GPS网三维平差模型

GPS 网三维平差模型

姓名：*** 学号：09200200**

摘 要：介绍了GPS 网三维平差的方法，包括三维无约束平差和三维约束平差，介绍了各平差方法的定义、作用和数学模型。 关键字：GPS ；三维平差；数学模型

1 引言

GPS 控制网是由相对定位所求得的基线向量而构成的空间基线向量网，在GPS 网的数据处理过程中，基线解算所得到的基线向量仅能确定GPS 网的几何形状，但却无法提供最终确定网中点的绝对坐标所必需的绝对位置基准。在GPS 网平差中，通过起算点坐标可以达到引入绝对基准的目的。在GPS 控制网的平差中，是以基线向量及协方差为基本观测量的。通常采用三维无约束平差、三维约束平差。各类型的平差具有各自不同的功能，必须分阶段采用不同类型的网平差方法。

2 三维无约束平差 2.1 定义

所谓GPS 网的三维无约束平差是指平差在WGS-84三维空间直角坐标系下进行， GPS 控制网中只有一个位置基准。平差时不引入使得GPS 网产生由非观测量所引起的变形的外部约束条件。具体地说，在进行三维平差时，其必要的起算条件的数量为三个，这三个起算条件既可以是一个起算点的三维坐标向量，也可以是其它的起算条件。

2.2 作用

GPS 网的三维无约束平差有以下三个主要作用：

(1) 改善GPS 网的质量，评定GPS 网的内部符合精度。通过网平差，可得出一系列可用于评估GPS 网精度的指标，如观测值改正数、观测值验后方差、观测值单位权方差、相邻点距离中误差、点位中误差等。发现和剔除GPS 观测值中可能存在的粗差。由于三维无约束平差的结果完全取决于GPS 网的布设方法和GPS 观测值的质量，因此，三维无约束平差的结果就完全反映了GPS 网本身的质量好坏，如果平差结果质量不好，则说明GPS 网的布设或GPS 观测值的质量有问题；反之，则说明GPS 网的布设或GPS 观测值的质量没有问题。

(2) 消除由观测量和已知条件中所存在的误差而引起的GPS 网在几何上的不一致，由于观测值中存在误差以及数据处理过程中存在模型误差等因素，通过基线解算得到的基线向量中必然存在误差。另外，起算数据也可能存在误差。这些误差将使得CPS 网存在几何上的不一致，它们包括：闭合环闭合差不为0；复测基线较差不为0；通过由基线向量所形成的导线，将坐标由一个已知点传算到另一个已知点的符合差不为0等。通过网平差，可以消除这些不一致，得到GPS 网中各个点经过了平差处理的三维空间直角坐标。在进行GPS 网的三维无约束平差时，如果指定网中某点准确的WGS-84坐标作为起算点，则最后可得到的GPS 网中各个点经过了平差处理的WGS-84系下的坐标。

(3) 确定GPS 网中点在指定参照系下的坐标以及其他所需参数的估值。在网平差过程中，通过引入起算数据，如已知点、已知边长、已知方向等，可最终确定出点在指定参照系下的坐标及其他一些参数，如基准转换参数等。

1.3 数学模型

在GPS 网三维无约束平差中所采用的观测值为基线向量，即GPS 基线的起点到终点的坐标差，设l ij ＝[∆X ij ，∆Y ij ，∆Z ij ]为GPS 网任一基线向量。因此，对于每一条基线向量，都可以列出如下的一组观测方程：

⎡v ∆X

⎢v ⎢∆Y ⎢⎣v ∆Z

⎤⎡-1

⎥⎢=0⎥⎢⎥⎦⎢⎣0

0-10

0⎤⎡dX i ⎤⎡1

⎥⎢⎥⎢0dY i +0⎥⎢⎥⎢-1⎥⎦⎢⎣dZ i ⎥⎦⎢⎣0

010

0⎤⎡dX

⎥⎢0⎢dY ⎥⎢1⎥⎦⎣dZ

j j j

⎤⎤⎡∆X ij -X i 0+X 0

j

⎥⎢00⎥-∆Y -Y +Y ij i j ⎥⎥⎢

00

⎥⎢∆Z ij -Z i +Z j ⎥⎦⎣⎦

(1)

