勾股定理的内容

Ⅰ、勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？ 练习：

如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194

1、在△ABC中,∠C =Rt∠.

若a =2,b =3则以c为边的正方形面积 = 若a =5,c =13.则b = . 若c =61,b =11.则a = .

若a∶c =3∶5且c =20则 b = .

若∠A =60°且AC =7cm则AB = cm，BC = cm

2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm. cm. 3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 cm. 4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高 cm.

5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=

DB=2cm ,则

C

25

B

169

22.

cm.

6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_________。

7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处

520m

A

的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高___________________米。

8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7或25

A

9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是 A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度; C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度 10、

Ⅱ、你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？ 练习：

三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。

F

2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ） (A）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对

C

A

3、已知三角形的三边长分别是2n+1,2n+2n, 2n+2n+1（n为正整数）则最大角等于___度. 4、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

阅读材料：

三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过

最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

B

C

D

22

下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H·E·杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。

如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。

下图的证明方法，据说是L·达·芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。

欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：

(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。 同理，(BC)=KEBL 所以

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，

婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出

直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有

2

c/b=b/m， c/a=a/n, cm=b2 cn=a2

两边相加得

a+b=c(m+n)=c

这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

有几位美国总统与数学有着微妙联系。G·华盛顿曾经是一个著名的测量员。T

·杰弗逊曾

2

2

2

大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得 即

a2+2ab+b2=2ab+c2 a2+b2=c2

这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。

关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。

证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。 过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为 AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，

ⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩ

所以 △ACE≌△AGB 而

所以

SAEML=SACFG (1) 同法可证

SBLMD=SBKHC (2) (1)+(2)得

SABDE=SACFG+SBKHC，

即 c2=a2+b2

证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。

SCFGH=SABED+4×SABC，

所以 a2+b2=c2

证法3 如图26-4（梅文鼎图）。

在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设 五边形ACKDE的面积=S

一方面，

S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积 =c2+ab (1) 另一方面，

S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积 +2倍△ABC面积 =b2+a2+ab. (2) 由(1)，(2)得

c2=a2+b2

证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。

设五边形EKJBD的面积为S。一方面 S=SABDE+2SABC=c2+ab (1) 另一方面，

S=SBEFG+2·S△ABC+SGHFK =b2+ab+a2 由(1)，(2)得 c2=a2+b2 杨作枚图；

；

都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）