哈工大概率论小论文

概率论及其在生活中的简单运用

摘要：概率论起源于生活，通过科学的数学研究分析进行深层次的提高于理论化，最终将理论作用于实际，造福于我们平日的生产生活。本文将简单介绍概率论的自实际应用的起源，科学家们已经进行过的初步理论分析，几个著名实验和其在生活中的简单运用 关键词：概率；运用；赌博

引言

概率的研究从实际生活问题起源，在研究中升华，今日的概率论已被广泛应用于各个领域 ,成为一棵参天大树 ,枝多叶茂 ,硕果累累 .正如钟开莱 1 974年所说 :“在过去半个世纪中 ,概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深 ，概率论发展的每一步都凝结着数学家的心血 ,正是一代又一代数学家的辛勤努力才有了概率论的今天。

正文

1 实际运用中的起源

概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（GirolamoCardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，有人对博弈中的一些问题发生争论，其中的一个问题是“赌金分配问题”， 17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家（相当于现在的赌场）赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。

后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们决定请教法国数学家帕斯卡（Pascal)和费马（Fermat）对这种现象作出解释.他们基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，解决了分赌注问题、赌徒输光问题。他们对这个问题进行了认真的讨论，花费了3年的思考，并最终解决了这个问题，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。

2 试验验证和理论分析

2.1 著名相关实验

统计概率是建立在频率理论基础上的，分别由英国逻辑学家约翰(JohnVenn1834-1923)和奥地利数学家理查德(RichardVonMises1883-1953)提出，他们认为，获得一个事件的概率

值的唯一方法是通过对该事件进行100次，1000次或者甚至10000次的前后相互独立的n次随机试验，针对每次试验均记录下绝对频率值和相对频率值hn(A)，随着试验次数n的增加，会出现如下事实，即相对频率值会趋于稳定，它在一个特定的值上下浮动，也即是说存在着一个极限值P(A)，相对频率值趋向于这个极限值。这个极限值被称为统计概率，表示为：例如，若想知道在一次掷骰子的随机试验中获得6点的概率值可以对其进行3000次前后独立的扔掷试验，在每一次试验后记录下出现6点的次数，然后通过计算相对频率值可以得到趋向于某一个数的统计概率值。

上面提到的这个有关相对频率的经验值又被称为大数定律，是频率理论学家定义概率论的基础。然而没有人可以将骰子无限的扔下去，因此在实践中也就无法有力的证明大数定律，许多来自数学理论的论证至今也没有取得成功。尽管如此，统计概率在今天的实践中具有重要意义，它是数理统计的基础。

1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

这一方法的步骤是：

1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线。

2) 取一根长度为l（l

相交的次数，记为m

3）计算针与直线相交的概率．

18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l（l

p=2l/(πd) π为圆周率

利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。下面是一些资料

实验者 年代 投掷次数 相交次数 圆周率估计值

沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596

史密斯 1855 3204 1219 3.1554

德摩根 1680 600 383 3.137

福克斯 1884 1030 489 3.1595

拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929

赖纳 1925 2520 859 3.1795

下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。 现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。 由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数期望也是一样的。这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。现在转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例系数。为了求出k来，只需注意到，对于l=πd的特殊情形，有m=2n。于是求得k=(2n)/(πd)。代入前式就有：m≈(2ln)/(πd)从而π≈(2ln)/(dm)

布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。

此外，随便说出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关，这个概率为 (π-2)/4,证明如下：

设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足x+y>z，x²+y²﹤z²，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x²+y²=z²围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=(πz²/4-z²/2)/z²=(π-2)/4.因为对于每一个z，这个概率都为(π-2)/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=(π-2)/4，命题得证。 值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展， 这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。

2.2 理论研究

使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s.拉

普拉斯又导出了第二个基本

极限定理（中心极限定理）的原始形式。

贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯(ThomasBayes1702-1761)发展，用来描述两个条件概率之间的关系，比如P(A|B)和P(B|A)。按照定理6的乘法法则，P(A∩B)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B)，可以立刻导出贝叶斯定理：如上公式也可变形为例如：一座别墅在过去的20年里一共发生过2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？人们假设A事件为狗在晚上叫，B为盗贼入侵，则P(A)=3/7，P(B)=2/(20·365)=2/7300，P(A|B)=0.9。

拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，传统概率(拉普拉斯概率).如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。 如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象

测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。

研究随机现象数量规律是数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬

币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1/2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。

3 生活中概率论的运用

掌握了概率论的一些理论知识，我们就可以避免生活中的一些盲目迷信，为实际生活造福。

比如股票。概率论是生产生活中的基本规律，股份制是经济生活市场化的产物，股票自然也可以放进概率这口锅里炒。有些人学会了一定程度的经济原理，掌握了一定数量的炒股秘籍之后，就慢慢开始关注概率在这场赌注很大的炸金花游戏中重要的地位。当你计算出自己持有的股票风险和收益概率各占50%时,只要你哪怕只有那么一丁点点想到自己是不是应该逐步减仓的时候，你就已经学会了要及时飞掉这个最基本的游戏规则。股票的魔力在于你因小概率事件吃的亏永远比你因小概率事件没有盈的利对你的影响大的多，炒股最恨的是买了跌，卖了涨，你更不愿意看到哪种情况。成功与否存在一定的不确定性,尽管失败的概率很小，但是概率这东西发明出来就是为了避免失败而存在的。总之，提高股票投资的技术就是提高把握概率的技术，更好的估计一支股票上涨的概率，从而正确地下注，是战胜市场的法宝。

还有普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称“点背”，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：

1.六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13983816种可能性，普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。

2.生日悖论：在一个足球场上有23个人（2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50%。

3.轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，

它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是18/37。

4.轮盘：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭着的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。

总结

虽然概率论最早产生于17世纪，然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性，例如：物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学，经济学以及几乎所有的工程学等领域随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。

概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。为人类世纪的生产生活带来便利。

参考文献：【1】http://baike.baidu.com/view/200809.htm ；

【2】http://zhidao.baidu.com/question/15722532.html；

【3】http://zhidao.baidu.com/question/151328358.html；

【4】http://zhidao.baidu.com/question/34715922.html?an=0&si=2