应用随机过程poisson过程小论文

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机 程用 过

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摘 要 ....................................................................... 错误！未定义书签。

一、 Poisson过程 .......................................................................................... 1 （一）计数过程 ........................................................................................... 1 （二）Poisson过程等价性 ......................................................................... 1 二、与Poisson过程相联系的若干分布 ........................................................ 3 （一） Poisso过程的一条样本路径是跳跃度为1的阶梯函数 ............. 3 （二） X n 和 T n 的分布 ....................................................................... 3 （三） 事件发生时刻的条件分布 ............................................................. 4 三、Poisson过程的推广 ................................................................................. 4 （一）非齐次Poisson过程 ........................................................................ 4 （二）复合Poisson过程 ............................................................................ 5 （三） 条件Poisson过程 .......................................................................... 6

Poisson过程

一、Poisson过程

（一）计数过程

N(t)表示0到t时刻某{N(t),t0}随机过程 称为计数过程，如果

一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：

N(t)0且取值为整数。 （1）

N(s)N(t)且 st时， (s,t]时间 （2） N(t)N(s)表示

内事件A发生的次数。

例

对观察事件出现的次数感兴趣，可以用计数过程描述。 一段时间内某商店购物的顾客数。 经过公路上某一路口的汽车数量。 保险公司接到的索赔次数。 （二）Poisson过程等价性

设 {N(t),t0}是一个计数过程，它满足 （1）

N(t)

N(0)0,

（2）过程有平稳独立增量，

P （3）存在λ {N(t0,当 h0时，

反之，Poisson过程一定满足这4个条件。

h)N(t)1}λhο(h), （4）当 ο(h).h0时， P{N(th)N(t)2}

满足上述条件（1）-（4）的计数过程 {N(t),t0}是Poisson过程。

说明：把[0，t]分成n个相等的时间区间。由条件（4）得，当

n

时，在每个小区间时间发生2次及以上的概率趋于0。事件 发生1次的概

tt

p1p1率，事件不发生的概率，恰好是1次nn

N(t)Bernoulli试验。由条件（2）给出的平稳独立增量， 相当于n次

独立Bernoulli试验成功的总次数。由Poisson分布的二项分布逼近可知

t的Poisson分布。 服从参数为

N(t)服从参数为 λt的Poisson分布即可。记 证明：只需要验证

Pn(t)P{N(t)n},n0,1,2,...

P0(th) P{N(th)0}P{N(th)N(t)0,N(t)0}

P{N(t)0}P{N(th)N(t)0}P0(t)P0(h)P0(t)(1λho(h)).

有 P(h)P{N(h)1}P1(h)P2(h)...1P0(h),

λtP(0)P{N(0)0}1 00

1当 n  时，

Pn(th) P{N(th)n}P{N(t)n,N(th)N(t)0}P{N(t)n1,N(th)N(t)1}

0n11 n

nn1 nnnn1 ' nnn1

令

n

λt 由归纳法得到

n

P0(th)P0(t)ο(h)

λP0(t),

hh

'λtP(t)λP(t).由 得 故 h0,P.000(t)Ke

令

K1

P(t)e.

P{N(th)n,N(th)N(t)2}P(t)P(h)P(t)P(h)o(h)(1λh)P(t)λhP(t)o(h).

P(th)P(t)λP(t)λP(t)ο(h),

h

P(t)λP(t)λP(t).

h0,

P(t)e

(λt)

P{N(t)n}.n!

