高等数学I_重庆三峡学院历年考试题及答案20121212整理

高等数学历年考试题试卷

目录

2009-2010(1)高等数学（上）试题A .............................................................................................................. 1 2009-2010(1)高等数学（上）试题A参考答案 ............................................................................................. 2 2009-2010(1)高等数学（上）试题B .............................................................................................................. 5 2009-2010(1)高等数学（上）试题B参考答案 ............................................................................................. 7 2008-2009(1)高等数学（1）试题A ................................................................................................................ 9 2008-2009(1)高等数学（1）试题A参考答案 ..............................................................................................11 2008-2009(1)高等数学（1）试题B .............................................................................................................. 15 2008-2009(1)高等数学（1）试题B参考答案 ............................................................................................. 17 2007-2008(1)高等数学（1)试题A ................................................................................................................ 20 2007-2008(1)高等数学（1)试题A答案 ....................................................................................................... 22 2007-2008(1)高等数学（1)试题B ................................................................................................................ 23 2007-2008(1)高等数学（1)试题B答案 ....................................................................................................... 25 2006-2007(1)高等数学期末试题 ................................................................................................................... 27 2006-20079(1)高等数学期末试题参考答案.................................................................................................. 29 2005-2006(1)《高等数学I》试题A ............................................................................................................. 31 高等数学上 试题6 ........................................................................................................................................ 33 高等数学(上)试题一 ....................................................................................................................................... 35

2009-2010(1)高等数学（上）试题A

重庆三峡学院2009 至 2010学年度第 1 期

高等数学（1） 课程考试试题册（A）

试题使用对象 ：2009级理工科各专业本科学生

命题人：向瑞银 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷

说明：1.答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整.

2.考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废.

一. 填空题（每小题3分，本题15分）. 1. lim(xsin

x

11

sinx)=（ ）. xx

f(x)dx＝（ ）.

2. 微分 d

e

tanx

3. 曲线yex在点（0，1）处的切线方程是（ ）. 4.设连续函数f(x)满足：f(x)= xx

2

1

x



f(x)dx，则f(x)=（ ）.

d2ydy

5. 微分方程25y0的通解为（ ）.

dx2dx

二. 单项选择题（每小题3分，本题15分）.

1. lim

sin3x

（ ）. A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 3

x0ln(13x)

2.下列广义积分收敛的是（ ）. A.





sinxdx B.







e

2x

dx C.



1

dx

D. x





3.下列变量中，（ ）是无穷小量. A. lnx(x1) B. ln



1x2

(x0) C. cosx (x0) D. 2(x2) xx4

4. 定积分



x2sinxdx（ ）. A. 2 B. -1 C. 0 D. 1

1x2

5．已知yf(ex),f(x)1x,则

dydx

x0

=（ ）.

A. 1 B. e C. 2 D. 0 三.计算题（每小题7分，本题共49分）.

1. 求极限 lim(

x0

11). x2xtanx



(1btanx)cotxx0

22. 设f(x) x0 在x0处连续，求a,b的值.

arcsinaxx0

x

3. 已知

2xa(sinttcost)

，求 dy 在 t 处的值.

2dx2ya(costtsint)



4. 计算积分

dx.

xex

dx. 5. 计算积分 2

(1x)



6. 已知f()1，

(f(x)

f(x))sinxdx3，求f(0).

7. 求解微分方程

dyysinx

，y

dxxx

x

1.

四. 应用题（本题10分）.

设抛物线yax2bxc通过点(0,0)，且当x[0,1]时，y0. 试确定a,b,c的值，使得该抛物线与直线x1,y0所围图形的面积为

4

，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小. 9

五. 证明题（1小题5分，2小题6分，本题共11分）.

1. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)f(b)0. 证明：至少有一点

(a,b)，使得f()f()0.

11). x1x

1x

（2）证明：当x1时，函数y(1)单调递增.

x

2. （1）设x0，证明：ln(1

2009-2010(1)高等数学（上）试题A参考答案

重庆三峡学院 2009 至 2010 学年度第 1 期

高等数学（上）课程考试试题(A)参考答案

一. 填空题（每小题3分，本题15分）.

1. 1 2. etanxf(x)dx 3. y1 4. x 5. yex(acos2xbsin2x)，a,b为任意常数. 二. 单项选择题（每小题3分，本题15分）.

1.B 2. B 3. A 4. C 5. D 三.计算题（每小题7分，本题共49分）. 1.解： lim(

32

x 4

11tanxx

2分 )lim2x0x2x0xtanxxtanx

tanxxx

lim 4分 lim3x0x0xtanx

sec2x1tan2x1

limlim 7分

x0x03x23x23

1

tanx

f(x)lim(1btanx)2. lim

x0

x0

eb ２分

x0

limf(x)lim

x0

arcsinax

a ４分 x

x0

x0

f(x)limf(x)f(0)因为 f(x)在x0处连续, 所以lim

即 ea2 ， 所以 a2,b3.

b

ln 7分

dy

a(sintsinttcost)atcost dtdx

a(costcosttsint)atsint 2分 dt

dyatcostcott 4分 dxatsint2

csc2tdy(cott)1 6分 

dx2x(t)atsintatsin3t

2

dy所以 dx2

t



2



2 7分 a



1/2

4. 解：原式 (sinx)cosxdx 2分



/2





(sinx)cosxdx

/20

1/2

/2



(sinx)1/2(cosx)dx 5分

/2

2

(sinx)3/2

32

(sinx)3/23



4

7分 3

xex1xex1xx

((xe) ) 5.  2分 xed21x1x(1x)1x

xexexxex

() 6分

1x1xxexxexexxx

edxecc 7分

1x1x1x

6. 



