高中数学 2.5[平面向量应用举例]教学设计
2.5《平面向量应用举例》教学设计
【教学目标】
1.通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法,可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题; 2.通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用,增强学生的 积极主动的探究意识,培养创新精神. 【导入新课】 回顾提问:
∆ABC(1)若O为重心,则OA+OB+OC=0.
1
(2)水渠横断面是四边形ABCD,DC=AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯
2
形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?
教师:本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题;掌握向量法和坐标法,以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤,已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.
新授课阶段
探究一:(1)向量运算与几何中的结论"若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行
或重合"相类比,你有什么体会?(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.
教师:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来: 例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图: 平行四边行
ABCD中,设AB=a,AD=b,则AC=AB+BC=a+b(平移),
2 2 2
DB=AB-AD=a-b,AD=b=|AD|(长度).向量AD,AB的夹角为∠DAB.因此,
可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系,如距离、夹角等.把运算结果 “翻译”成几何关系.本节课,我们就通过几个具体实例,来说明向量方法在平面几何中的运用
例1 证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:平行四边形ABCD.
求证:AC+BD=AB+BC+CD+DA.
分析:用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,我们常常要考虑向量的数量积.注意到AC=AB+AD, DB=AB-AD,我们计算|AC|2和|BD|2.
222222
证明:不妨设AB=a,AD=b,则
2 2
2
AC=a+b,DB=a-b,|AB|=|a|,|AD|=|b|2. 2
得|AC|=AC⋅AC=( a+b)·( a+b)
= a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|+2a·b+|b|. ①
2
2
2
22
同理,|DB|=|a|-2a·b+|b|. ② 2 2 2 2
22
①+②得 |AC|+|DB|=2(|a|+|b|)=2(|AB|+|AD|).
所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 师:你能用几何方法解决这个问题吗?
让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.
师:由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,
他把一个思辨过程变成了一个算法过程,可以按照一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度.
用向量方法解决平面几何问题,主要是下面三个步骤:
⑴建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
⑵通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ⑶把运算结果“翻译”成几何关系.
变式训练:∆ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF与CD交于点O,设
(2)用a,b表示向量AO. AB=a,AC=b.(1)证明A、O、E三点共线;
例2 如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?
分析:由于R、T是对角线AC上两点,所以要判断AR、RT、TC之间的关系,只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可.
解:设AB=a,AD=b,则AC=a+b.
因为AR与AC共线,因此,存在实数m,使得AR=m(a+b).
1
又因为BR与BE共线,因此存在实数n,使得BR=nBE= n(b- a).
2
1
由AR=AB+BR=AB+ nBE,得m(a+b)= a+ n(b- a).
2
1
整理得(m+n-1)a+(m-n)b=0.
2
1⎧m=,⎧m+n-1=0,⎪⎪⎪3
由于向量a、b不共线,所以有 ⎨解得⎨ 1
2m-n=0,⎪n=.⎪⎩2⎪3⎩ 1
AC. 3 1 同理 TC=AC.
3 1 于是 RT=AC.
3
所以AR=所以 AR=RT=TC.
说明:本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法,待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法.
探究二:(1)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么? (2)在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么? 师:向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.
例3 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
分析:上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.
解:不妨设|F1|=|F2|, 由向量加法的平行四边形法则,物理的平衡原理以及直角三角形的指示,可以得到
|F1|=
|G|2cos
2
.
通过上面的式子我们发现,当θ由0~180逐渐变大时,
θ
由0~90逐渐变大,2
cos
θ
2
的值由大逐渐变小,因此,|F1|有小逐渐变大,即F1、F2之间的夹角越大越费力,夹
角越小越省力.
师:请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题: ⑴θ为何值时,|F1|最小,最小值是多少? ⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?
例4 如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用的时间是多少(精确到0.1min)?
分析:如果水是静止的,则船只要取垂直于对岸的方向行驶,就能使行驶航程最短,所用时间最短.考虑到水
的流速,要使船的行驶航程最短,那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸.(用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响)
解:|v|=,
=所以,
t=d|v|60≈3.1(min). 答:行驶航程最短时,所用的时间是3.1 min.
本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释,即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶,这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸,分析清楚这种关系后,本例就容易解决了.
例5 已知||=2 |b|=3,a与b的夹角为60,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数k为
o
何值时,⑴∥?⑵⊥?
9
解:⑴若∥,得k=;
5
⑵若⊥,得k=-
29. 14
例6 如图,ABCD为正方形,P是对角线DB上一点,PECF为矩形,求证:①PA=EF; ②PA⊥EF.
解:以D为原点,为x轴正方向建立直角坐标系,则A(0,1), C:(1,0), B:(1,1).
设DP=
r,则P(
22r,r). 22
∴PA=(,1).
E点为
(1
),F:,0), ∴EF=-1,).
∴|PA|= ∴|EF|=
故PA=EF.
而PA⋅EF=0⇒PA⊥EF.
例7 如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点, 求证:PA+PB+PC+PD=8r.
证明: BD=PD-PB,AC=PC-PA,
2 2 2 2∴|BD|=(PD-PB)=|PD|-2PBPD+|PB|, 2 2 2 2 |AC|=(PC-PA)=|PC|-2PCPA+|PA|.
BD,AC为直径,故PD⊥PB,PA⊥PC⇒PD⋅PB=PA⋅PC=0.
2
2
2
2
2
∴|BD|2+|AC|2=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,
即4r2+4r2=PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
例8 已知P为△ABC内一点,且3AP+4BP+5CP=0.延长AP交BC于点D,若AB=,=,用、表示向量、.
解:∵=-=-, =-=-,
又 3+4+5=,∴ 3+4(-)+5(-)=,
化简,得AP=
13+5
12
. 设AD=tAP(t∈R)
,则 AD=13t a+5
12
tb. ①
又设 =k(k∈R),
由 =-=-,得 =k(-). 而 AD=AB+BD=a+BD,
∴ =+k(-)=(1-k)+k. ② 由①②,得
⎧⎪1
⎪⎨
3
t=1-k解得 t =4. 将之代入①,有 ⎪5⎪⎩12
t=k.
3AD=
49+5
9
b. 课堂小结
利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”? (1) 建立平面几何与向量的联系,
(2) 通过向量运算,研究几何元素之间的关系, (3) 把运算结果“翻译”成几何关系. 作业 见同步练习 拓展提升 一、 选择题
1.给出下面四个结论:
① 若线段AC=AB+BC,则向量 AC = AB + BC ; ② 若向量 AC = AB + BC
,则线段AC=AB+BC; ③ 若向量 AB 与
BC 共线,则线段AC=AB+BC;
④ 若向量 AB
与 BC
+=AB+BC.
其中正确的结论有 ( )
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船的静止速度大小为 ( )
A.10m/s B. 226m/s C. 46m/s D.12m/s 3.在∆ABC中,若(+)∙(-)=0,则∆ABC为 ( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 二、填空题
4.已知∆ABC两边的向量=e1,=e2,则BC边上的中线向量用e1、e2表示为 .
参考答案
1.B 2.B 3.C 4.AM=
1
(e1+e2) 2