一次函数的图象和性质(基础)知识讲解
一次函数的图象与性质(基础)
【学习目标】
1. 理解一次函数的概念,理解一次函数y =kx +b 的图象与正比例函数y =kx 的图象之间
的关系;
2. 能正确画出一次函数y =kx +b 的图象.掌握一次函数的性质.利用函数的图象解决与
一次函数有关的问题,还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题.
3. 对分段函数有初步认识,能运用所学的函数知识解决实际问题.
【要点梳理】
要点一、一次函数的定义
一般地,形如y =kx +b (k ,b 是常数,k ≠0)的函数,叫做一次函数.
要点诠释:当b =0时,y =kx +b 即y =kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的,要注意其中对常数k ,b 的要求,一次函数也被称为线性函数.
要点二、一次函数的图象与性质
1. 函数y =kx +b (k 、b 为常数,且k ≠0)的图象是一条直线 ;
当b >0时,直线y =kx +b 是由直线y =kx 向上平移b 个单位长度得到的;
当b <0时,直线y =kx +b 是由直线y =kx 向下平移|b |个单位长度得到的.
2. 一次函数y =kx +b (k 、b 为常数,且k ≠0)的图象与性质:
3. k 、b 对一次函数y =kx +b 的图象和性质的影响:
k 决定直线y =kx +b 从左向右的趋势,b 决定它与y 轴交点的位置,k 、b 一起决定直线y =kx +b 经过的象限.
4. 两条直线l 1:y =k 1x +b 1和l 2:y =k 2x +b 2的位置关系可由其系数确定:
(1)k 1≠k 2⇔l 1与l 2相交; (2)k 1=k 2,且b 1≠b 2⇔l 1与l 2平行;
要点三、待定系数法求一次函数解析式
一次函数y =kx +b (k ,b 是常数,k ≠0)中有两个待定系数k ,b ,需要两个独立条件确定两个关于k ,b 的方程,这两个条件通常为两个点或两对x ,y 的值.
要点诠释:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知数的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法. 由于一次函数y =kx +b 中有k 和b 两个待定系数,所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k 和b 为未知数),解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
要点四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示,而需要分情况(自变量的不同取值范围)用不同的
解析式表示,因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数. 解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围,分段考虑问题.
要点诠释:对于分段函数的问题,特别要注意相应的自变量变化范围. 在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
【典型例题】
类型一、待定系数法求函数的解析式
1、根据函数的图象,求函数的解析式.
举一反三:
【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数y 2x 的图象平行且经过(2,1) 点,则一次
函数的解析式为________.
【变式2】(2015春•广安校级月考)已知函数y 1=2x﹣3,y 2=﹣x+3.
(1)在同一坐标系中画出这两个函数的图象.
(2)求出函数图象与x 轴围成三角形的面积.
类型二、一次函数图象的应用
2、为缓解用电紧张的矛盾,某电力公司制定了新的用电收费标准,每月用电量x (度)
与应付电费y (元) 的关系如图所示.根据图象求出y 与x 的函数关系式.
举一反三:
【变式】小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点A ,再走下坡路到达点B ,最后
走平路到达学校C ,所用的时间与路程的关系如图所示. 放学后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,那么他从学校到家需要的时间是( )
A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
类型三、一次函数的性质
3、已知一次函数y =(2m +4)x +(3-n ).
(1)当m 、n 是什么数时,y 随x 的增大而增大;
(2)当m 、n 是什么数时,函数图象经过原点;
(3)若图象经过一、二、三象限,求m 、n 的取值范围.
4、(2015春•咸丰县期末)已知点A (4,0)及在第一象限的动点P (x ,y ),且x+y=5,0为坐标原点,设△OPA的面积为S .
(1)求S 关于x 的函数解析式;
(2)求x 的取值范围;
(3)当S=4时,求P 点的坐标.
举一反三: 【变式】函数y =kx +k (k ≠0) 在直角坐标系中的图象可能是( ).