相似三角形与圆.二次函数综合题
相似三角形知识点大总结
知识点1 有关相似形的概念 知识点2 比例线段的相关概念
(1)如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是 ,或写成 .注:在求线段比时,线段单位要 。
(2)注:①比例线段是有顺序的,如果说a是b,c,d的第四比例项,那么应得比例式为: .②
ac
(a:bc:d)中,a、d叫 ,b、c叫 , a、c叫 ,b、d叫 ,d叫 ,bd
如果b=c,即 a:bb:d那么b叫做a、d的 , 此时有 。 在比例式
(3)黄金分割: 。
注:黄金三角形:顶角是36的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形
知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)
(1) 基本性质:
注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如adbc,除
了可化为a:bc:d,还可化为a:cb:d,c:da:b,b:da:c,b:ad:c,c:ad:b,d:cb:a,d:bc:a.
ab
(交换内项)cd,
acdc
(交换外项)(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):,
bdba
db
(同时交换内外项)ca.
(3)反比性质(把比的前项、后项交换): (4)合、分比性质:
注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间
badc
acac
发生同样和差变化比例仍成立.如:等等.
abcdbdabcd
(5)等比性质:如果
注:
acemaacem
. (bdfn0),那么
bdfnbbdfn
①此性质的证明运用了“设k法”(即引入新的参数k③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后acea2c3ea2c3ea;其中b2d3f0. bdfb2d3fb2d3fb
知识点4 比例线段的有关定理
由DE∥BC可得:
1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
ADAEBDECADAE
或或 DBECADEAABAC
注: B
①重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. ............②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线. ③平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例
已知AD∥BE∥CF,
可得
ABDEABDEBCEFBCEFABBC或或或或等. BCEFACDFABDEACDFDEEF
注:平行线分线段成比例定理的推论:
平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点5 相似三角形的概念
对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例. 注:
①对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边. ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.
③两个三角形形状一样,但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.
知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理
(1)相似三角形的等价关系:
①反身性:对于任一ABC有ABC∽ABC.
②对称性:若ABC∽A'B'C',则A'B'C'∽ABC.
③传递性:若ABC∽A'B'C,且A'B'C∽ABC(2) 角形相似.
定理的基本图形: D
BDB(2)(3)
用数学语言表述是:DE//BC, ∴ ADE∽ABC.
知识点7
三角形相似的判定方法
1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.
2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似.
3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.
4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似. 6、判定直角三角形相似的方法:
(1)以上各种判定均适用.
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 注:
射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在
斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高, 则AD=BD·DC,AB=BD·BC ,AC=CD·BC 。
2
2
2
知识点8全等与相似的比较:
B
C
知识点9相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.
(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比.
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.
知识点10相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法
1、证明四条线段成比例的常用方法: (1)线段成比例的定义
(2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系
2、证明题常用方法归纳:
(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”
(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不
同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的, 则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这
几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样的三种:等线
段代换、等比代换、等积代换.
即:找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。
①
amcmamcmm
,(为中间比)②,',nn'
bndnbndnn
amcm'mm'''
③,'(mm,nn或') bndnnn
(4) 添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成
比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止.
注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。
(5)比例问题:常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。 (6).对于复杂的几何图形,通常采用将部分需要的图形(或基本图形)“分离”出来的办法处理。
知识点11 相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比,对应对角线的比都等于相似比.
(2)相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比. (3)相似多边形面积比等于相似比的平方.
注意:相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识是基础和关键.
知识点12 位似图形有关的概念与性质及作法
1.2. 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比. 注:
(1) 位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点. (2) 位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形. (3) 位似图形的对应边互相平行或共线.
3.位似图形的性质: 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注:位似图形具有相似图形的所有性质. 4. 画位似图形的一般步骤:
(
1
)
确定位似中心(位似中心可以是平面中任意一点)
(2) 分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长(或截取). (3) 根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置.
(4) 顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤ 注:①位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外, 或在图形上(图形边上或顶点上)。
②外位似:位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“外位似”(即同向位似图形) ③内位似:位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“内位似”(即反向位似图形)
(5) 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点O为位似中心,相似比为k(k>0),原图形上点的坐标为(x,y),那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),
选择题:
1、已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,A.60° B.70° C.80° D.120°
B
S
ADE
2、如图,已知D、E分别是ABC的AB、 AC边上的点,DEBC,且
S四边形DBCE1
那么AE:AC等于( )
A.1 : 9 B.1 : 3 C.1 : 8 D.1 : 2
3、如图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠BEC=90°,将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:MC的值为 ( ) A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4
填空题:
1、如图,点A点B1,B2,B3在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3,A2B1∥A3B2∥A4B3.若,A2,A3,A4在射线OA上,1
△ABB212,△
A3B2B3的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和
为 .
1 2 3
4
2、如图,一束光线从y轴上点A(0,1)发出,经过x轴上点C反射后,经过点B(6,2),则光线从A点到B点经过的路
线的长度为 .(精确到0.01)
3、阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测
量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案. ..
(1)所需的测量工具是: ; (2)请在下图中画出测量示意图;
(3)设树高AB的长度为x
4、如图,有两个长度相同的滑梯(即BC = EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则ABCDFE 度.
E
C
FDAB解答题:
一、如图,已知抛物线与x
轴交于A、B两点,与y轴交于C点. (1)求此抛物线的解析式;
(2)抛物线上有一点P,满足∠PBC=90°,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,问在y轴上是否存在点E,使得以A、O、E为顶点的三角形与△PBC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明
3
2
6
二、如图,在平面直角坐标系中,点C(3,0),点A,B分别在x(1)求点A,点B的坐标.
(2)若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连结AP.设△ABP的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请直接写出点P的
坐标;若不存在,请说明理由.
x
三、在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B
重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; (2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y
的值最大,最大值是多少?
B
E0四、已知抛物线yaxbxc经过P2
2
(1)求抛物线的解析式.
(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上,任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于B点,直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC.是否存在点Q,使得△OPC与△PQB相似?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方,连结OQ,矩形OABC内的四个三角形△OPC,△PQB,△OQP,△OQA之间存在怎样的关系?为什么?
五、在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0,0)、A(4,0)、B(1)求此抛物线的解析式;
(2)以OA的中点M为圆心,OM长为半径作⊙M,在(1)中的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作⊙M的切线l ,且l与x轴的夹角为30°,若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果可保留根号)
练习题:
12
x–2x+1的顶点为P,A2
为B,与抛物线对称轴交于点O′,过点B和P的直线l交y轴于点C,连结O′C,将△ACO′沿O′C翻折后,点A落在点D的位置.
一、如图9,已知抛物线y=
(1) 求直线l的函数解析式; (2) 求点D的坐标;
(3) 抛物线上是否存在点Q,使得S△DQC= S△DPB? 若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由
图9
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11
二、 如图12-1,过△ABC(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度AD叫△ABCSABC
1
ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 2
解答下列问题:
如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B. (1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及SCAB; (3)是否存在一点P,使S△PAB=
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12
B
1 O
1
A
x
9
S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 8
y 12-2
三、如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,tanBAC
3
. 4
39x 44
,问是否存在这样的m使得△APQ
(1)求过点A,B的直线的函数表达式;点A(3,0),C(1,0),B(1,3),y
(2)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标; (3)在(2)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设APDQm与△ADB相似,如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.
x
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