错位相减求和
错位相减求和
1．已知数列{an }是等比数列，若a 9a 22+a13a 18=4，则数列{an }的前30项的积T 30=（ ）
15A. 4B. 2C. () D. 315 15151
2
2．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10.
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n ⋅3n -1}的前n 项和．
3．已知数列{a n }满足a 1=1，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n =2-b n ． a n +1=a n +2，
（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．
4．已知数列{a n }的各项均为正数，且4S n =a n +2a n -3． S n 是数列{a n }的前n 项和，
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知b n =2n , 求T n =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n 的值．
5．等差数列{a n }前n 项和为S n ，且S 5=45, S 6=60. （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }满足b n +1-b n =a n (n ∈N +)且b 1=3，求⎨2⎧1⎫⎬的前n 项和T n .
⎩b n ⎭
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：∵a 9a 22=a13a 18=a1a 30，又∵a 9a 22+a13a 18=4，∴a 1a 30=2
∴T 30=a1•a2…a30=
故选D.
考点：等比数列的前n 项和．
n 2．（1）a n =2-n （2）(-) ⋅3-=215 5
4n 25 4
【解析】
试题分析：（1）设等差数列{a n }的公差为d , 根据等差数列的通项公式将a 2=0，a 6+a 8=-10. 转化为关于首项a 1和公差d 的二元一次方程组, 可解得a 1和d . 从而可得其通项公式. （2）用错位相减法求其数列的和.
试题解析：解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎨a 1+d =0 2a +12d =-10⎩1⎧
⎧a 1=1解得⎨故数列{a n }的通项公式为a n =2-n 6分 d =-1⎩
n -1（2）设数列a n ⋅3的前n 项和为S n ，即 {}
S n =1⋅30+0⋅31+(-1)⋅32+ +(2-n )⋅3n -1
3S n =
两1⋅31+0⋅32+(-1)⋅33+ +(3-n )⋅3n -1+(2-n )⋅3n 式相减得-2S n =30-31-32- -3n -1-(2-n )3n =1-
n 所以S n =(-) ⋅3-3(1-3n -1)1-3-(2-n )3n =55-(-n ) ⋅3n 225
4n 25. 4
5
4n 25 12分 4n n -1综上，数列a n ⋅3前n 项和为(-) ⋅3-{}
考点：1等差数列的通项公式;2错位想减法求数列的和.
⎛1⎫3．（1）b n = ⎪⎝2⎭n -1 （2）T n =6-2n +3 n -12
【解析】试题分析：（1）本问考查求数列的通项公式，根据a n +1=a n +2可知a n +1-a n =2，所以{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，可求{a n }的通项公式，根据
b 1, n =12n -1可求数列{b n }的通项公式；（2）根据第（1）问可知c n =a n b n =n -1，b n ={2S n -S n -1, n ≥2
求数列{c n }的前n 项和T n ，用错位相减法，乘公比、错位、相减，化简整理，可以求出T n . 试题解析：（Ⅰ）因为a 1=1，a n +1-a n =2，所以{a n }为首项是1，公差为2的等差数列， 所以a n =1+(n -1)⨯2=2n -1
又当n =1时，b 1=S 1=2-b 1，所以b 1=1，
当n ≥2时，S n =2-b n „① S n -1=2-b n -1„②
由①-②得b n =-b n +b n -1，即b n 1=， b n -12
n -11⎛1⎫所以{b n }是首项为1，公比为的等比数列，故b n = ⎪2⎝2⎭
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n =a n b n =. 2n -1，则 2n -1
1352n -1T n =0+1+2+ +n -1 ① 2222
1132n -32n -1T n =1+3+ +n -1+n ② 22222
112222n -1①-②得T n =0+1+2 +n -1- 222222n
11-n -1112n -1-2n -1=3-2n +3 =1+1++ +n -2-n =1+n n 1222221-2
2n +3所以T n =6-n -1 2
方法点睛：已知数列前n 项和S n ，求通项公式a n 时，注意分类讨论，即利用
a 1, n =1，并进行检验n ≥2是否对n =1适用，从而决定通项公式是否分段. a n ={S n -S n -1, n ≥2
另外对于等差数列与等比数列相乘求和时，采用错误相减法，即和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解.
4．（1）a n =2n +1．（2）T n =(2n -1)2n +1+2。
【解析】
试题分析：（1）令n = 1，解出a 1 = 3, （a 1 = 0舍），
由4S n = an 2 + 2an －3 ①
2 及当n ≥2时 4s n －1 = a n -1 + 2an-1－3 ②
22 ①－②得到a n -a n -1-2(a n +a n -1) =0，
确定得到{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）利用“错位相减法”求和.
试题解析： （1）当n = 1时，a 1=s 1=a 12+a 1-, 解出a 1 = 3, （a 1 = 0舍） 1分 又4S n = an 2 + 2an －3 ①
2当n ≥2时 4s n －1 = a n -1 + 2an-1－3 ② 141234
2222-a n ①－② 4a n =a n -1+2(a n -a n -1) , 即a n -a n -1-2(a n +a n -1) =0，
∴ (a n +a n -1)(a n -a n -1-2) =0, 4分
， a n +a n -1>0∴a n -a n -1=2（n ≥2）
∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴a n =3+2(n -1) =2n +1． 6分
（2）T n =3⨯21+5⨯22+ +(2n +1) ⋅2n ③
又2T n =3⨯22+5⨯23 +(2n -1) ⋅2n +(2n +1)2n +1 ④
④－③ T n =-3⨯21-2(22+23+ +2n ) +(2n +1) 2n +1
=-6+8-2⨯2n +1+(2n +1) ⋅2n +1
=(2n -1) 2n +1+2 12分
考点：等差数列及其求和，等比数列的求和，“错位相减法”.
5．(1) a n =2n +3. (2) T n =311--. 42n +12n +2【解析】试题分析:(1)由等差数列的基本量运算, 求出数列的通项公式; (2)先求出数列{b n }的通项公式, 根据裂项相消法求出前n 项和T n .
试题解析:（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 5=45, S 6=60.
5⨯45a 1+d =45, a 1=5, 2∴{解得{ 6⨯5d =2. 6a 1+d =60, 2
∴a n =5+(n -1)⨯2=2n +3.
（Ⅱ）∵b n +1-b n =a n =2n +3，b 1=3，
∴b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+ +(b 2-b 1)+b 1
=⎡⎣2(n -1)+3]+[2(n -2)+3]+ +[2⨯1+3⎤⎦+3
=2⨯n (n -1)
2+3n =n 2+2n .
∴111⎛11⎫== -⎪． b n n n +22⎝n n +2⎭
1⎡⎛1⎫⎛11⎫⎛11⎫1⎫⎛11⎫⎤⎛11-+-+-+ +-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ 2⎢32435n -1n +1n n +2⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎝∴T n =
1⎛111⎫= 1+--⎪ 2⎝2n +1n +2⎭=311--. 42n +12n +2