCCAAjBA

det

0



AjBC

detAjBAI







AjBC



CC

同理

Aj0A

detdetdetAj0A

CC



将上述结果代入（6）中得

xj

detAjBA

detA

detAA





j

0A





,(j1,2,,n)

由引理 2.3 可知，上式也是线性方程组（2）的解.定理证毕.

定理 2.2 在线性方程组（2）中，若 rank（A）=rank（A，B）=r 且 r＜min{m，n}，则线性方程组（2）与线性方程组

ai11x1ai12x2ai1nxnbi1

ai21x1ai22x2ai2nxnbi2



axaxaxb

ir22irnnirir11

(7)

同解，其中是线性方程组（2）的个线性独立的方程，并且

detxj

rrAjB





A

r







detAj



r

r



A

r











detA



r

A

r







,j1,2,,n

(8)

是线性方程组（2）的一组特解.这里

ai11

A

r

ai12ai22air2



ai1nai2nairn

,B

r

bi1bi2bir

,0

r

000



ai21air1

分别是线性方程组（7）的系数矩阵和常数列向量，Aj（r）〈B(r)〉和 Aj（r）〈0(r)〉分别表示将矩阵 A(r)的第 j 列用列向量 B(r)和 0(r)替换后所得到的矩

阵，（A(r)表示 A(r)的转置.证明 因为 rank（A）=rank（A，B）=r，所以线性方程组（2）必有 r 个互相独立的方程.这 r 个彼此独立的方程组成的线性方程组（7）与（1）同解[1，5].而线性方程组（7）的系数矩阵是行满秩的，根据定理 2.1 知本定理的结论（8）成立.

3.2.3 应用举例

例 求一般线性方程组

2x1x2x3x41



4x12x22x3x422xxxx1

1234

的一组特解【6】。

解：因为线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都等于 2，所以原线性方程组有解且与线性方程组

2x1x2x3x41

4x12x22x3x42



同解.设该线性方程组的系数矩阵为A，则通过计算知A和AA分别为

2A

4

12

12

17

,AA113

13

25

又

AjBA



和

Aj0A



j1,2,3,4分别为

93

,A0A1175

5

;9112111;211224

5

A1BA

9A2A3

7

BA

13



136

,A20A251196

,A30A1711136

,A0A42612

5

BA

9



7

A4BA

14

所以，分别可得

det

AA



6



detA1BA

detA2BAdetA3BAdetA4BA





detAdet

AdetAdetA

16

1

0A



2

0A0A0A





3



4

2110

由广义克莱姆法则的公式（3）可得线性方程组的一组特解为

x1

13,x2

,x3

16,x10

从本题的求解过程可以看出，这种方法的计算量比高斯消去法的确复杂的多，但它毕竟为我们提供了一个求一般相容线性方程组特解的公式。 然而，需要强调的是：今后在实际计算中，我们应该尽可能避免使用这种方法。 参考文献：

[1]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M]. 北京:高等教育出版社,

2007(6):63-78[2]Carl D.Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra [M].New York:Cambridge University Press,2001(2): 299-303。

[3]周禄新, 陶惠民. 非齐次线性方程组有解充要条件的讨论[J]. 天津理工学院学报, 1994(2):30-37。

[4]杨可. 用加边矩阵求解非其次线性方程组的尝试[J]. 内蒙古林学院学报, 1996(4):65-70。

[5]Richard Ehrenborg.A Conceptual Proof of Cramer's Rule[J].Mathematics Magazine,2004(10):308。

[6]刘芳. 线性方程组与最简通解公式[J]. 攀枝花大学学报, 2000(4):68-79。

3.3克莱姆法则在矿料级配设计中的运用

以 SMA-13 沥青混合料目标配合比设计中对各矿料组成比例的确定为例，详细论述了克莱姆法则在其中的应用，通过克莱姆法则的应用，使计算机试配法有针对性地进行，进而使整个试配过变得简单明了。

克莱姆法则( Cramer’s Rule) 是瑞士数学家克莱姆( 1704 ～1752) 于 1750 年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。克莱姆法则就是利用行列式

求解线性方程组，但解方程组必须满足两个条件，一个是方程个数要等于未知量个数，一个是系数行列式不等于零。

这两个条件在矿料级配设计中都可以满足。假设现在掺配的矿料有四档，即矿料组成比例为待解的四个未知数( 未知量个数为 4) ，这个时候再选取四个关键性筛孔与之组成方程组( 方程个数为 4) 。

这种方法的运用旨在使计算机试配法有针对性地进行，使整个试配过程变得简单明了，亦突出体现了关键性筛孔对级配控制的重要性。

现在以 SMA-13 沥青混合料目标配合比设计过程中对各矿料组成比例的确定为例，详述其应用。

在目标配合比设计中，首先要对选定的掺配原材料进行筛分，从而对其进行级配合成。合成级配指的是某一筛孔的合成通过率等于各规格料中该筛孔通过率乘以对应的各规格料的用量比例的积之和。规范中对各种类型混合料的级配范围进行了规定，因此，我们刚好参照规范中对 SMA-13 混合料的级配范围要求，初定几个关键性筛孔的合成通过率，通过对“克莱姆法则”的运用，解算矩阵方程，反求得各掺配集料和填料的组成百分比例。

