正交多项式组

正正交交多多項項式式組組

在写正交多项式组有关内容之前，我想先写一个跟它没有任何联系的事实，这个问题困

扰了我好几天，我怎么都想不明白！这个问题是：T n (x ) =cos(n arccos x ) 是x 的n 次多项

式。直觉上怎么可能啊，它是一个类似三角函数的式子诶，但当我查到相关资料后，才知道

它的证明是如此简单！

n α ①证：已知 (c o α s +i s i n α) n =(e i α) n =e in α=c o s n α+i s i n

其中α为实数，i 是虚数单位

对于(cosα+i sin α) n 用二项式定理展开得

(cosα+i sin α) =n ⎛n ⎫k k n -k ⎪ i (sinα) (cosα) ∑ k ⎪k =0⎝⎭n ()

⎛n ⎫j 2j n -2j =∑ 2j ⎪⎪(-1) (sinα) (cosα)

j =0⎝⎭2j ≤n ()

2j -1≤n

+i

对比 ①式，我们有 ∑j =1⎛n ⎫j +12j -1n -(2j -1) ⎪ (-1) (sinα) (cosα) 2j -1⎪⎝⎭()

⎛n ⎫j c o n s α=∑ n ) 2j (c o αs ) n -2j 2j ⎪⎪(-1) (s i α

j =0⎝⎭2j ≤n ()

0n 2n -24n -4⎪ ⎪ ⎪ = (sinα) (cosα) -(sinα) (cosα) +(sinα) (cosα) - 0⎪ 2⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛n ⎫⎛n ⎫⎛n ⎫

0n 2n -222n -4 = 0⎪⎪(sinα) (cosα) - 2⎪⎪(1-cos α)(cosα) + 4⎪⎪(1-cos α) (cosα) - ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛n ⎫⎛n ⎫⎛n ⎫

设α=arccos x ，则cos α=x ，代入上式得：

n -22n -422n -623⎪ ⎪ ⎪n (a r c c o x ) s =x n - c o s x (1-x ) +x (1-x ) -x (1-x ) + 2⎪ 4⎪ 6⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛n ⎫⎛n ⎫⎛n ⎫

由上式可以看出，T n (x ) =cos(n arccos x ) 是x 的n 次多项式，并且最高次项x 的系数为2n n -1。

下面开始写正交多项式组

I 、先看看正交多项式组的定义：

设p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 是一组多项式，其中p k (x ) ∈H (k ) H (k -1) ，

k =0，1，⋯，n 恰是k 次多项式，其中H (n ) 是次数不超过n 的代数多项式的全体，H (k ) H (k -1) 表示H (k ) 与H (k -1) 的差，如果对所有的i ≠j ，均有

p i , p j =⎰b

a ρ(x ) p i (x ) p j (x ) dx =0

则称p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 是关于权函数ρ(x )的正交多项式组，即任意两个多项式正交。 如果任意的0≤i ≤n ，又有p i , p i =1，则称此多项式组为权函数ρ(x )的规范化正交多项式组。 两个多项式的正交性不仅和积分区间[a , b ]有关，而且也和权函数ρ(x )有关。

II 、下面看看正交多项式组一些性质：

定理一：正交多项式组p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 是线性无关的。

这个定理的证明很明显，利用定义可以直接证出来，就不写了。

定理二：设p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 是一组多项式，其中p k (x ) ∈H (k ) H (k -1) ， k =0，1，⋯，n 恰是k 次多项式，则任何Q (x ) ∈H (n ) 均可用这组多项式组线性表出。

证： 首先，这组多项式肯定是线性无关的，因为它们的次数不一样。

下面用归纳法证明：

当n =0时，Q (x ) ∈H (n ) 是常数，它是非零常数p 0(x ) 的倍数，定理显然成立。

假设次数小于n 的任意多项式成立，下面考察次数为n 的多项式Q n (x ) ，设它的n 次项 为αn ，p n (x ) 的系数为βn ，因此系数

R (x ) =Q n (x ) -p n (x ) αn βn

是次数小于n 的多项式，由归纳法假设知R (x ) 可有p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 线性表出， 又因为Q n (x ) =R (x ) +p n (x ) αn

出，定理得证。

值得注意的是：定理而中并不要求p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 是正交的，有因为它是线性无关的，于是满足定理二的条件的多项式组可以作为H (n ) βn ，因此Q n (x ) 可由p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 线性表 空间的一组基。显然，如果p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x )

