2017届高三第一次月考数学试题(含答案)word版

江西省浮梁一中2017届高三第一次月考

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知(1-i ) z =1+i ，则复数z 等于 （ ）

A ．1+i

B ．1-i

C ．i

D ．-I 2．设x ∈R ，则x 2

-1=0是x 3

-x =0的

（ A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．命题：对任意a ∈R , 方程ax 2

-3x +2=0有正实根的否命题是 （ A ．对任意a ∈R , 方程ax 2

-3x +2=0无正实根； B ．对任意a ∈R , 方程ax 2-3x +2=0有负实根； C ．存在a ∈R , 方程ax 2-3x +2=0有负实根；

D ．存在a ∈R , 方程ax 2-3x +2=0无正实根.

4．要得到函数y =3sin(2x +π

3

) 的图像，只需把函数y =3sin 2x 的图像

（

A ．向左平移

π6

B ．向右平移

π6

C ．向左平移

π3

D ．向右平移

π3

⎧x -y ≥05. 设变量x , y 满足约束条件⎪

⎨x +y ≤1，则目标函数z =5x +y 的最大值为 （⎪⎩

x +2y ≥1

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

6. 设a , b 是两条直线，α, β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是 （ (A) a ⊥α, b //β, α⊥β (B) a ⊥α, b ⊥β, α//β (C) a ⊂α, b ⊥β, α//β (D) a ⊂α, b //β, α⊥β

7. 设集合S ={x |x -2>3}

, T ={x |a (C) a ≤-3或a ≥-1 (D) a -1

）

）

）

）

）

）

8．已知平面向量=(x , 1), =(x , -x 2) ，则向量a -b

A ．平行于x 轴 C ．平行于y 轴

（ ）

B ．平行于第一、三象限的角平分线 D ．平行于第二、四象限的角平分线

（ ）

2

9．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4⋅a 10=2a 6, a 3=1，则a 2=

A ．

1

2

B ．

2 2

C ．2

D ．2

x 2y 2

+=1的交点个数 10．直线x -ty -3=0与椭圆

2516

（ ）

A ．有2个 C ．有0个

B ．有1个 D ．与t 的取值有关

11．已知f ' (x ) 是f (x ) 的导函数，在区间[0, +∞)上f ' (x ) >0，且偶函数f (x ) 满足

1

f (2x -1)

3

A ．(, )

（ ）

1233

B ．⎢, ⎪

⎡12⎫⎣33⎭

C ．(, )

1223

D ．⎢, ⎪

⎡12⎫⎣23⎭

12．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数，

f (x ) =sin

4π2π2π

x , 则可以输出的函数是f (x ) = （ ）

x , f (x ) =cos ，f (x ) =tan 333

A ．f (x ) =sin

2π

x 34πx , 3

B ．f (x ) =cos

2π 3

C ．f (x ) =tan

D ．非上述函数

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分. 把答案填在答题卡中对应题号后）

13．调查队想从某学校108名高中生，90名初中生，12名教师中，用分层抽样的方法抽取一

个容量为n 的样本，要求初中生有6人，则抽取的样本容量n 为 . 14. 从如图所示的长方形区域内任取一点M （x,y ）, 则M 取自阴影部分的概率为 .

15．已知直线x +2y -4=0与⎨

⎧x =2-3cos θ,

（θ为参数）

y =1+3sin θ⎩

相交于A 、B 两点，则|AB|= .

16. 若关于x 的方程x 2+4x +|a -1|+|a +1|=0有实根，则实数a 的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ）

17．（本小题满分12分） 在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且

b 2+c 2=a 2+bc , B =

π

6

，BC 边上的中线AM 的长为.

（I ）求角A 、C 的大小；（II ）求∆ABC 的面积.

18. （本小题满分12分）

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为未命中的概率为

1

与p ，且乙投球2次均2

1. 16

（Ⅰ）求乙投球的命中率p ；

（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分）

已知四棱锥P —ABCD 的侧棱PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且AB=AP=a. （I ）若E 、F 分别是PA 、BC 的中点，证明EF//平面PCD ； （II ）求点A 到平面PBD 的距离.

20．（本小题满分12分）

已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且2a n =S n +n . （I ）若b n =a n +1, 证明：数列{b n }是等比数列；（II ）求数列{S n }的前n 项和T n .

21. （本小题满分12分） 已知函数f (x )=x +

a

+b (x ≠0)，其中a , b ∈R . x

（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P (2, f (2))处的切线方程为y =3x +1，求函数f (x )的解析式； （Ⅱ）讨论函数f (x )的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的a ∈⎢, 2⎥，不等式f (x )≤10在⎢, 1⎥上恒成立，求b 的取值范围.