(f(x)f(x))sinxdx





f(x)sinxdx



f(x)sinxdx （1） 1分

而





f(x)sinxdx





sinxdf(x)

f(x)sinx





f(x)dsinx



f(x)cosxdx

cosxdf(x)

(f(x)cosx





0

f(x)dcosx)

(f()cosf(0)cos0)

f(x)(sinx)dx

f()f(0)



f(x)sinxdx （2） 把（2），f()1代入（1），原式为 31f(0)，得f(0)2 7. 解：对于

dydxyx0， 分离变量 dydxyx

， 积分得lnylnxc1， yc

x

令 y

u(x)x，则 u(x)sinx

xx

，u(x)sinx， 积分得u(x)ccosx，方程通解 yccosxx

，

代入x,y1，解出 c1， 特解 y1cosxx

. 四. 应用题（本题10分）.

1. 解：yax2bxc通过点(0,0)，得c0，所以yax2

bx. 抛物线与直线x1,y0所围图形的面积为S



1

(ax2bx)dx

(13ax312bx2)10

a3b249，b86a9

(1) 图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积V



1

(ax2bx)2dx

1

(a2x42abx3b2x20

)dx

6分

7分

3分 7分

1分

4分

1252abx41231

(axbx)0

543

a2abb2a2a86a186a2

()(()

52352939

22a4a18 (2) 7 分 (2))1358139

V(x)(

4a4, 令V(x)0，得

)13581

a

1355

，从而b2. 10分 813

五. 证明题（1小题5分，2小题6分，本题共11分）.

1. 证明：F(x)xf(x)， 2分 由题意F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内 可导， F(x)f(x)xf(x)，F(a)F(b)0. 由罗尔定理知，至少存在一点(a,b)， 使F()f()f()0. …5分

2. 证明：（1）令f(x)lnx，当x0时，显然f(x)在[x,1x]上连续，在(x,1x)上可导，

f(x)

1

，由Lagrange中值定理知，存在(x,1x)，使得 x

1ln(1x)lnx11

3分 ln(1

x(1x)x1x

（2）令y(1

1x

)，则lnyx[ln(1x)lnx]，方程两边同时对x求导 x

111111

) yln(1)x()，yy(ln(1)

x1xyx1xx

1x

单调递增. 6分 x

由（1）知，y0，y(1

2009-2010(1)高等数学（上）试题B

重庆三峡学院 至 期

高等数学（1） 课程考试试题册（B）

试题使用对象 ：2009级理工科各专业本科学生

命题人：向瑞银 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷

2.考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废.

一. 填空题（每小题3分，本题15分）.

sin2x

,x0

1. 若f(x)x，则当k（ ）时，f(x)连续.

x0k,

2. 曲线yx3x21的凸(向上凸)区间是（ ）.

3.



22

(x

2dx（ ）.

4. 若

f(x)dxcos2xC，则f(x)（ ）.

5. 用待定系数法解微分方程y2yy2xex时，应假设其特解y*的形式为（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，本题15分）.

x21

1. 若极限lim(axb)0，则a和b的值为（ ）.

xx2

A.a1,b2 B. a1,b2 C. a1,b2 D. a3,b1

x6x7

2. 设f(x)=sintdt g(x)=, 当x0时，f(x)比g(x)是（ ）无穷小. 670

2

x2

A. 低阶 B. 高阶 C. 同阶不等价 D. 等价 3. 若函数yax3bx2cxd满足b3ac0，则此函数必( ). A.有极值 B.无极值 C.不单调 D.不可导

4. 下列广义积分发散的是( ). A.

2

0

1

dxx

B.

0



dxdx

xedx C.2 D.1x1x2

x

1

5.下列方程中是一阶线性微分方程的是（ ）.

A. yxsinyex B. yy2x C. y4y D.yysinxex 三. 计算题（每小题7分，本题共56分）.

sin3xx2cos

1. 求极限lim

x0

x

1

y

2. 已知yy(x)是由方程xy1e所确定的隐函数，求y(0).

3. 求函数yx33x29x5的单调区间、极值、凹凸性区间及拐点坐标. 4. 求函数yx48x22 在[1,3]的最大值与最小值. 5. 计算不定积分

(sinaxe

xb

)dx.

2

6. 已知f(0)2,f(2)3,f(2)4,求

1

xf(x)dx.

7.计算定积分8. 求微分方程



xexdx.

dy

ycotx5ecosx的通解. dx

四. 应用题（本题7分）.

2

计算由曲线yx2与xy围成的图形绕y轴旋转所产生的旋转体的体积.

五. 证明题（本题7分）.

若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，f(a)g(a),f(b)g(b). 证明：至少有一点

(a,b)，使得f()g().

2009-2010(1)高等数学（上）试题B参考答案

重庆三峡学院 2009 至 2010 学年度第 1 期

高等数学（上）课程考试试题(Ｂ)参考答案

一. 填空题（每小题3分，本题15分）.

x

１．2 ２．(,) ３．16 ４． 2sin2x ５．xe(axb)

13

二. 单项选择题（每小题3分，本题15分）.

