第二讲 运动电荷在磁场中受到的力

第二讲 运动电荷在磁场中受到的力

一、洛伦兹力的大小和方向 1．洛伦兹力的大小

(1)v ∥B 时，洛伦兹力F ＝ .(θ＝0°或180°) (2)v ⊥B 时，洛伦兹力F ＝ .(θ＝90°) (3)v ＝0时，洛伦兹力F ＝ . 2．洛伦兹力的方向

(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向电流的方向即正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向．

(2)方向特点：F ⊥B ，F ⊥v . 即F 垂直于 决定的平面．(注意B 和v 可以有任意夹角)

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1．若v ∥B ，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做 运动．

2．若v ⊥B ，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v 做

运动．

(1)基本公式

①向心力公式：qvB ＝ . ②轨道半径公式：r ＝ ③周期、频率和角速度公式： 2πr 2πm T ＝＝.

qB 1qB f ＝＝ T 2πm

T

v

2πqB ω＝＝2πf ＝m

(2)T 、f 和ω的特点

T 、f 和ω的大小与轨道半径r 和运行速率v ，只与磁场的

有关．

和粒子的

名师点睛

一、洛伦兹力与安培力相比较

安培力是洛伦兹力的宏观表现，但各自的表现形式不同，洛伦兹力对运动电荷永远不做功，而安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可不做功．

(1)电荷在电场中一定受电场力，而在磁场中不一定受洛伦兹力．

(2)洛伦兹力的方向与速度方向一定垂直，而电场力的方向与速度方向无必然联系． 三、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题 1．圆心的确定

(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心． (2)两种情形

①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和射出点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P 为入射点，M 为出射点) ．

②已知入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙，P 为入射点，M 为出射点) ． 2．半径的确定

用几何知识(勾股定理、三角函数等) 求出半径大小．

3．运动时间的确定

粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动αα

时间由下式表示：t ＝T (或t ＝) ．

360°2π4．带电粒子在不同边界磁场中的运动

(1)直线边界(进出磁场具有对称性， 如下图)

(2)平行边界(存在临界条件，如下图)

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如下图)

同学自测

1. 带电荷量为＋q 的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是( ) A ．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同

B ．如果把＋q 改为－q ，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变 C ．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直 D ．粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能，速度均不变

2. 如右图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t . 若加上磁感应强度为B 水平向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的( ) A ．带电粒子的比荷

B ．带电粒子在磁场中运动的周期 C ．带电粒子的初速度

D ．带电粒子在磁场中运动的半径

3.(2011·温州市八校联考) 如右图所示，一个静止的质量为m 、带电荷量为q 的粒子(不计重力) ，经电压U 加速后垂直进入磁感应强度为B 的匀强磁场中，粒子打至P 点，设OP ＝x ，能够正确反应x 与U 之间的函数关系的是( )

4．(2011·盐城、泰州联考) 如右图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a 、b 、c ，以不同的速率对准圆心O 沿着AO 方向射入磁场，其运动轨迹如图所示，若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是( ) A ．a 粒子动能最大 B ．c 粒子速率最大

C ．c 粒子在磁场中运动时间最长 D ．它们做圆周运动的周期Ta

5. 三个速度大小不同的同种带电粒子，沿同一方向从如右图长

方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中运动的时间之比( ) A ．1∶1∶1 B ．1∶2∶3 C ．3∶2∶1 D ．1∶2∶3

题型一、带电粒子在直线边界磁场中的运动问题

例1、(18分)(2010·新课标全国卷) 如右图所示，在0≤x ≤a 、0≤y ≤2

xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B . 坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a /2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小；

(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦．

反思总结：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法： (1)画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．

(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．

(3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式，半径公式． 跟踪发散1－1：如右图所示，直角三角形ABC 中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB 方向射入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，则( ) A ．从P 射出的粒子速度大 B ．从Q 射出的粒子速度大