与此相对应的方差-协方差阵为：

D ij

2

⎡σ∆

X

⎢

=⎢σ∆Y ∆X

⎢σ⎣∆Z ∆X

σσ

∆X ∆Y 2∆Y

σσ

∆X ∆Z ∆Y ∆Z 2∆Z

σ

∆Z ∆Y

σ

⎤⎥⎥⎥⎦

(2)

协因数阵为：Q ij =

1

σ0

2

D ij (3)

权阵为： P ij =D ij -1 (4)

σ0为先验的单位权中误差。

平差所用的观测方程就是通过上面的方法列出的，但为了使平差进行下去，还必须引入位置基准，引入位置基准的方法一般有两种。第一种是以GPS 网中一个点的WGS-84坐标作为起算的位置基准，即可有一个基准方程：

⎡dX i ⎤⎡X i ⎤⎡X i ⎤⎢⎥⎢0⎥⎢⎥

dY i =⎢Y i ⎥-Y i =0 ⎢⎥⎢⎥

0⎢⎥⎢⎣dZ i ⎥⎦⎣Z i ⎦⎢⎣Z i ⎥⎦

(5)

第二种是采用秩亏自由网基准，引入下面的基准方程：

G T dB =0 (6)

⎡1

⎢=0⎢⎢⎣0

010

db 2

1

001

. . . 1. . . 0. . . 0

db 3dZ 1

... ...

010

G T

0⎤

⎥

0=[E ⎥1⎥⎦

T

E E

. . . E ] (7)

dB =[db 1

=[dX

db n ]dX

dY 1

n

dY n

dZ

n

]

T

(8)

根据上面的观测方程和基准方程，按照最小二乘原理进行平差解算，得到平差结果。

⎡X 1⎤⎡X 1⎤⎡d X 1⎤⎢ ⎥⎢0⎥⎢ ⎥

d Y 1Y 11⎢Y ⎥⎢0⎥⎢ ⎥

⎢Z ⎥⎢Z ⎥⎢d Z ⎥111

⎥⎢⎢⎥⎢⎥

待定点坐标参数：⎢... ⎥=⎢... ⎥+⎢... ⎥

⎢X ⎥⎢X 0⎥⎢d X ⎥⎢ n ⎥⎢n 0⎥⎢ n ⎥⎢Y n ⎥⎢Y n ⎥⎢d Y n ⎥⎢ ⎥⎢0⎥⎢ ⎥⎣Z n ⎦⎣Z n ⎦⎣d Z n ⎦

(9)

σ0=单位权中误差：

V PV 3n -3p +3

T

(10)

其中n 为网的总点数，p 为网中的基线向量数。 坐标未知数的方差估计值为

D =σ02N -1 (11) 这里N=AT A 为网的法方程系数阵。

由此我们可以通过改正数检验了解网自身的内符合精度，观察网中是否可能存在粗差和系统误差。

3 三维约束平差 3.1 定义

所谓三维约束平差，就是以国家大地坐标系或地方坐标系的某些点的固定坐标、固定边长及固定方位为网的基准，将其作为平差中的约束条件，并在平差计算中考虑GPS 网与地面网之间的转换参数。

3.2 作用

GPS 网的三维约束平差主要作用是：确定GPS 网中各个点在国家大地坐标系或在指定参照系下经过了平差处理的三维空间直角坐标以及其他所需参数的估值。通过引入起算数据，如已知点、已知边长等，可最终确定出点在指定参照系下的坐标及其他一些参数，如基准转换参数等。在进行GPS 网的三维约束平差时，如果配置足够数量的国家大地坐标系或地方坐标系基准数据作为GPS 网的约束起算数据，则最后可得到的GPS 网中各个点经过了平差处理的在国家大地坐标系或地方坐标系下的坐标。