1. B 2. C 3. B 4. C 5.D 三. 计算题（每小题7分，本题共49分）. 1.解: 原式lim

sin3x

lim

x0x0xx

1

3limxcos

x0x

303 7分

1

注：若出现 limcos，最多给2分.

x0x

x2cos

1

2分

2. 方程两边同时对x求导得 yxyeyy 3分

y

2

y

y(0)0 7 分 y

xe

3． y3x6x93(x3)(x1)0x3,1 2分

y6x60x1 3分

7分 4.解: y4x316x， 3 分 令y0，得驻点x10,x22,x32[1,3]舍去，

又 y(1)5,y(2)14,y(0)2,y(3)11， 5分 于是最小值y(2)14，最大值y(3)11 7分

x

1xb

5. (sinaxe)dx sinaxdaxbedab

x

1b

cosaxbec 7分

a

2

2

20

2

xb

6. 解:

xf(x)dxxdf(x)xf(x)

f(x)dx 4分

2f(2)f(x)

20

8f(2)f(0)8327 7分

1

7. 解：



1

xedxxdex 2分

x

(xe

x

10





1

exdx)

(e1ex10)12/e 7分

8. 解：对于

dydycosx，

ycotx0， 分离变量 cotxdxdxdxysinx

积分得lnylnsinxc1， y 令 y

c

3分 sinx

u(x)u(x)cosx

，则 ， 5ecosx，u(x)5sinxesinxsinx

积分得u(x)5e

cosx

c5ecosx

c，方程通解 y， 7分

sinx

四. 应用题（本题7分）.

解： 绕y轴旋转而得的立体的体积

V010

1

2dy(y2)2dx

1

(yy4)dy

12151

yy)0 25

0.3 7分

(

五. 证明题（本题7分）. 1. 令F(x)f(x)g(x)， 3分 则F(x)在[a,b]上连续，且

F(a)f(a)g(a)0，F(b)f(b)g(b)0

由连续函数介值定理知: [a,b]，使得F()0，即f()g(). 7分

2008-2009(1)高等数学（1）试题A

重庆三峡学院 至 学年度第

A）

试题使用对象 ： 全院 2008 级 工科各 专业(本科) 命题人： 陈晓春 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷

说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

1、lim

x1

x32



x1

f(3h)f(3)

。

2h

2、已知f(3)2，则lim

h0

3、若



f(x)dxe3sin2xC，则f(x) 。

x

2sintdx0

4、lim

x0

x3

。

5、向量a(4,3,2)在向量b(2,2,1)上的投影为 。 二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数f(x)

xsinx

，则limf(x)（ ）。

x0

A、0 B、1 C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）。

A、 cosx(x0) B、 lnx(x1) C、 e(x0) D、

1

x

x2

(x2) x24

3、曲线x

ylog3x上x ) 处的切线方程平行于直线xy1。

11 (D) ln32ln3

（A） ln3 （B）1 （C）4、下列积分的值为0的是（ ）。

x1

dx （A） （B）sin(x2)dx （C）xcosxdx (D)x21x111

111

5、下列无穷积分收敛的是（ ）。



A、e



2x

1

dx B、dx C、

x0



sinxdx D、



1x

dx

三、 计算题（每小题6分，本题共48分） 1、求极限 lim(

x1

11

) lnxx1

sin3xxx0

2、设f(x)a x0 ，且f(x)在x0处连续，求a,b。

1

x0

(1bx)x

3、设yy(x)是由方程ln

x2y2arctan

y

确定的隐函数，求dy x

2

dyd2yx2t3t

4、设fy(x)由确定,求, 223

dxdxyt2t

5、设函数y2x33x212x，求它的单调减少区间、单调增加区间、极值点和极值。

3x24lnx

dx 6、求不定积分 x

e

7、求定积分

xlnxdx

1

8、求过点(0,2,4)且与直线四、 应用题（本题8分）

x2z1

平行的直线方程。

y3z2

求由曲线yx2和yx围成的图形的面积和绕x轴旋转所得的旋转体的体积。 五、 证明题（每小题7分，本题共14分）

1、设ab0，证明：

abaab

ln abb

2、设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)0，

x

x

F(x)



a

f(t)dt

b

dtf(t)

,x[a,b]

证明：（1）F(x)2

（2）方程F(x)0在区间(a,b)内有且仅有一个根。

2008-2009(1)高等数学（1）试题A参考答案

重庆三峡学院 200８ 至 200９ 学年度第 1 期

A）答案

六、 填空题（每小题3分，本题共15分）

1、1/4； 2、-1； 3、2cos2x； 4、1/3 ； 5、４／３。 七、 单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、Ｄ； 2、

B； 3、Ｄ ； 4、C ；5、Ａ.

八、 计算题（每小题６分，本题共４８分）

１、解 lim(

x1

11x1lnx

2分 )lim

x1lnxx1(x1)lnx

1

lim

x1

1

x

x11

lnx(x1)