24

⎡1⎤⎣⎦⎡1⎤

⎣⎦

22．（本小题满分14分）

已知三点A (-1, 0), B (1, 0), C (-1, ) ，曲线E 过C 点，且动点P 在曲线E 上运动，并保持|PA|+|PB|的值不变. （I ）求曲线E 的方程；

（II ）若C 、M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) 是曲线E 上的不同三点，直线CM 、CN 的倾斜角互补.

问直线MN 的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.

32

参考答案

一、选择题：

CADADC ACBAAB

17．解（I ）由b 2+c 2=a 2+bc ,

b 2+c 2-a 23π

得cos A ==, A =.

2bc 26

∴C =π-(A +B ) =

…………4分 …………6分

2π

. 3

在∆AMC 中由余弦定理得

AC 2+MC 2-2AC ⋅MC cos C =AM 2,

即x +() -2x ⋅ 解得x =2, 故S ∆ABC =

2

x 2

2

x 1

⋅(-) =(7) 2, 22

…………10分 …………12分

122πx sin =3. 23

（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知P (A )=

1131

, P A =, P (B )=, P B = 2244

))

ξ可能的取值为0，1，2，3，故

1⎛1⎫1

P (ξ=0)=P A P B ⋅B =⨯ ⎪= …………5分

2⎝4⎭32

1

P (ξ=1)=P (A )P B ⋅B +C 2P (B )P B P A

))

2

()()()

………6分

1⎛1⎫3117

=⨯ ⎪+2⨯⨯⨯=2⎝4⎭44232

2

2

1⎛3⎫9

P (ξ=3)=P (A )P (B ⋅B )=⨯ ⎪= ………7分

2⎝4⎭32

P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=3)=

ξ的分布列为

15

………8分 32

+1⨯+2⨯+3⨯=2 …………12分 ξ的数学期望E ξ=0⨯32323232

（II ）连接BD ，设点A 到平面PBD 的距离为h ，

则由（I ）知PA ⊥底面ABCD ，∆PBD 是边长为2a 的正三角形， 而由V P -ABD =V A -PBD 得⨯S ∆ABD ⨯PA =即S ∆PBD ⨯h =S ∆ABD ⨯PA .

1

31

⨯S ∆PBD ⨯h , 3

…………9分

20．解：（I ）n=1时，2a 1=S 1+1, ∴a 1=1.

由题意得2a n =S n +n , 2a n +1=S n +1+(n +1), 两式相减得2a n +1-2a n =a n +1+1即a n +1=2a n +1.

…………3分

于是a n +1+1=2(a n +1), 即b n +1=2b n , 又b 1=a 1+1=2.

所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列.

…………6分

21. （Ⅰ）解：f '(x ) =1-

a

，由导数的几何意义得f '(2)=3，于是a =-8． 2x

由切点P (2,f (2))在直线y =3x +1上可得-2+b =7，解得b =9． 所以函数f (x ) 的解析式为f (x ) =x -

8

+9。 ……………4分

x

当x 变化时，f '(x ) ，f (x ) 的变化情况如下表：

所以f (x ) 在(-∞, ，+∞) 内是增函数，在(，(0,+∞) 内是减函数．…9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f (x ) 在[,1]上的最大值为f () 与f (1)的较大者，对于任意的

1414

39⎧1⎧

11⎪f () ≤10⎪b ≤-4a a ∈[, 2]，不等式f (x ) ≤10在[,1]上恒成立，当且仅当⎨4，即⎨，4

24⎪⎪⎩f (1) ≤10⎩

b ≤9-a

∴由定义得P 点轨迹是椭圆， 且b =a -c =3.

2

2

2

…………3分

x 2y 2

+=1. 因此，曲线E 的方程为43

3

, 2

…………6分

（II ）由条件知直线CM ， CN的斜率存在且不为0，

设直线CM 的方程为y

=k (x +1) +

整理得(4k +3) x +4k (2k +3) x +4k +12k -3=0 ∵C 在椭圆上，

2

2

2

4k 2+12k -3

, ∴方程两根为-1, x

1∴-x 1=

4k 2+3

4k 2-12k -3

∴x 2=-.

4k 2+3

…………12分

则x -24k 1-x 2=

4k 2+3, x 6-8k 2

1+x 2=4k 2+3

. 又y

1=k (x 1+1) +

33

2, y 2=-k (x 2+1) +2

,