C ．从P 射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D ．两粒子在磁场中运动的时间一样长

题型二、带电粒子在圆形边界磁场内的运动问题

例2、如右图所示，半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力) 从A 点以速度v 0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B 点射出．若∠AOB ＝120°，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( ) 2πr 23πr πr 3πr A. B. D. 3v 03v 03v 03v 0

a

跟踪发散2－1：（选做）受控热核聚变要把高度纯净的氘、氚混合材料加热到1亿度以上，即达到所谓热核温度．在这样的超高温度下，氘、氚混合气体已完全电离，成为氘、氚原子核和自由电子混合而成的等离子体．从常温下处于分子状态的氘、氚材料开始，一直到上述热核温度的整个加热过程中，必须把这个尺寸有限的等离子体约束起来，使组成等离子体的原子核在发生足够多的聚变反应之前不至于失散，可一般的容器无法使用，因为任何材料的容器壁都不可能承受这样的高温．而磁约束是目前的重点研究方案，利用磁场可以约束带电粒子这一特性，构造一个特殊的磁容器建成聚变反应堆． 图示是一种简化示意图，有一个环形匀强磁场区域的截面内半径R 13 m，外半径R 2＝3 m ，磁感应强度B ＝0.5 T，被约束的粒子的比荷 C/kg，不计粒子重力和粒子间相互作用．

(1)若带电粒子从中间区域沿半径方向射入磁场，则粒子不能穿越磁场外边界的最大速率v m 是多少？

(2)若带电粒子以(1)问中最大速率v m 从圆心O 出发沿圆环半径方向射入磁场，请在图中画出其运动轨迹，并求出粒子从出发到第一次回到出发点所用的时间．

q m

7

1．如下图所示，将一阴极射线管置于一通电螺线管的正上方，且在同一水平面内，则阴极射线将( ) A ．向外偏转 B ．向里偏转 C ．向上偏转 D ．向下偏转

2. 如右图所示，在半径为R 的圆形区域内有匀强磁场．在边长为2R 的正

方形区域里也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相同．两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M 、N 两点射入匀强磁场．在M 点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N 点射入的带电粒子，速度方向与边界垂直，且N 点为正方形边长的中点，则下列说法正确的是( )

A ．带电粒子在磁场中飞行的时间可能相同 B ．从M 点射入的带电粒子可能先飞出磁场 C ．从N 点射入的带电粒子可能先飞出磁场

D ．从N 点射入的带电粒子不可能比M 点射入的带电粒子先飞出磁场

3．如右图所示，纸面内有宽为L 水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m ，电荷量为－q ，速率为v 0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以

mv 01L

是(其中B 0＝A 、C 、D 选项中曲线均为半径是L 的圆弧，B 选项中曲线为半径是的

qL 42

圆)( )

4.(2010·江苏单科) 如图所示，在匀强磁场中附加另一匀强磁场，附加磁场位于图中阴影区域，附加磁场区域的对称轴OO ′与SS ′垂直，a 、b 、c 三个质子先后从S 点沿垂直于磁场的方向射入磁场，它们的速度大小相等，b 的速度方向与SS ′垂直，a 、c 的速度方向与b 的速度方向间的夹角分别为α、β，且α>β. 三个质子经过附加磁场区域后能到达同一点S ′，则下列说法中正确的有( ) A ．三个质子从S 运动到S ′的时间相等

B ．三个质子在附加磁场以外区域运动时，运动轨迹的圆心均在OO ′轴上 C ．若撤去附加磁场，a 到达SS ′连线上的位置距S 点最近 D ．附加磁场方向与原磁场方向相同

5. 如右图所示，在一底边长为2a ，θ＝30°的等腰三角形区域内(D 在底边中点) ，有垂直纸面向外的匀强磁场．现有一质量为m ，电荷量为q 的带正电的粒子从静止开始经过电势差为U 的电场加速后，从D 点垂直于EF 进入磁场，不计重力与空气阻力的影响． (1)若粒子恰好垂直于EC 边射出磁场，求磁场的磁感应强度B 为多少？

(2)改变磁感应强度的大小，粒子进入磁场偏转后能打到ED 板，求粒子从进入磁场到第一次打到ED 板的最长时间是多少？

思维拓展（选做）

20．处理带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法 一、放缩法

带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，(图中只画出粒子带正电的情景) ，速度v 0越大，运动半径也越大．可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上．由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，

将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”． 例1、如图所示，宽度为d 的匀强有界磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°. 要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？

二、平移法

带电粒子以一定速度沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R ＝mv 0/(qB ) ，如图所示．同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P 为圆心、半径R ＝mv 0/(qB ) 的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”) 上．由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为R ＝mv 0/(qB ) 的圆沿

着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”．

例2、如右图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60 T，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离l ＝16 cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v ＝3.0×106

q

m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比5.0×107 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α

m

粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度．