x11

 ６分 lim

lim

x1

4分

x1xlnx

x11lnx12

２、解 limf(x)sin3x

x0

xlim

0x

3， 1

limf(x)xlim0

(1bx)x

x0

eb 因为 f(x)在x0处连续

所以xlim0

f(x)xlim0

f(x)f(0) 即 3eb

a 所以 a3,

bln3 ３、解 原方程为

12ln(x2y2)arctanyx

两边关于x求导得

12x2yy

1yxy

2x2y2



1y2x2 x

2

整理即 y

xy

xy

dyydx

xy

xy

dx ４、解 dydx2t6t2

26tt d2ydx

2

1

26t ２分

４分

６分

３分 ５分 ６分 ３分 ６分

５、对y2x33x212x求导数得

y6x26x12 1分 令y0得 x12，x21 2分 而当x2，y0，即y在 (,2)上单调增加

当2x1时，y0，即y在 (2,1)上单调减少 当x1，y0，即y在 (1,)上单调增加 且x12为极大值点，极大值为 y20

x21为极小值点，极小值为 y7 ６、解 

3x24lnx

4lnxx

(3xx)dx 

32

x2

2(lnx)2C e

７、解



e

xlnxdxlnxd(1

1

x2) 1

2 e

1e

112x2lnx|1x2dx 12xe

12e21

2xdx 1



12e212e4

x|1 1 48、解 平面的法向量分别为 n1(1,0,2),n2(0,1,3) 直线的方向向量为

4分 6分

２分 ６分

４分 ５分６分

３分 ２分

i

n1n21

jk

02(2,3,1) ４分 013

所以直线方程为

x0y2z4

 ６分 231

九、 应用题（本题8分）

解 曲线yx2和yx的交点为x0;1 1分

曲线yx2和yx围成的图形的面积为 A

1xxdx[x2

2

1

2

11

4分 x3]10

36

曲线yx2和yx围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

1

V(x2x4)dx[



131512

7分 xx]0

3515

十、 证明题（每小题7分，本题共14分） 1、设ab0，证明：

abaabln abb

证明：设函数f(x)lnx，f(x)

1

，则f(x)在[b,a]（ab0）上连续，在(b,a)内可导，x

由拉格朗日中值定理知，在(b,a)至少存在一点，使

f(a)f(b)f()(ab) 2分

即 lnalnb

1



(ab)，其中 ba

4分

于是

111ababab，即  6分 abababaab

ln 7分 abb

从而

2、证明：（1）F(x)f(x)

1

2 2分 f(x)

（2）f(x)在[a,b]上连续，所以F(x)在[a,b]上连续，且

a

F(a)



bb

dt1

dt0 f(t)f(t)a

b

F(b)

f(t)dt0 5分

a

故由零点定理，方程F(x)0在区间(a,b)内至少有一个根。再由（1）的证明知

F(x)f(x)

1

20，即F(x)是单调上升的，从而在(a,b)内有且仅有一个根。7分 f(x)

2008-2009(1)高等数学（1）试题B

重庆三峡学院 2008 至 2009 学年度第 1 期

B）

试题使用对象 ： 全院 2008 级 工科各 专业(本科) 命题人： 陈晓春 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷

说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。

2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。

xe1

1、当k时，f(x)2

xk

x0x0

在x0处连续。

2、曲线x

ylog3x上xxy1。

2

3、设

1



f(x)dxexC，则f(x) 。

4、x(xcosx3)dx

1



5、

坐标面上的曲线 3x5y15绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面方程为

22

十二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、lim

sin3x

 。

x0ln(13x)

（A）0 （B）1 （C）1/2 （D）3 2、下列变量中，

（A）cos(x1),(x1) （B）ex,(x0) （C）lnx (x2) （D）ln(x1),(x0) 3、下列函数在[一1，1]上满足罗尔定理条件的是 。 （A）x1 (B) ln|x|; (C)

2

1 (D)

1x2

ex

4、函数y2x39x212x2的单调减少区间是。

（A）(,) （B）(,1) （C）(1,2) （D）(2,)

5、C为任意常数，且F'(x)f(x),则下式成立的是。 （A）F'(x)dxf(x)C; （B）f'(x)dx=F(x)C （C）F(x)dxF(x)C; (D) f(x)dx=F(x)C; 十三、 计算题（每小题6分，本题共48分）

(5x2)10(2x1)10

1、求极限 lim

x(7x3)20

2、求极限 lim(

x0

11x) xe1

x2

3、求极限 lim

x0

sint

2

dt

x

6

4、设yxarcsin

x

4x2 求y、dy及y。 2

xln(1t2)dyd2y

5、设参数方程 ，求 及 2

dxytarctantdx

6、求不定积分



x(34lnx)2

x

1

7、求定积分

x

3

x2dx



8、求过点(1,0,1)且平行于向量a(2,1,1)和b(1,1,0)的平面方程。

四 应用题（本题8分）

用钢板焊接一个容积为4m，底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元， 问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费是多少？ 五 证明题（每小题7分，本题共14分）

3

)1、证明：当x0时，ln(1x



arctanx

1x

2、求证：xf(sinx)dx







f(sinx)dx。 2

2008-2009(1)高等数学（1）试题B参考答案

重庆三峡学院 至 学年度第

高等数学（一）（本科）考试试题（B）答案

十四、 填空题（每小题3分，本题共15分）

1x2

1、2；2、；3、2xe；4、； 5、3x25y25z215

2ln3

十五、 单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、B； 2、D ； 3、A； 4、C； 5、 D 十六、 计算题（每小题7分，本题共56分）

(5x2)10(2x1)10

1、 解 lim

x(7x3)20

21

52

xx

4分 lim20x

3

7

x

1010

5102101010

20 7分 20

77

2

2分

ex1

4分 limx

x0e1xexex1

 limx 7分

x0eexxex2

3、解 lim

x2

sint2dt2xsinx4

4分 limx0

x6

x06x5

14、解 yarcsin

xx2x2

2



x24x

2

34

arcsin

x

2

4所以 dyydxarcsin

x

2

dx 61y

x2



14x

2

74

5、解 由参数方程求导法则得

1

1 dyd(tarctant)1t2dxd[ln(1t2

)]