表 1 为 SMA-13 混合料目标配合比设计中对掺配原材料的筛分试验结果和级配范围要求。表 1 中，我们参照级配范围要求，靠近级配范围中值，结合技术规范中对关键性筛孔的通过率要求，假定几个关键性筛孔在合成级配中的通过率( 可以同时假定几组，位于设计级配中的上方、中部和下方，然后进行一系列的比较) 。

例如在表1 中，我们假定了13．2 mm( 公称最大粒径) ，4． 75 mm( 控制粗集料) ，2． 36 mm( 控制细集料) ，0． 075 mm( 控制粉尘含量) 四个关键性筛孔在合成级配中的通过率分别为 98% ( 规范要求级配范围 90% ～ 100%) ，28% ( 规范要求级配范围 20% ～34% ) ，21% ( 规范要求级配范围 15% ～ 26% ) ，11% ( 规范要求级配范围8%～12%) 。在 Excel 中形成的四个关键性筛孔在合成级配中的通过率如表2 所示。

表 1 掺配原材料的筛分试验结果和级配范围要求

表 2 四个关键性筛孔在合成级配中的通过率

我们选定四个关键性筛孔的原因是为了满足“克莱姆法则”中的条件一。

现在已知关键性筛孔在合成级配中的通过率，结合各掺配料中关键性筛孔的筛分通过率，即可通过解算矩阵方程组,反求得料组成百分率。解算过程如下:

1) 提取筛分结果中掺配各档料的关键性筛孔通过率见表 3。

表 3 筛分结果中掺配各档料的关键性筛孔通过率

X1,X2,X3,X4

的值，即是各档料的矿

在 Excel 表格中引用函数［MDETERM( ) ］( 返回一数组所代表的矩阵行列式的值) ，求解表 3 中的行列式的值为 P。

2) 将表 2 中的通过率数据一列分别单独置换表 3 中 0 ～ 5， 5 ～ 10，10 ～ 15 矿粉中对应的通过率一列。例如，表 4 即为将表 2 中的通过率数据一列单独置换表 3 中 0 ～5 对应的通过率一列后形成的一组

数。

表 4 表 2 中通过率置换表 3 中 0 ～5 对应通过率后形成的数据

其他三档料按上面方法一一形成另外三组数。

同样在 Excel 表格中引用函数［MDETERM( ) ］，分别求解置换通过率之后的四组行列式的值，分别为Q1,Q2,Q3,Q4，有：

X1Q1P,X2Q2P,X3Q3P,X4Q4P

。

例子中，通过计算得到

18%,24%,50%,10% 。

X1,X2,X3,X4

的值在修约后分别为

解算得到的

X1,X2,X3,X4

并不是最终的各档料的矿料组成百分率，它们之和

也不一定等于 1( 例中百分率之和为 102%) ，而且有时候解得的值会是负数，这就需要根据情况做适当的调整。针对解得的值是负数，必须调整假定的几个关键性筛孔在合成级配中的通过率; 针对它们之和不等于 1，可以调整假定的几个关键性筛孔在合成级配中的通过率，亦可以直接调整

X1,X2,X3,X4

X1,X2,X3,X4

的值，使得

之和接近或等于1.我们把调整后的

X1,X2,X3,X4

作为各档料的矿

料组成百分率初步确定下来，通过级配合成即可得到完整的合成级配，形成级配曲线并观察其是否达到对 SMA-13 的设计意图，对其进一步优化。对例中所求的0 ～5，5 ～ 10，10 ～ 15，矿粉的矿料比例进行调整后为 17% ，24% ，49% ，10% 。

所得到的合成级配及其曲线分别见表 5 和图 1。

表 5 合成级配计算结果

图1 级配曲线

对高速公路、一级公路、城市快速路、主干道等交通量大、轴载重的道路，宜偏向级配范围的下限( 粗) ，对一般道路、中小交通量或人行道路等宜偏向级配范围的上限( 细) 。

合成级配曲线应接近连续的或合理的间断级配，但不应过多 的犬牙交错，尽量形成近 S 形的曲线。当经过再三调整，仍有两个以上的筛孔超出级配范围时，必须对原材料进行调整或更换原材料重新试验。

表 6 马歇尔试验验证结果

结合试验所得最佳沥青用量，以上述方法所得矿料组成比例拌合成型试件，

所得试验结果见表 6。

从验证结果来看，所验证的各个指标都能够满足技术要求。

参考文献:

【1】 JTG F40-2004，公路沥青路面施工技术规范［S］。

【2】 吕伟民，孙大权． 沥青混合料设计手册［M］． 北京: 人民交通 出版社，2007:4。