是正交的，肯定也满足定理二的条件，故可作为H (n ) 空间的一组基底。

下面给出关于任意区间和任意权的正交多项式的一个递推公式，这个递推公式的存在不但肯定了正交多项式的存在，也提供了生成这种多项式的办法。

定理三： 设p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 是[a , b ]区间上带权函数ρ(x ) 的首项系数为1的正交多项式组，则对任意的1≤k ≤n -1有

p k +1(x ) =(x -a k ) p k (x ) -b k p k -1(x )

其中 p 0(x ) =1，p 1(x ) =x -a 1

a k =xp k , p k

b k =p k , p k p k , p k =⎰ρ(x ) xp 2(x ) dx k a b ⎰b a ρ(x ) p 2(x ) dx k p k -1, p k -1=⎰ρ(x ) p 2(x ) dx k a b ⎰b a ρ(x ) p 2(x ) dx k -1

反之，如果多项式组p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 满足上述的递推关系，则此多项式组一定是[a , b ]区间上带权函数ρ(x ) 的首项系数为1的正交多项式组。

证：设p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p n (x ) 是首项系数为1的正交多项式组，对任意的1≤k ≤n -1，因为xp k (x ) 是首项系数为1的k +1次多项式，故可用p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p k +1(x ) 线性表出，即有 xp k (x ) =c 0p 0(x ) +c 1p 1(x ) + +c k +1p k +1(x ) ② 由该多项式组 的正交性可知：

xp k , p j =c j p j , p j

当0≤j

≤k -2时，由xp k ,

p j =⎰b

a ρ(x ) xp k (x ) p j (x ) dx =⎰ρ(x ) p k (x ) xp j (x ) dx =p k , xp j 可知 a b

c j p j , p j =xp k , p j =p k , xp j =0，所以

c j =0（0≤j ≤k -2）， ③ 再由②式得

c k =xp k , p k

和 c k -1=xp

k , p k -1

=p k , p k

将③、④、⑤代入②得

xp k (x ) =p k +1(x ) +a k p k (x ) +b k p k -1(x ) p k , p k =a k ④ p k -1, p k -1=p k , xp k -1p k -1, p k -1 p k -1, p k -1=b k ⑤

于是 p k +1(x ) =(x -a k ) p k (x ) -b k p k -1(x ) 定理前半部分得证，下证定理的后一部分。

用归纳法证明，直接验证

p 0, p 1=p 0, x -a 1=p 0, xp 0-a 1p 0, p 0=0

假设p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p k (x ) 是首项系数为1 的正交多项式组，显然由②定义的p k +1(x ) 是首项系数为1 的k +1次多项式，对所有的0≤j ≤k ，由等式②直接得

p k +1, p j =(x -a k ) p k (x ) -b k p k -1(x ), p j

=xp k (x ), p j -a k p k (x ), p j -b k p k -1(x ), p j ⑥ 当0≤j ≤k -2时，由⑥直接得

p k +1, p j =xp k (x ), p j -a k p k (x ), p j -b k p k -1(x ), p j

=p k (x ), xp j -a k p k (x ), p j -b k p k -1(x ), p j

=0 另一方面，p k +1, p k =xp k (x ), p k -a k p k (x ), p k -b k p k -1(x ), p k

=xp k (x ), p k -a k p k (x ), p k

=0

p k +1, p k -1=xp k (x ), p k -1-a k p k (x ), p k -1-b k p k -1(x ), p k -1

=xp k (x ), p k -1-b k p k -1(x ), p k -1

=p k (x ), xp k -1-b k p k -1(x ), p k -1

=p k (x ), p k -b k p k -1(x ), p k -1

=0

由此可见，p 0(x ) ，p 1(x ) ，…，p k (x ) 也构成首项系数为1 的正交多项式组，定理得证。 定理四： 区间[a , b ]上关于权函数ρ(x ) 的正交多项式p n (x ) 的跟均是单重实根，均在区间[a , b ]内， 且p n (x ) 和p n +1(x ) 的跟相互交错。

这个定理的证明实在是看不懂了，要用到什么sturm 多项式组，我查了一下这个多项式的一些资料， 发现看不懂诶，就不证了哈，求原谅！