2t 31t2



t

2

4t2

dydd()

dx2ydxd[ln(1t2

)]

61

1t22t4t 71t2

分 分

分 分分

分 分 分 分

6、解



x(34lnx)21(34lnx)2

dxdx 2分

xxx

2x2x

12

(34lnx)d(34lnx) 4分 4

1

(34lnx)3C 7分 12





7、解: 令 xsint, 则 , dxcostdt 有 1分

1

/2

x

3

x2

dx

sin3tcos2tdt 0





[sin3tsin5

t]dt 0



234253215

8、解 平面的法向量为

i

jk

2

11(1,1,3) 110

由点法式得 1(x1)1(y0)3(z1)0 即所求平面方程为 xy3z40 四 应用题（本题8分）

解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，则h4

x

2， 所以S(x)x2

4xhx2

16x，S(x)2x1632

x2 S(x)2x

3 令S(x)2x

16

x

20，得x2，而 S(2)60 所以，当

x2，h1时水箱的面积最小，此时的费用为

S(2)1040(4

16

2

)1040160（元） 十七、 证明题（本题7分）

3分 4分 7分 3分 6分

7分 2分 4分 6分 8分

) 1．证明：当x0时，ln(1x

arctanx

1x

证明： 令f(x)(1x)ln(1x)arctanx则，f(0)0， 2分 且当x0时，f(x)ln(1x)1

1

0， 4分 1x2

所以f(x)单调增加，所以f(x)(1x)ln(1x)arctanx0， 即ln(1x)



arctanx

7分

1x

2.求证：xf(sinx)dx







20

f(sinx)dx。

证明：令xt, 则 1分



xf(sinx)dx(t)f(sin(t))d(t)，



f(sint)dttf(sint)dt



f(sint)dtxf(sinx)dx 4分



所以

xf(sinx)dx2f(sinx)dx。 5分





2007-2008(1)高等数学（1)试题A

重庆三峡学院 至 学年度第

考试题卷

命题人 使用年级及专业 2007理工科各专业本科学生 （闭卷）

系别： 学号: 姓名: 成绩

一、填空题（每小题3分，共15分） 1 设ye

2

sinx

，则y

'x0



2

2

22

(x4x)dx 

3

xf

''

(x)dx

4 nlimn

n。

5 x0时，tanxx是与xn

同阶的无穷小，则n。

二、选择题（每小题3分，共15分）

1设f(x)的一个原函数为lnx，则f'(x)（ ）。 （A）

11x （B）xlnx （C）x

x

2 （D）e 2 如果极限lim

x3xa

x2

11，则（ ） x2（A）a2 （B）a6 （C）a0 （D）a4

3 设函数f(x)在x0的某个邻域内二阶可导，且f'

(0)0，lim

f'(x)x0sinx1

2

，则（（A）f(0)一定是f(x)的一个最大值 （B）f(0)一定是f(x)的一个最小值 （C）f(0)一定是f(x)的一个极大值 （D）f(0)一定是f(x)的一个极小值。

4

(

1

cos2x

1)(sinx)dx（ ）

（A）tanxxC （B）tanxcosxC

（C）secxcosxC （D）secxxC

x

5 若f(t)dt14

x4，则1

02f(x)dx0

x（ ）

（A）2 （B）4 （C）8 （D）16

三、求解下列各题（每小题8分，共56分）

ln(12x)

x

,x01 设f(x)

a

,x0在x0处连续，求a,b的值。 xsinxx

3b,x02 已知ysin[f(x2

)]，其中f具有二阶连续导数，求d2y

dx

2。

x2

x2(et1)2dt

3 求lim

x0

x6

4 求函数yx33x29x5的单调区间、极值、凹凸性区间及拐点坐标。

）

5 求不定积分(x21)lnxdx

2

6已知f(0)2,f(2)3,f(2)4,求xf''(x)dx。

'





x7 设向量与三个向量a(1,1,0),b(0,1,1),c(1,0,1)的数量积分别为3，5，4。求向量x及其单位向量。

四、综合与应用（第1题8分，第2题6分，共14分）

1、求由曲线y2x3和直线xy3所围成的平面图形的面积。 2、在x1时，求证：

ln(1x)x

。

lnx1x

2007-2008(1)高等数学（1)试题A答案

重庆三峡学院 至 学年度 A 卷答案

命题人冯天祥

一、 填空题（15分） 1、 2、 3、xf'(x)f(x)c 4、 5、二、选择题（15分）

1、C 2、B 3、C 4、C 5、D 三、求解题（56分）

ln(12x)

2 3分

x0xxsinx1cosx1

f(00)limblimbb 3分 32

x0x0x3x6

111

由f(0)a2ba2,b 。 8分

66

dy

2xcos[f(x2)]f'(x2) 4分 2、dx

1、f(00)lim

d2y

2cos[f(x2)]f'(x2)4x2sin[f(x2)][f'(x2)]24x2cos[f(x2)]f''(x) 8分 2

dx

2x2x(ex1)2

3、原式lim 4分

x06x5

1(ex1)24x2ex(ex1)

 8分 lim4x015x

4、DyR,y3x6x93(x3)(x1)0x3,1 2分

'

2

2

2

2

2

y''6x60x1 4分

'y''

