统计学 第五章 抽样推断课后答案

第五章 抽样推断

一、单项选择题

二、多项选择题

三、判断题

四、填空题 1、变量 属性 2、正 反

3、重复抽样 不重复抽样 4、抽样总体 样本 5、大于 6、标准差

7、样本 总体 抽样平均误差 抽样平均误差 △x = Z σx 8、合适的样本估计量 一定的概率保证程度 允许的极限误差范围 9、随机抽样 统计分组 10、增大 增大 降低 11、大数定律 中心极限定理 12、样本容量不小（不小于30个单位） 13、大 0.5

-

n n N N

14、缩小

（即0.5774） 扩大 1.1180 3

15、估计量（或统计量） 参数 五、简答题（略） 六、计算题

1、已知条件：P = 0.5 ，n = 100 且重复抽样 求：p ≤0.45的概率 解：

Z =

p -P P (1-P ) n

=

0. 45-0. 50. 5⨯(1-0. 5)

100

=1

则F (Z = 1) = 0.6827 所以p ≤0.45的概率为：

1-0. 6827

= 0.15865 2

2、解

E (x 1) = E （0.5X 1 + 0.3X 2 + 0.2X 3） = 0.5 E (X ) + 0.3 E (X ) + 0.2E (X ) = E (X ) = X

E (x 2) = E （0.5X 1 + 0.25X 2 + 0.25X 3）

= 0.5 E (X ) + 0.25 E (X ) + 0.25E (X )

= E (X ) = X

E (x 3) = E （0.4X 1 + 0.3X 2 + 0.3X 3） = 0.4 E (X ) + 0.3 E (X ) + 0.3E (X ) = E (X ) = X 所以x 1、x 2、x 3都是X 的无偏估计量。 D (x 1) = D （0.5X 1 + 0.3X 2 + 0.2X 3） = 0.25 D (X ) + 0.09 D (X ) + 0.04D (X ) = 0.38

D (x 2) = D （0.5X 1 + 0.25X 2 + 0.25X 3）

= 0.25 D (X ) + 0.0625D (X ) + 0.0625D (X )

= 0.375

D (x 3) = D （0.4X 1 + 0.3X 2 + 0.3X 3） = 0.16D (X ) + 0.09D (X ) + 0.09D (X ) = 0.34

由于0.38＞0.375＞0.34 ，所以x 3最有效。 3、已知条件：P = 0.1 ，n = 500 求：p ≥ 0.12的概率 解：

Z =

p -P P (1-P ) n

=

0. 12-0. 10. 1⨯(1-0. 1)

500

=1.49

则查表得F (Z = 1.49) = 0.8638 所以p ≥ 0.12的概率为：

1-0. 8638

= 0.0681 2

4、已知条件： X = 68公斤，σ= 12公斤，则

Z =

x -X

n

72-68==2.36

12

50

查表得F (Z = 2.36) = 0.9817 所以，x ＞72公斤的概率为：

1-0. 9817

= 0.0091 2

在计算概率时，假设了旅客的体重呈正态分布。如果旅客体重不呈正态分布，则超重的概率就可能增大；此外，根据本例的计算结果，旅客不能有任何随身携带的行李，否则超重的概率也将大大增加。

5、在重复抽样条件下，抽样单位数n 若增加了3倍，即为4n ，则新的抽样平均误差σx ’为原抽样平均误差σx 的二分之一，即

σx ’=

σx

4n

=

11σx

= σx

2n 2

如果抽样单位数n 减少了50%，即为0.5n ，则新的抽样平均误差σx ’为原抽样平均误

差σx 的1.414倍，即

σx ’=

σx

0. 5n

= 1.414

σx

n

= 1.414σx

6、设该种袋装花生的平均粒数为x ，标准差为σ。

已知：F (Z ) = 1- 2×0.0668 = 0.8664，所以袋装花生130粒的临界值Z = 1.5 又：F (Z ) = 1- 2×0.1586 = 0.6828，所以袋装花生100粒的临界值Z = 1.0 根据

