高考数学数列极限
第十章极限 导数
知识结构网络
极限的四则运与几何意义
11.1 数列极限
一、明确复习目标
1.理解数列极限的概念,掌握数列极限的运算法则;
2.会通过恒等变形,依据数列极限的运算法则,依据极限为0的几种形式,求数列的极根;
3.会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和.
二.建构知识网络
1.数列极限的定义:一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n -a |无限地接近于0),那么就说数列{a n }以a 为极限.
注:a 不一定是{a n }中的项. 2.几个常用的极限:
①lim C =C (C 为常数); ②lim
n →∞
n →∞
1
=0; n
③lim q n =0(|q |<1).
n →∞
④无穷等比数列{an },当公比的绝对值|q|
n →∞
a 1
.称之为1-q
“各项和”或“所有项的和”.
3.数列极限的四则运算法则:设数列{a n }、{b n },
当lim a n =a , lim b n =b 时,
n →∞
n →∞
n →∞
lim (a n ±b n )=a ±b ;
n →∞
lim (a n ²b n )=a ²b ; lim
a n a
=(b ≠0). b n b
n →∞
说明: 极限的四则运算法则, 只适合于有限次的四则运算. 对于数列前n 项和的极限, 必须先求和(式), 再取极限.
三、双基题目练练手
1.下列极限正确的个数是
1
①lim α=0(α>0) ②lim q n =0 n →∞n n →∞③lim A .2
2n -3n 2n +3n
n →∞
=-1 ④lim C =C (C 为常数)
n →∞
B . 3 C .4 D .都不正确
1lim 2.(2006陕西) n →∞等于( )
n +1n -1)
11
A . 1 B . C . D . 0
24
bn 2-c an +c an 2+c
3. 已知a 、b 、c 是实常数,且lim =2, lim =3,则lim 的2
n →∞bn +c n →∞cn -b n →∞cn 2+a
值是
A .2 B .3 C .4.(2006重庆)lim
1
D .6 2
1+3+ +(2n -1)
=。
n →∞2n 2-n +1
∙∙
5. 将无限循环小数0. 12化为分数是_________ 464646
(-) +(2-2) +... +(n -n )
=_____ 6. lim n →∞545454
(-) +(2-2) +... +(n -n ) 656565
简答:1-3.BBD ; an +c
3.由lim =2,得a =2b .
n →∞bn +c
2
bn 2-c 1由lim =3,得b =3c , ∴c =b . n →∞cn 2-b 3
c
2an +c a a ∴=6.∴lim == =6. lim
n →∞cn 2+a n →∞a c c c +2
n
2
a +
4.
1
.分子先求和, 再求极限. 2
∙∙
5. 0. 12=0.12+0.0012+„=0.12/(1─0.01) =4/33. 6. -1
四、经典例题做一做
【例1】 求下列极限: (1)lim
2n 2+n +75n 2+7
n →∞
; (2) lim (n 2+n -n );
n →∞
(3)lim (
n →∞
22n 4++„+). 222n n n
分析:(1)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限;(2)因n 2+n 与n 都没有极限,可先分子有理化再求极限;(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列,需先求和再求极限.
解:(1)lim
n →∞
2n +n +7
=lim n →∞5n 2+7
2
2+
17
+
n 2=2. 755+2
n
n n 2+n +n
1+
1+1n
(2)lim (n 2+n -n )= lim
n →∞
n →∞
=lim
n →∞
=
1. 2
(3)原式=lim
n →∞
n (n +1) 2+4+6+ +2n 1==(1+)=1. lim lim n →∞n →∞n 2n 2n
lim (2n 2+n +7) ∞
◆特别提示::对于(1)要避免下面两种错误:①原式=n →∞==1,②∵2
∞lim (5n +7)
n →∞
n →∞
lim (2n 2+n +7), lim (5n 2+7)不存在,∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两
n →∞
种错误: ①lim (n 2+n -n )= lim
n →∞
n →∞
n 2+n -lim n =∞-∞=0;②原式
n →∞
=lim +lim
n →∞
n 2+n -lim n =∞-∞不存在.对于(3)要避免出现原式=lim
n →∞
n →∞
24++„lim n 2n →∞n 2
2n
=0+0+„+0=0这样的错误.
n →∞n 2
【例2】 已知数列{a n }是由正数构成的数列,a 1=3,且满足lg a n =lg a n -1+lg c ,其中n 是大于1的整数,c 是正数.