凸增

极大10

2

凸减

0拐

凹减

极小22

凹增

8分

y

点1，6）

5、原式xlnxdxlnxdxlnxd



13

xlnxdx 4分 3

13111

xlnxx3dxxlnxx 8分 33xx11

x3lnxx3xlnxxc 8分 39

2

2

2

26、xf''(x)dx=xdf'(x)xf'(x)0





f(x)dx 5分

'

28f(x)08(32)7 8分

7、设x(x1,x2,x3)x1x23,x2x35,x3x14 4分



1x11,x22,x33x(1,2,3),x0(1,2,3) 8分

四、（14分）

1、先求曲线y2x3与直线xy3的交点坐标(1,2),(6,3) 2分

3

所求平面图形的面积为A[(y3)(y23)]dy 4分

2



115(y26yy3)3 8分 220236

2、令f(x)(x1)ln(x1)xlnxf'(x)ln(x1)11lnxln于是f(x)在x1时单调递增，所以f(x)f(1)2ln20 5分

1x

0 3分 x

1x)xlnx所以，在x1时(x1)ln(

2007-2008(1)高等数学（1)试题B

ln(1x)x

 6分

lnx1x

重庆三峡学院 2007 至 2008 学年度第 1 期

高 等 数 学 课程 期 末 考试题B 卷

命题人 使用年级及专业 2007理工科各专业本科学生 （闭卷）

系别： 学号: 姓名: 成绩 一、填空题（15%）

x1 lim xx1



x

2

1

dx 21x0

3 函数ysinx2的微分。 4 如果5

f(x)dxxsinxc,则f(x)。



2

2

(x4x2)2dx。

二、选择题（15%）

1 f(x)5，则f'(f(x))（ ） （A）5 （B） x （C）1 （D）0 2 如果极限lim

x2

f(x)

存在，则（ ） x2

x2

'

（A）limf(x)0 （B）limf(x)0 （C）f(2)=0 （D）f(0)0

x2

3 如果在区间(a,b)内每一点x处都有f'(x)g'(x)，则在区间(a,b)内成立（ ） （A）f(x)g(x)（B）f(x)g(x)1（C）f(x)g(x)恒为常数 （D）f(x)g(x)=2 4下列广义积分中不收敛的是（ ） （A）





1

11111

dx （B） （C） (D)1xx21 0x2x2

5设f(x)的一个原函数为lnx，则f'(x)（ ）。 （A）

11x

（B）xlnx （C）2 （D）e xx

三、求解下列各题（56%） 1 确定常数a,b使函数

1

xsinx,x0f(x)=连续.

a1,x01

xsinb,x0

x

2 已知yxex，求y

2

'x0

,y''。

xx

ee2x 3 计算limx0xsinx

4 求函数yx33x29x5的单调区间、极值、凹凸区间和拐点的坐标。

2

5 求不定积分x2lnx



x

6 假设曲线y1x2,x轴和y轴在第一象限所围成的图形被曲线yax2分为面积相等的两部分，其中a为正常数，确定a的值。

2

7已知f(0)2,f(2)3,f'(2)4,求xf''(x)dx。



四、在曲线y

1

(x0)上的点(2,1)x2

处作曲线的切线l。

（1）求出切线l的方程。

（2）计算由直线x1,x4及切线l与曲线y

1

(x0)围成图形的面积S。（8%） x

五、（6%）设f(x)在0,ab连续，在(0,ab)内f''(x)0，f(0)0且0ab，求证：

f(ab)f(a)f(b)。

2007-2008(1)高等数学（1)试题B答案

重庆三峡学院 至 学年度 B 卷答案

本科） 一、 填空题（15分） 1、

12

2、 3、2xcosxdx 4、sinxxcosx 5、16 e2

二、选择题（30分）

1、D 2、B 3、C 4、B 5、C 三、计算题（56分） 1、f(00)lim

sinx

1 2分

x0x

1

f(00)lim(xsinb)b 5分

x0x

由f(0)a1f(00)f(00)a2,b1 。 8分

'x2x2x'

2、ye2xe(2x1)ey

2

2

2

2

2

x0

2

1 4分

y''4xex2x(2x21)ex2x(2x23)ex 8分

exex2exex

lim3、原式lim 4分

x0x01cosxsinx

exex

lim2 8分 x0cosx

4、DyR,y'3x26x93(*x3)(x1)0x3,1 2分

y''6x60x1 4分 'y''

凸增

y

5、原式

凸减

0拐

凹减

极小

22

凹增

8分

极大10

点1，6）

xdx2

lnx1

x22lnxdlnx 4分 x2



12

xln2xc 8分 2

6、由于曲线y1x2,yax2在x0时有唯一交点(

1

a

) 2分 a1a1

,

1

S(1x2)dx

2

，S1S2S/2， 2分 3

1/a1

S1

2

22

(1xax)dx0

23a1



1

a2 8分 3

2

2

7、xf''(x)dxxdf'(x)xf'(x)





20

f'(x)dx 4分

2

2f'(2)f(x)08f(2)f(0)8327 8分

四、（8分） （1）y

4'

111

kyx1 4分 ，切线方程为

44x2

（2）S(

1



1

x19

x1)dx2ln2 8分 48

五、（6分）

根据已知条件，由拉格朗日中值定理有f(a)f(0)f(1)a,01a

'

f(ab)f(b)f'(2)a,b2ab， 2分

'''

又因为f(0)0,ab，所以12 ，f(x)0f(x)单调递减， 4分

于是f(1)f(2)，于是f(ab)f(b)f(a)f(ab)f(a)f(b)。 6分

2006-2007(1)高等数学期末试题

重庆三峡学院 至 学年度第

课程考试试题册(B)