Z =

有

1.5σ= 130 -x 1.0σ= x - 100

解得

x -x

σ

x = 112（粒）

σ= 12（粒）

7、已知条件：σ= 3克 ，n = 36袋 ，要求x ≥ 250克的概率达95% ，临界值Z 为1.645 。 求：X 根据

Z =

x -X

n

有

1.645 =

250-X 336

=

X -250

12

X = 250.82（克）

应将机器调节至平均装250.82克的位置上。

8、已知条件：n = 144 、x = 4.95 m 3 、σZ = 2（而且条件为重复抽样）

x

2

= 2.25 、F （Z ）= 95.45%时，

σx =

2σx

n

=

2. 25

= 0.125 m3 144

△x = Z σx = 2×0.125 = 0.275 m3

x - △x ≤X ≤x + △x

4.95 – 0.25 ≤X ≤4.95 + 0.25 4.7（m 3）≤X ≤5.2（m 3）

10000名工人的平均工作量，将落在4.7（m 3）至5.2（m 3）范围内的可靠程度可达95.45% 。 9、抽样平均误差计算表：（条件为不重复抽样）

设x 0 = 650，d = 100 ①工人收入的标准差：

x -x 02x -x 0⎡() f (∑⎢∑) f

σx =d -⎢

f f ⎢

⎢⎣⎤

⎥⎥ ⎥⎥⎦

2

380⎡40⎤

= 100-⎥ 250⎢250⎣⎦

= 122.2457（元）

工人收入的抽样平均误差：

2

σx =

2σx

n

(1-

14944n

(1-5%) = 7.5357（元） ) =

250N

女工比重的抽样平均误差：（女工比重 p = 20%）

σp =

②工人的平均收入

p (1-p ) n 0. 2⨯0. 8

(1-) =(1-5%)= 0.0247 n N 250

x =

∑(

x -x 0

) f ⋅d +x 0 f =

40

⨯100 + 650 = 666（元） 250

当F （Z ）= 95.45%时，Z = 2 所以

△x = Z σx = 2×7.5357 = 15.0714 （元）

则5000名工人的平均收入范围为：

x - △x ≤X ≤x + △x

666 – 15.0714 ≤X ≤666 + 15.0714 650.9286（元）≤X ≤681.0714（元）

而5000名工人的总收入范围为：

650.9286×5000 ～ 681.0714×5000 3254643（元）～ 3405357（元）

当F （Z ）= 86.64%时，Z = 1.5 所以

△p = Z σp = 1.5×0.0247 = 0.03705

则女工比重的范围为：

p – △p ≤P ≤p + △p 20% - 3.705% ≤P ≤20% + 3.705%

16.295% ≤P ≤23.705%

③关于平均收入的样本容量

根据要求：△x = 666×2% = 13.32（元），F （Z ）= 95%时，Z = 1.96

2

NZ 2σx

n = 222

N ∆+Z σx x

5000⨯1. 962⨯14944

= 22

5000⨯13. 32+1. 96⨯14944

= 303.9 = 304（人） 关于女工成数的样本容量

根据要求：△p = 3.5% ，F （Z ）= 95%时，Z = 1.96

NZ 2p (1-p )

n = 22

N ∆p +Z p (1-p )

5000⨯1. 962⨯0. 2⨯0. 8

= 22

5000⨯0. 035+1. 96⨯0. 2⨯0. 8

= 456（人）

以后调查同一总体时，应该确定的样本容量应为456人。 10、条件：n = 500件 、抽样）

n

= 5% 则N = 10000件，p = 95%，△p = 2%（条件为不重复N

0. 95⨯0. 05

(1-5%)= 0.0095

500

σp =

p (1-p ) n

(1-) = n N

p – △p ≤P ≤p + △p 95% - 2% ≤P ≤95% + 2%

93 % ≤P ≤97 %

根据△p = Z σp 得

Z =

∆p

σp

=

0. 02

= 2.11

0. 0095

Z = 2.11查表得F （Z ）为96.52%，即一级品率落在93 %至97 %范围内的可靠程度可达到96.52% 。

另外，在此范围内的一级品数量是9300件至9700件。 11、已知条件：n = 400台，不重复抽样但

n

为很小部分。 N

①使用时间10年以下车床台数的比重区间，p = 25% ，Z = 2

σp =

p (1-p ) 0. 25⨯0. 75

= = 0.0217 n 400

△p = Z σp = 2×0.0217 = 4.34% p – △p ≤P ≤p + △p

25% - 4.34% ≤P ≤25% + 4.34%

20.66% ≤P ≤29.34%

②使用时间10-20年的车床台数的比重区间，p = 48% ，Z = 2

σp =

0. 48⨯0. 52p (1-p )