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 和S n ;
(2)求lim
2n -1-a n 2n +a n +1
n →∞
的值.
解:(1)由已知得a n =c²a n -1,
-
∴{a n }是以a 1=3,公比为c 的等比数列,则a n =3²cn 1.
⎧3n ⎪
∴S n =⎨3(1-c n )
⎪
⎩1-c
(2) lim
(c =1) (c >0且c ≠1).
2n -1-3c n -1
=lim . n n n →∞2+3c
2n -1-a n 2n +a n +1
n →∞
①当c =2时,原式=-
1
; 4
2
() n -1-3
1c ②当c>2时,原式=lim =-;
2n →∞c 2⋅() n -1+3c c c 1-3() n -1
1③当0<c<2时,原式=lim =.
c n →∞22+3c ⋅() n -12
评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.
【例3】 已知直线l :x -ny =0(n ∈N *), 圆M :(x +1)2+(y +1)2=1,抛物线ϕ:y =(x
|AB |2
-1), 又l 与M 交于点A 、B ,l 与ϕ交于点C 、D ,求lim .
n →∞|CD |2
2
4
|AB |2
分析:要求lim 的值,必须先求它与n 的关系.
n →∞|CD |2
(n -1) 2
解:设圆心M (-1, -1)到直线l 的距离为d , 则d =2.
n +1
2
又r =1,∴|AB |2=4(1-d 2)=
8n
. 2
1+n
设点C (x 1, y 1), D (x 2, y 2),
⎧x -ny =02由⎨nx -(2n +1)x +n =0, ⇒2
⎩y =(x -1)
∴x 1+x 2=
2n +1
, x 1²x 2=1. n
x 1x 224n +14n +12
, (y -y )=(-)=, 12
n 4n n n 2
∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=∴|CD |2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2
1
=4(4n +1)(n 2+1). n
8|AB |28n 5
∴lim ===2. lim lim n →∞|CD |2n →∞(4n +1)(n 2+1) 2n →∞112
(4+)(1+)
n n
|AB |2
评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限,需先求, 这就要求2
|CD |
掌握求弦长的方法.
【例4】若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N *,a n 与a n +1恰为方程x 2-b n x +c n =0的两根, 其中0<|c |<1, 当lim (b 1+b 2+„+b n )≤3时, 求c 的取值范围.
n →∞
解:首先, 由题意对任意n ∈N *,a n ²a n +1=c n 恒成立.
a n +1⋅a n +2a n +2c n +1∴==n =c .又a 1²a 2=a 2=c .
a n ⋅a n +1a n c
∴a 1, a 3, a 5, „, a 2n -1, „是首项为1, 公比为c 的等比数列, a 2, a 4, a 6, „, a 2n , „是首项为c , 公比
为c 的等比数列.其次, 由于对任意n ∈N *,a n +a n +1=b n 恒成立.
∴
b n +2a n +2+a n +3
==c .又b 1=a 1+a 2=1+c , b 2=a 2+a 3=2c , a n +a n +1b n
∴b 1, b 3, b 5, „, b 2n -1, „是首项为1+c , 公比为c 的等比数列, b 2, b 4, b 6, „, b 2n , „是首项为2c ,
公比为c 的等比数列,
∴lim (b 1+b 2+b 3+„+b n )
n →∞
= lim (b 1+b 3+b 5+„)+ lim (b 2+b 4+„)
n →∞
n →∞
=
1+c 2c
+≤3. 1-c 1-c
11
解得c ≤或c >1.∵0<|c |<1, ∴0<c ≤或-1<c <0.
33
1
故c 的取值范围是(-1,0)∪(0, ].
3
提炼方法: 本题的解题目标是将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式, 即将{b n }
的各项和表示为关于c 的解析式; 关键是对数列特点的分析和运用; 显然“起点”应是一元二次方程根与系数的关系.
【研讨.欣赏】在大沙漠上进行勘测工作时, 先选定一点作为坐标原点, 然后采用如下方法进行:从原点出发, 在x 轴上向正方向前进a (a >0)个单位后, 向左转90°, 前进a r (0<r <1=个单位, 再向左转90°, 又前进a r 2个单位, „, 如此连续下去.
(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系, 且可以断定此小分队的行动与原定方案相同, 则大本营在何处寻找小分队?