国家大地坐标系或地方坐标系约束基准数据的数量与质量以及在网中的展布均对平差精度结果产生影响。一般平差前必须选择满足要求的基准数据。获得经过平差的大地高数据，三维无约束平差可以提供这些数据。

3.3 数学模型

GPS 基线向量观测方程必须顾及WGS-84坐标系与国家大地坐标系间的转

换参数，即应顾及7个转换参数。但由于观测量——基线向量是以三维坐标差的形式表示的，因而转换关系与平移参数无关，7个参数中只需考虑尺度参数m 和三个旋转参数εx , εy , εz ，两坐标系的坐标差转换模型为

⎡∆X i j ⎤⎡∆X ⎢⎥⎢∆Y =(1=m ) ∆Y i j ⎥⎢⎢⎢∆Z ⎥⎢∆Z

i j ⎦⎣⎣S

⎤⎡εx ⎤i j

⎥⎢⎥+R εy i ⎥j i j ⎢⎥⎥⎢i ⎣εZ ⎥⎦⎦j T

(12)

⎡0

⎢R =式中， ij ⎢∆Z ij

⎢-∆Y ij ⎣

-∆Z ij

0∆X ij

∆Y ij ⎤

⎥-∆X ij ⎥ 0⎥⎦

由公式(12)可得在考虑转换参数后的GPS 基线向量观测方程

⎡V ∆X ⎤⎡dX j ⎤⎡∆X ij ⎤⎡dX i ⎤⎡εx ⎤⎡L ∆X ij ⎤ij

⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢V =-dY +dY +∆Y m +R ε-L ij ⎥ij ⎢y ⎥⎢∆Y ij ⎥⎢∆Y ij ⎥ ⎢j ⎥⎢⎢i ⎥⎢V ⎥⎢L ⎥⎢dZ j ⎥⎢∆Z ij ⎥⎢⎢dZ i ⎥εz ⎥∆Z ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ij ⎣⎦⎣∆Z ij ⎦⎡L ∆X ⎤⎡X 0j -X 0i -∆X ij ⎤ij

⎢⎥⎢0⎥0L =Y -Y -∆Y j i ij ⎥⎢∆Y ij ⎥⎢

00⎢L ⎥⎢Z j -Z i -∆Z ⎥

ij ⎦⎣⎣∆Z ij ⎦

(13)

式中

GPS 网三维约束平差即为附有条件的相关间接平差，其误差方程为基线向量的观测方程，对于已知地面坐标点k ，其坐标约束条件为

⎡dX k ⎤⎡0⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢dY k ⎥=⎢0⎥ (14)

⎢⎣dH k ⎥⎦⎢⎣0⎥⎦

4 GPS 网平差的流程

GPS 三维平差的主要流程如图1。GPS 网三维平差中，首先应进行三维无约束平差，平差后通过观测值改正数检验，发现基线向量中是否存在粗差，并剔除含有粗差的基线向量，再重新进行平差，直至确定网中没有粗差后，再对单位权方差因子进行X 2检验，判断平差的基线向量随机模型是否存在误差，并对随机模型进行改正，以提供较为合适的平差随机模型。在对GPS 网进行约束平差后，

还应对平差中加入的转换参数进行显著性检验，对于不显著的参数应剔除以免破坏平差方程的性态。

图1 GPS 网平差的流程

5 结论

在GPS 控制网的平差中，是以基线向量及协方差为基本观测量的。通常采用三维无约束平差、三维约束平差。各类型的平差具有各自不同的功能，必须分阶段采用不同类型的网平差方法。除此之外，若地面网除了已知数据以外，还有常规观测值，还可以将GPS 网与地面网联合平差，可以得到更好的效果。

参考文献：

[1]李明峰, 冯宝红, 刘三枝. GPS 定位技术及其应用[M]. 北京:国防工业出版社，2007. [2张永彬, 高刚毅. GPS三维联合平差[J].矿山测量，2003，（1）：15～17.

[3]张瑞, 姚宜斌, 梁静, 王晶, 刘强. GPS网平差程序设计[J].全球定位系统，2009，（2）：54～58.