= = 0.0250

400n

△p = Z σp = 2×0.0250 = 5.00%

p – △p ≤P ≤p + △p 48% - 5% ≤P ≤48% + 5%

43% ≤P ≤53%

③使用时间20年以上车床台数的比重区间，p = 27% ，Z = 2

σp =

p (1-p ) 0. 27⨯0. 73

= = 0.0222 n 400

△p = Z σp = 2×0.0217 = 4.44%

p – △p ≤P ≤p + △p

27% - 4.44% ≤P ≤27% + 4.44%

22.56% ≤P ≤31.44%

12、根据Z =

x -X

σ可得

F （Z ）= F （

x -X

σx

）

= F （

46-4252-46）+ F （） 44

= F （1）+ F（1.5） =

0. 68270. 8664

+

22

= 0.7746

居民家庭平均每月的书报费支出有77.46%的可能在42～52元之间。 13、已知条件：σx = 50克（选择最大的），F （Z ）=0.9545则Z = 2， △x = 10克

2

22⨯502Z 2σx == 100（平方公尺） n =22

10∆x

14、已知条件：σ

2

， p = p (1- p ) = 0.91×0.09 = 0.0819（选择最大的）

F （Z ）=0.8664则Z = 1.5，△p = 3% 。

Z 2p (1-p ) 1. 52⨯0. 0819

== 205（包） n =22

0. 03∆p

15、已知条件：N = 1000箱，n = 100箱。 废品率平均数与标准差计算表：

①废品率样本平均数

x =

废品率样本方差

∑xf f

=

200

= 2 (%) 100

σ

废品率抽样平均误差

2x

∑(x -x ) =

f

2

f

=

45

= 0.45 100

σx =

2σx

n

(1-

n 0. 45100) =(1-) = 0.0636（%） N 1001000

废品率抽样极限误差[F （Z ）= 0.6827则Z = 1]

△x = Z σ= 0.064（%）

在68.27%的概率保证下，1000箱平均废品率的可能范围

x - △x ≤X ≤x + △x

2 – 0.064 ≤X ≤2 + 0.064 1.936（%） ≤X ≤2.064（%）

②当F （Z ）= 0.9545则Z = 2，△x = 0.25（%）时

2

NZ 2σx 1000⨯22⨯0. 45n === 28（箱） 22222

N ∆x +Z σx 1000⨯0. 25+2⨯0. 45

16、已知条件：N = 10000支，p = 91%和88%，σx = 89. 46和91. 51小时。 ①当F （Z ）= 0.8664则Z =1.5，△x = 9小时 重复抽样条件下应抽取的元件数：

2

Z 2σx 1. 52⨯91. 512

== 232.6 = 233支 n =22

∆x 9

不重复抽样条件下应抽取的元件数：

2

10000⨯1. 52⨯91. 512NZ 2σx

== 227.3 = 228支 n =222222

N ∆x +Z σx 10000⨯9+1. 5⨯91. 51

②当F （Z ）= 0.9973则Z =3，△p = 5% 重复抽样条件下应抽取的元件数：

Z 2p (1-p ) 32⨯0. 88⨯0. 12

== 380.2 = 381支 n =

0. 052∆2p

不重复抽样条件下应抽取的元件数：

NZ 2p (1-p )

n =22

N ∆p +Z p (1-p )

10000⨯32⨯0. 88⨯0. 12

== 366.2 = 367支

10000⨯0. 052+32⨯0. 88⨯0. 12

③在不重复抽样条件下，要同时满足①、②的要求，需抽367支元件。 17、重复抽样条件下，样本数目M 为：

M = N n = 205 = 3200000（个样本）

不重复抽样条件下，考虑顺序的样本数目M 为： M = N （N –1）（N –2）…（N – n + 1）

= 20 ×19 ×18 ×17 ×16 = 1860480（个样本） 不重复抽样条件下，不考虑顺序的样本数目M 为：

M =

18、样本平均数

N ! 20⨯19⨯18⨯17⨯16

== 15504（个样本）

n ! (N -n )! 5⨯4⨯3⨯2⨯1

x =∑

n i x i n

i

2

x

=

680⨯35+420⨯15

= 602（kg ）

35+15

样本方差 σ

2x

∑n σ=

n

802⨯35+1202⨯15

== 8800

35+15

抽样平均误差（因50亩在5000亩中占很小比例，用重复抽样公式）

σx =

2σx

n

=

8800

= 13.27（kg ） 50

当概率为0.9545时的极限误差

△x = Z σx = 2×13.27 = 26.54（kg ）

该村的粮食平均产量可能范围

x - △x ≤X ≤x + △x

602 – 26.54 ≤X ≤602 + 26.54 575. 46（kg ） ≤X ≤628.54（kg ）

该村的粮食总产量可能范围

（x - △x ）×N ≤总产量≤（x + △x ）×N 575.46 × 5000 ≤总产量≤ 628.54 × 5000 2877300（kg ） ≤总产量≤ 3142700（kg ）