证明：反之，证明Poisson过程满足条件（1）-（4），只须验证条件（3）（4），

λh

P{N(th)N(t)1}P{N(h)N(0)1}e

1!n

λh

(λh)

λhλh[1λhο(h)]λhο(h),

n!n0





n

(λh)

P {N(th)N(t)2}P{N(h)N(0)2}eλhο(h).

n!n2

二、与Poisson过程相联系的若干分布

（一） Poisso过程的一条样本路径是跳跃度为1的阶梯函数

N(t)

3

2

1

T0

T1

T2

T3

Xn和 Tn的分布 （二）

{N(t),t0}是参数 的Poisson过程，如果每 计数过程

次

X1,X2,...相互独立，且服从同一参数 事件发生的事件间隔 

的指数分布。

对Poisson过程进行计算机模拟的途径：只需产生n个同指数分布的随机数，将其作为 X,i1,2...即可得到Poisson过程的一条样本路径。

（三） 事件发生时刻的条件分布

i

n 时， T 1,说明：当 N ( t)  T 2 ,..., T n 的条件分布与

[0，t]区间上服从均匀分布的n个相互独立随机变量 的顺序统计量 Y , Y ,..., Y 的联合分布相同。

1

2

n

在已知[0，t]发生了n次事件的前提下，各次事件发生的时刻

,..., T 1 ,T 2 T n （不排序）可看作相互独立的随机变量，且都服从[0，t]上的均匀分布。

三、Poisson过程的推广

（一）非齐次Poisson过程

λ(t)跟t有关，称为非其次Poisson过程。 Poisson过程的强度

{N(t),t0}称作强度函数为 计数过程 λ(t)0(t0)的非齐

次Poisson过程，如果 （1） N(0)0,

（2）过程有独立增量。

（3） P{N(th)N(t)1}λ(t)hο(h),

ο(h).（4） P{N(tth)N(t)2}

m(t)λ(s)ds,令 ，类似于Poisson过程。

0λ(t)0(t0)的等价定义：计数过程 {N(t),t0}称作强度函数为

非齐次Poisson过程，如果 （1） N(0)0, （2）过程有独立增量。

（3）对任意实数 t0,s0,N(ts)N(t)为具有参数 的Poisson过程。 2

E(Y),i

（二）复合Poisson过程

N(t)

{X(t)Yi,t0}是一复合Poisson过程，Poisson过定理：设



i1

{N(t),t0}

的强度为 ，则 X(t)

（1） 有独立增量。 st m(ts)m(t)λ(u)du

（2）若 ，则 t E[X(t)]λtEY1,var[X(t)]λtE(Y12).



012n

N(tk)证明：（1）令 ，则

X(tk)X(tk1)Yi,k1,2,...,n,

iN(tk1)1

Yi,i1,2,...,n

由Poisson过程的独立增量性及各 之间的独立性不难得到 的独立增量性。

（2）利用矩母函数方法，有 t(u)E(euXt)E[euXt|N(t)n]P{N(t)n} n0

0ttt...t,





E[e

n0



u(Y1...Yn)

|N(t)n]et

n

(t)n(t)u(Y1...Yn)

E[e]etn!n!n0

求导得

nn(t)(t)uYnuY1uY1nttt[E(euY1)1]

E(e)...E(e)e[E(e)]ee.

n!n!n0n0

E[X(t)]λtEY1,var[X(t)]λtE(Y).

2

1

（三） 条件Poisson过程

Λ0,

Λλ

定义：设随机变量 在 {N(t),t0}{N的条件下，计数过程(t),t0}

是参 数为 的Poisson过程。则称 为条件Poisson过程。

设 的分布为G。那么，随机选择一个个体在长度为t的时间区间内发生n次事件的概率为

全概率公式



Λ

P{N(ts)N(s)n}et

(t)n

dG().n!

定理：设 {N (t ), t  0} 是条件Poisson过程，且 2 ，则

E(Λ),

Λ, （1） E[N(t)]tE

（2） var[N(t)]t证明：

2

var(Λ)tEΛ.

E（1） [N(t)]

E{E[N(t)|Λ]}E(tΛ)tEΛ.

E{E[N2(t)|Λ]}(tEΛ)2

（2）var[ N(t)]E[N2(t)]{E[N(t)]}2

E[(Λt)2Λt]t2(EΛ)2t2var(Λ)tEΛ.