高中四大数学思想之二
高中数学四大思想之二
数形结合思想
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。
例1：如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)
A. 增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C. 减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 例2：如果|x|≤π, 那么函数f(x)＝cos x ＋sinx 的最小值是_____。 2
4
(89年全国文) A. 2-1 B. －2+1 C. －1 D. 1- 222
例3：已知5x ＋12y ＝60，则x 2+y 2的最小值是_____。 A. 60 B. 13 C. 13 D. 1 13512
例4：lgx=sinx的实数解的个数有-------个。
例5：已知函数y ＝(x -1) 2+1＋(x -5) 2+9，求函数的最小值及此时x 的值。
例6：设全集I ＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M ＝{(x,y)| y -3＝1}，N ＝x -2
{(x,y)|y≠x ＋1}，那么M ∪N 等于_____。 (90年全国)
例7：如果实数x 、y 满足等式(x－2) ＋y ＝3，那么y 的最大值是_____。 22
x
(90年全国理) A. 1 B. C. D. 232例8：设A={ｘ｜2mx 2＋(2－mn)x －ｎ＞０}，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ－２ｘ－２
８＞０｝．若Ａ⊇B , 求m 、ｎ的取值范围．
例９：已知函数ｆ（ｘ）＝２－１，ｇ（ｘ）＝１－ｘ．构造函数Ｆ（ｘ）定义如下：当｜ｆ（ｘ）｜≥ｇ（ｘ）时，Ｆ（ｘ）＝｜ｆ（ｘ）｜；当｜ｆ（ｘ）｜＜ｇ（ｘ）时，Ｆ（ｘ）＝－ｇ（ｘ）．那么F(x)（ ）
Ａ 有最大值１，无最小值． Ｂ 有最小值０，无最大值． Ｃ 有最大值－１，无最大值． Ｄ 无最小值，也无最大值．
例１０：已知直线ｌ：ｌｘ＋ｙ＋２＝０及点Ｐ（－２，１）、Ｑ（３，２），若直线ｌ与线段ＰＱ相交，则ｋ的取值范围是 ．
例１１．已知函数ｆ（ｘ）是Ｒ上的增函数，Ａ（０，－１）、Ｂ（３，１）是其图象上的两点，那么｜ｆ（ｘ＋１）｜＜１的补集是 ．
例１２．已知h ＞０，设命题甲：两个实数ａ、ｂ满足｜ａ－ｂ｜＜２ｈ；命题乙：两个实数ａ、ｂ满足｜ａ－１｜＜ｈ，且｜ｂ－１｜＜ｈ．则甲是乙的 条件．
例１３．设ｆ（ｘ）＝|lgx|．且ａ＜ｂ＜ｃ，ｆ（ａ）＞ｆ（ｃ）＞ｆ（ｂ）．则下列关系中正确的是（ ）
A (a-1)(c-1)＞0 B ac ＜1 C |a|≥1 D ac ＜1
例１4．直线ｌ：ｘ＋ycos θ－１＝０的倾斜角的范围是 ．
例１５．ａ，ｂ，ｃ，ｄ都是正数，m=a 2+b 2+c 2+d 2,n=|a-c|+|b-d|.则下列中正确的是（ ）
Ａ ｍ＜ｎ Ｂ ｍ＞ｎ Ｃ ｍ≤ｎ Ｄ ｍ≥ｎ
ｘ２