功率方程和机械效率
一、 功率
工程实际中不仅要计算功，还往往要知道单位时间内作了多少功。单位时间内某个力所作的功称为功率，以P表示，其数学表达式为
由于 ，故功率可写成
（19-16）
式中v是力F作用点的速度。当速度v与力F共线同向时，功率 。
机床在切削工件时，由于功率是一定的，因此要获得大的切削力，就应该降低切削速度；车辆在爬坡时，需要大的牵引力，就应该降低行驶速度。
作用在转动刚体上的力的功率为
（19-17）
上式中 为力对转轴z的力矩，称为转矩； 式刚体的角速度。转矩的功率等于转矩与刚体角速度的乘积。
在国际单位制中，功率的单位为瓦特（W）或千瓦（kW）。1瓦特表示每秒作1焦耳的功，即
1W=1J/s=1N·m/s
当工程中给出转动物体的转速n(r/min)，若力矩或力偶矩以牛顿·米为单位，则
或
为了便于直接由千瓦表示的功率P计算出力矩或力偶矩是多少牛顿·米，将上式改写为
（19-18）
二、 功率方程
为了研究质点或质点系的动能变化与其作用力的功率之间的关系，将微分形式的质点系动能定理式（19-14a）除以时间的微分dt，得
= （19-19a）
上式称为功率方程，它表明质点系的动能对时间的导数等于作用于质点系的外力与内力的功率的代数和。
同理，将微分形式的质点系动能定理式（19-15a）除以dt，得
= （19-19b）
上式表明质点系的动能对时间的导数等于作用于质点系的主动力与约束反力的功率的代数和。
功率方程可以用来研究机器的能量变化和转化问题。机器工作时需要输入一定的功率，用于克服阻力或输出功率，以及使机器加速运转等。
属于输入功率的驱动力、力矩有各种表现形式，例如液压传动中液体的压力，驱动电动机的转矩，内燃机汽缸中的燃气压力等。
生产中会遇到各种阻力，如车床切削时工件的切削阻力，冲床加工时工件的冲压阻力，起重机的载荷重力，压缩机压缩气体时的气体压力等，这些力消耗能量，消耗输入功率，这部分功率称为有用功率。
在机械传动部件之间，如传动带和带轮、齿轮与齿轮、轴与轴承之间有摩擦，摩擦消耗能量，传动系统的相互碰撞也要损失一些能量，这些损失掉的功率称为无用功率或损耗功率。
将上述三种功率代入功率方程（19-19）得
（19-20）
有上式可知
（1） 当 时， ，即动能增加，机器加速转动，这是机器在启动阶段；
（2） 当 时， ，机器匀速转动，这是机器在正常工作阶段；
（3） 当 时， ，即动能减少，机器减速转动，这是机器在停车阶段。
三、 机械效率
任何机器都要由外界提供能量，即由外部输入功率；机器工作时要输出功率，机器的输出功率分为有用输出功率（有效功率）和无用输出功率（无效功率）两部分。有效功率 。机器在传动过程中由于摩擦发热、碰撞、弹塑性变形等原因，要白白消耗一部分功率，这部分功率称为无效功率。
工程上把机器的有效功率 与输入功率 之比称为机械效率，用 表示，即
（19-21）
显然， 。机械效率是评定机器质量优劣的重要指标。如果机械效率高，说明机器对输入功率的有效利用程度高，浪费少、节省能源，并往往是噪音低、发热少，有利于绿色制造。
例19-4 如图19-13所示，龙门刨床的工作台和工件的总质量m=2000kg，切削速度v=0.5m/s，主切削力Fz=9.92kN，Fy=0.23Fz。设工作台与水平导轨间的摩擦系数f=0.1，龙门刨床总机械效率 =0.78。求主切削力和摩擦力消耗的功率，刨床主电动机的功率。
图19-13
解 主切削力消耗的功率为有用输出功率（有效功率）
摩擦力消耗的功率为无用输出功率（无效功率）的一部分
设主电动机的功率为P，则由（19-21）式得到