试题使用对象 ： 全院 2006 级 工科各 专业(本科) 命题人： 陈晓春 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷

说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。

2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。

十八、 填空题（每小题3分，本题共15分）

2x

1、lim(13x)

x0

______.。

x

x0e

2、当k时，f(x)2在x0处连续．

xkx0

3、设yxlnx,则

dx

______ dy

4、曲线yex在点（0，1）处的切线方程是 5、若

x

f(x)dxsin2xC，C为常数，则f(x)。

十九、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数f(x)

xx

，则limf(x)（ ）

x0

A、0 B、1 C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. ln

1x2(x0) B. lnx(x1) C. cosx (x2) (x0) D. 2xx4

3、满足方程f(x)0的x是函数yf(x)的（ ）．

A．极大值点 B．极小值点 C．驻点 D．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A、





sinxdx B、e2xdx C、



11

D、

0xx

5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则AMB

A、



B、 C、 D、 342

二十、 计算题（每小题7分，本题共56分）

1、求极限 lim

x0

4x2

。

sin2x

2、求极限 lim(

x0

11x) xe1

cosx

3、求极限 lim

x0

e

1

t2

dt

x

2

4、设ye5ln(xx2)，求y

xln(1t2)d2y

5、设fy(x)由已知，求 2

dxyarctant

6、求不定积分 7、求不定积分

12

sin(x2x3)dx

xexdx cos

11ex

8、设f(x)

11x

二十一、

x0

， 求

x0



2

f(x1)dx

应用题（本题7分）

2

2

求曲线yx与xy所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。 二十二、

证明题（本题7分）

若f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)0，f()1，证明：

在(0,1)内至少有一点，使f()1。

2006-20079(1)高等数学期末试题参考答案

12

重庆三峡学院 至 学年度第期 (B)参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、e 2、k =1 ． 3、

6

x

4、y1 5、f(x)2cos2x 1x

二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分）

1. 解：lim

x0

x12x14x2

limlim……7分 x0sin2xsin2x(4x2)2x0sin2x(4x2)8

11ex1xex1ex1

2. 解 ：lim(x…… 7分 )limlimlimxxxxxxx0xx0x0x02e1x(e1)e1xeeexe

cosx

2

3、解： lim

x0

t

edt1

x2

sinxecos

limx02x

2

x



1

7分 2e

4、解： y

1xx1x

2

2

(1

1x

2

)……………………… …...4分



……………………………………… … …...7分

1

dy1t215、 （4分）

2tdx2t1t2

dyddy

()2

dtdxdx

2





1

2t2

1t2

3 （7分） 2t4t21t

6、解：

1212212sin(3)dxsin(3)d(3)cos(3)C x2x2x32x

7、解 解：

e

x

cosxdxcosxdex

excosxexsinxdx…………………… …….2分 excosxsinxdex..………………… ……….3分 excosxexsinxexcosxdx ……… ……5分

ex(sinxcosx)C ……………… ……… …7分

8、解：



2

f(x1)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx… …2分

1

1

101



1dxdx

01x ……… ………3分 11ex0

ex1

(1)dxln(1x)…… ……5分 x011e

1ln(1e)

x

01

ln2 ……………… …6分

1ln(1e1)ln(1e)………… ……7分

四．

应用题（本题7分）

2

2

解：曲线yx与xy的交点为（1，1）， 1分 于是曲线yx与xy所围成图形的面积A为

2

2

211

A(xx2)dx[x2x2]1 4分 0

3330

A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积为：

13

y2y5324

 7分 V(y)ydy

501020

1



1

五、证明题（本题7分）

证明： 设F(x)f(x)x， ……………………….……… ……2分

显然F(x)在[,1]上连续，在(,1)内可导， 且 F()

1

212

121

0，F(1)10. 2

由零点定理知存在x1[,1]，使F(x1)0. …….… …………4分 由F(0)0，在[0,x1]上应用罗尔定理知，至少存在一点

12

(0,x1)(0,1)，使F()f()10，即f()1 … …7分

2005-2006(1)《高等数学I》试题A

重庆三峡学院 2005 至 2006 学年度第 1 期

试题使用对象 ： 数计院、物电学院、化学、生物系 2005 级本科各专业 命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷

说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。

2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。 一、 判断题：（本题共 15 分，共5小题，每题各 3 分）

a) 若某数列有界，则该数列收敛。 （ ） 2．设limf(x)b，f(x)在a的某一邻域内有界。 （ ）

xa

3．若f(a)0，则(a,f(a))为函数的拐点。 （ ）

4．设f(x)在[a,b]上连续，F(x)



x

a

f(t)dt，则F(x)一定在[a,b]可导。 （ ）

xx(t)d2yy(t)5．设均存在2阶导数，则 （ ） 2

x(t)dxyy(t)

二、 填空题：（本题共 15 分，共5小题，每题各 3 分）

1．设xx(t),yy(t)均在t0可导，又设x0x(t0),y0y(t0)，则曲线的切线方程是：-------------------------------------------------------。 2．limn

n

xx(t)

在(x0,y0)

yy(t)



1n0

cosxdx=----------------------------------------------------------。

3．lim

f(ah)f(ah)