(2)若其中的r 为变量, 且0<r <1, 则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上? 剖析:(1)小分队按原方案走, 小分队最终应在运动的极限位置. (2)可先求最终目的地关于r 的参数形式的方程.
解:(1)由已知可知即求这样运动的极限点, 设运动的极限位置为Q (x , y ), 则
x =a -ar 2+ar 4-„=
a a
=, 22
1-(-r ) 1+r
ar
, 2
1+r a ar
∴大本营应在点(, )附近去寻找小分队.
1+r 21+r 2a ⎧x =, ⎪a 22a 2a ⎪1+r 2
(2)由⎨消去r 得(x -)+y =(其中x >, y >0),
422⎪y =ar ,
⎪1+r 2⎩
y =ar -ar 3+ar 5-„=
6
即行动的最终目的地在以(
a a
,0)为圆心, 为半径的圆上. 22
五.提炼总结以为师
1. 极限的四则运算法则只用于有限次的运算, 对于n 项和的极限, 要先求和再求极限;
“、 2. 对
0∞
、∞-∞”型的极限,要分别通过“约去使分母为零的因式、同除∞
以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形,化归转化后再求极限值。
3. 对含参数的题目要看是否需要分类讨论;
4.在日常学习过程中, 注意化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用. 同步练习 【选择题】
1. lim [n (1-
n →∞
1111)(1-)(1-)„(1-)]等于 ( ) 345n +2
A .0 B.1 C .2 D .3
2.(2003北京)若数列{a n }的通项公式是
3-n +2-n +(-1) n (3-n -2-n ) a n =, n =1,2,„, 则lim (a 1+a 2+„+a n )等于
n →∞2
11171925A . B . C . D .
24242424
61
3.(2004湖南)数列{a n }中, a 1=, a n +a n +1=n +1, n ∈N *,则lim (a 1+a 2+„+a n )等于
n →∞55
2214A . B . C . D .
57425【填空题】
4. (2006山东)
若=1,则常数a = 。
n 5.(2004 上海)设等比数列{a n }(n ∈N )的公比q =-
1)=
1
, 且lim (a 1+a 3+a 5+„+a 2n -
n →∞2
8
, 则a 1=_________________. 3
6.(2004春上海)在数列{a n }中,a 1=3,且对任意大于1的正整数n , 点(a n , a n -1)
在直线x -y -3=0上,则lim
a n (n +1)
2
n →∞
=__________.
简答.提示:1-3.CCC;
234n +1
1. 原式=lim [n ³³³³„³]
n →∞345n +2
=lim
n →∞
2n
=2. n +2
⎧-n ⎩3
(n 为奇数),
(n 为偶数).
-
-
-
-
-
-
2. a n =⎨2-n
∴a 1+a 2+„+a n =(21+23+25+„)+(32+34+36+„) ∴lim (a 1+a 2+„+a n )
n →∞
=
23
+-2
1-21-3-2
-1-2
11
19
=+=. 11241-1-
49
3.2(a 1+a 2+„+a n )
=a 1+[(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+„+(a n -1+a n )]+a n
6661
=+[2+3+„+n ]+a n .
5555
611
∴原式=[+25+lim a n ]
251-1n →∞
5
113(++lim a n ). 2510n →∞
6
∵a n +a n +1=n +1, ∴lim a n +lim a n +1=0.
n →∞n →∞5
=
∴lim a n =0.答案:C
n →∞
4. 2; 5.2; 6.3.
【解答题】
7. 求下列极限:
(1)lim(
n →∞
3572n +1+++ +) ; 2222
n +1n +1n +1n +1
1+2+4+ +2n -1
(2)lim() n -1. n →∞1+3+9+ +3
解:(1) lim (
3572n +1
+++ +)
n →∞n 2+1n 2+1n 2+1n 2+1
2n [3+(2n +1)]
1+
3+5+7+ +(2n +1) n 2+2n =1=lim =lim =lim 2=lim 22n →∞n →∞n →∞n +1n →∞n +1n +11+2
n
8
212[() n -n ]
1+2+4+ +22-12(2-1) =0 (2)lim() =lim =lim =lim n -1n n →∞1+3+9+ +3n →∞n →∞3-1n →∞(3n -1) 1-n 23
n -1
n
n
8.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列, 其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项, 且
n →∞
lim
a n 1111
=, 求极限lim (++„+)的值.
n →∞b n 2a 1b 1a 2b 2a n b n
解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.
∵2b 2=a 2+a 3, 即2(2+d 2)=(3+d 1)+(3+2d 1), ∴2d 2-3d 1=2. 又lim
n →∞
a n 3+(n -1) d 1d 11=lim ==, 即d 2=2d 1, n →∞2+(n -1) d 2d 22b n
∴d 1=2,d 2=4.
∴a n =a 1+(n -1)d 1=2n +1,b n =b 1+(n -1)d 2=4n -2. ∴
11111==(-). a n b n (2n +1) ⋅(4n -2) 42n -12n +1
∴原式=lim
n →∞
111(1-)=. 442n +1
9. (2003年北京)如图,在边长为l 的等边△ABC 中,圆O 1为△ABC 的内切圆,
圆O 2与圆O 1外切,且与AB 、BC 相切, „, 圆O n +1与圆O n 外切,且与AB 、BC 相切,如此无限继续下去, 记圆O n 的面积为a n (n ∈N *).
(1)证明{a n }是等比数列;
(2)求lim (a 1+a 2+„+a n )的值.
n →∞
A
O 2B O .
1
. C
(1)证明:记r n 为圆O n 的半径, 则r 1=
l
tan30°=l .
62
r n -1-r n r n -1+r n
=sin30°=
11
, ∴r n =r n -1(n ≥2). 23
a r πl 2a n 1
于是a 1=πr 1=, n =(n )2=, ⋅
r n -112a n -1a n -19
2
∴{a n }成等比数列.
1n -1
)²a 1(n ∈N *), 9
a 13πl 2
所以lim (a 1+a 2+„+a n )==.
n →∞132
1-9
(2)解:因为a n =(
10.已知数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列,公比分别为p 、q , 其中p >q 且p ≠1, q ≠1, 设c n =a n +b n , S n 为数列{c n }的前n 项和,求lim
n →∞
S n
. S n -1
a 1(1-p n ) b 1(1-q n ) 解:S n =+,
1-p 1-q
a 1(1-p n ) b 1(1-q n )
+
1-p 1-q =. a 1(1-p n -1) b 1(1-q n -1)
+
1-p 1-q
q -
<1, 上式分子、分母同除以p n 1,得 p
S n S n -1
当p >1时,p >q >0, 得0<
S n S n -1
q n
a 1(n -1-p ) b 1(n -1-n -1) p p p
+
1-p 1-q =.
q n -111
a 1(n -1-1) b 1[n -1-() ]
p p p
+
1-p 1-q
1
1
S n
=p . S n -1
∴lim
n →∞
10
当p <1时,0<q <p <1, lim n →∞S n S n -1a 1b +11-p 1-q ==1. a 1b 1+1-p 1-q
【探索题】已知公比为q (0
(Ⅰ) 求数列{a n }的首项a 1和公比q ;
(Ⅱ) 对给定的k (k =1, 2, 3, ⋅⋅⋅, n ) , 设T
数列T (2)(k ) 是首项为a k ,公差为2a k -1的等差数列.求的前10项之和;
(i ) (Ⅲ) 设b i 为数列T
使得lim 的第i 项,求S n ,并求正整数m (m >1) ,S n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n ,S n 存在且不等于零 n →∞m
(注:无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷数列前n 项和的极限)
⎧a 1=9⎧a =3⎪⎪1-q ⎪1
解: (Ⅰ) 依题意可知, ⎨2⇒⎨2 q =a 81⎪1=⎪3⎩2⎪1-q 5⎩
⎛2⎫(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, a n =3⨯ ⎪⎝3⎭
d =2a 2-1=3,
S 10=10⨯2+n -1, 所以数列T (2) 的的首项为t 1=a 2=2, 公差1⨯10⨯9⨯3=155, 即数列T (2) 的前10项之和为155 2
i -1⎛2⎫(Ⅲ) b i =a i +(i -1)(2a i -1)=(2i -1)a i -(i -1)=3(2i -1) ⎪⎝3⎭
⎛2⎫n (n -1)S n =45-(18n +27) ⎪-2⎝3⎭n -(i -1), ,
S n 4518n +27⎛2⎫n (n -1)lim m =lim m - - ⎪m m n →∞n n →∞n n 2n ⎝3⎭n
当m=2时,lim S n S n 1lim =-,当m>2时,=0,所以m=2 n →∞n m n →∞n m 2
12