-------------——。

h0h

4. 设f(x)在a的邻域内有n1阶导数，则由泰勒公式：f(x)----------------------------------。

x2,x25．设f(x)，当a=--------时，函数在2连续。

1ax,x2

三、 计算题：（共 60 分）

1．求下列极限（20分）

natxnisx1b...bn

lim,(|a|1,|b|1（1）．lim） （2）． x0n1a...annis3x



（3）．mil

acntr1

x

x

x （4）． lim

x0

x

x

2．求下列不定积分、定积分（20分）

（1）

1cosx2

xdx （2）arctanxdx xsinx

（3）

a2x2dx （4）



sin3xsin5xdx

3．求下列函数的导数（10分）

be2x

(1) f(x)atctanf(x)dx，求f(x)

a1x

（2）yx2e2x，求y(n)

x2

2

4．描绘函数y

12

e



的图形（10分，必须有过程）

四、 证明题：（本题共 10 分）

b) 用数列极限的定义证明：lim

3n13

。

n2n12

c) 设|f(x)|x2，证明：f(x)在x0时可导，且求f(0)。

高等数学上 试题6

高等数学（上）试题五

一、 填空（21分） 1函数y

1xx6

2

ln(4x)的定义域为。

2已知f(x)f(y)f(z)，如果f(x)1/x，则。

2

x

3 lim(1xx)。

x0

2

sinx

x,x0

,则当lf(x)连续。 4若f(x)k,x0

ln(1x),x0

lx

'

5 f(x)5，则f(f(x))

x

6曲线ye上与直线y=x平行的切线方程为 7设



f(x)dxexc，则

2

二、选择题(15分)

1 当x（ ）时，函数

1

是无穷小。

ln(3x)



(A)  (B) 3 (C)或3 (D) 3

2设f(x)的一个原函数为lnx，则f'(x)（ ）。 （A）



11x

（B）xlnx （C）2 （D）e xx

3设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在a,b上，（ ）。 （A） 函数f(x)必有界。 （B）函数f(x)必单调。

函数f(x)必存在单值的反函数 （D）至少有一点，使f()0 4若f'(x2)1/x(x0)，则f(x)（ ）。 （A）2x+c （B）lnxc （C）2xc （D）

1x

c

5已知f'(1)4,f(1)0则lim

x1

f(x)

（ ）。 x1

（A）1 （B）2 （C）4 （D）3

三、（10分）设函数f(x)有二阶连续导数，导函数yf'(x)在（－，＋）内的图象如下图所示

确定函数f(x)的单调区间，极值点，凹凸区间和拐点的横坐标。 四、（14分）求下列极限

x1x3

() 1 lim 2 limx1x1xx1lnx

五、（14分）

1设y(x1)f(2x)，f(x)二阶可导，求y. 2设yearctan

x12

''

2x

,求dy

六、（16分）求下列不定积分：

arcsinx11． 2

2

x

七、（10分）证明题

xex

(1x)2

1 设x0时，f(x)~x,求证：当x0时，f(x)-x是x的高阶无穷小。 2

设

函

数

f(x)

在

a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0,求证:

在

(a,b)内至少存在一点使f()f'()。

高等数学(上)试题一

高等数学 (上)试题一

一、 填空(24%)

1 如果f(x)xx2,则f(x1)。 sin3x

,x0则当k= 时，f(x)连续。 2 若f(x),x

k,x0

2

3 设





f(x)dxe2xc，则。

4 设f(x)





x

1

tsint2dt,则f'(x)



5 设a3,b4,a⊥b，则(ab)(ab) 。 6 设f(x)连续，且f(x)3xx

2







1







f(x)dx，则f(x)。

2

7由曲线yx，直线y0,x1围成区域的面积为

8



1

1

(xx2)2dx

二、 选择(24%)

1下列变量中，（ ）是无穷小量。

（A）cos(x1),(x1) （B）e,(x0) （C）ln(x1),(x0) （D）lnx 2若函数y=f(x)在定义域内f(x)0,f(x)0,则有（ ）。

（A） f(x)单调增加且曲线y=f(x)是凸的 （B）f(x)单调减少且曲线y=f(x)是凸的 （B） f(x)单调增加且曲线y=f(x)是凹的 （D）f(x)单调增加且曲线y=f(x)是凹的 3 设f(x)的一个原函数为lnx，则f(x)（ ）。

'

'

''x

（A）

11x （B）xlnx （C）2 （D）e xx

4下列积分不为零的是（ ）。 （A）

sinxdx （B）x







2

sinxdx （C）edx （D）sinxcosxdx







x



5下列广义积分中不收敛的是（ ） （A）





1

11111

dx （B） （C） (D)22102xxx1x

6平面x+2y-z+3=0与空间直线

x1y1z2

的位置关系是（ ）。 311f(x)

（ ）。 x

（A） 互相垂直 （B）不平行也不垂直 （C）平行但直线不在平面上 （D）直线在平面上。 7已知f'(0)4,f(0)0则lim

x0

（A）1 （B）2 （C）4 （D）3



8定积分





x2sinx

（ ）。

1x2

（A）2 （B）-1 （C）0 （D） 1 三、 求解下列各题(42%) 1 计算lim

sin(3x)

x3x3

2 若函数y由方程xy2xsinyx2确定，求y',dy.

3求函数yx33x29x15的单调区间、极值、拐点、凹凸区间。 4 计算xcosxdx 5 计算



e

1

x

dx

6 求由曲线yx2和yx围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积。

四、 （5分）已知函数f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点

(0,1)使f'()f()0。

五、 （5分）设f(x)在闭区间0,1上连续，求证：





xf(sinx)dx



20



f(sinx)dx。