三角函数知识点总结

三角函数知识点总结

一、任意角的三角函数及诱导公式

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转, 我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限, 称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k∈Z) ，即β∈{β|β=2kπ+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|

π5ππ5π≤α≤}=[，]。

6666

3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写) 。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0, 角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角α的弧度数的绝对值是：=

l

，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。 r

︒

角度制与弧度制的换算主要抓住180=πrad 。

弧度与角度互换公式：1rad ＝180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝π≈0.01745（rad ）。

π

180

弧长公式：l =|α|r （α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：S =4．三角函数定义

在α的终边上任取一点P (a , b ) , 它与原点的距离

r 过P 作x 轴的垂线, 垂足为M ,

则线段OM 的长度为a , 线段MP 的长度为b . 11

l r =|α|r 2。 22

sin α=

MP b OM a MP =；cos α==；tan α==OP r OP r OM 利用单位圆定义任意角的三角函数，设α边与单位圆交于点P (x , y ) , 那么:

(1)y 叫做α的正弦, 记做sin α, 即sin α=y ； （2）x 叫做α的余弦, 记做cos α, 即cos α=x ； （3）

y y

叫做α的正切, 记做tan α, 即tan α=(x ≠0) 。

x x

5．三角函数线

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P (x , y ) ，过点P 作PM ⊥x 轴交x 轴于点

M ，根据三角函数的定义：

|MP |=|y |=|sin α|；|OM |=|x |=|cos α|。

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关. 当角α的终边不在坐标轴时, 以O 为始点、M 为终点，规定：

当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标. 这样, 无论那种情况都有

OM =x =cos α

同理, 当角α的终边不在x 轴上时, 以M 为始点、P 为终点，

规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标。

这样, 无论那种情况都有MP =y =sin α。像MP 、OM 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。

如上图, 过点A (1,0)作单位圆的切线, 这条切线必然平行于轴, 设它与α的终边交于点

T , 请根据正切函数的定义与相似三角形的知识, 借助有向线段OA 、AT , 我们有

y

tan α=AT =

x

我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT , 分别叫做角α的正弦线、余

弦线、正切线，统称为三角函数线。

6．同角三角函数关系式

使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。

几个常用关系式：sin α+cosα，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)

同理可以由sin α－cos α或sin α·cos α推出其余两式。

α⎫⎛π⎫⎛

②1+sin α= 1+sin ⎪． ③当x ∈ 0, ⎪时，有sin x

2⎭⎝2⎭⎝

7．诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(α+2k π) =sin α，cos(α+2k π) =cos α，其中k ∈Z 2

诱导公式二： sin(180+α) =-sin α； c o s (18+0α=) -cos α

诱导公式三： sin(-α) =-sin α； cos(-α) =cos α 诱导公式四：sin(180-α) =sin α； cos(180-α) =-cos α

诱导公式五：sin(360-α) =-sin α； cos(360-α) =cos α

（1）要化的角的形式为k ⋅180±α（k 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；

（3）sin(kπ+α)=(－1) k sin α；cos(kπ+α)=(－1) k cos α(k∈Z) ； （4）sin x +

⎛

⎝

π⎫

π

⎫π⎫⎛π⎫⎛⎛⎛π⎫；=cos -x =cos x -cos x +=sin ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -x ⎪。

4⎭4⎭4⎭⎝4⎭⎝⎝⎝4⎭

8. 思维总结

2．α、

、2α之间的关系。 2

α

若α终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y

轴正

2

半轴。

若α终边在第二象限则半轴。

若α终边在第三象限则半轴。

若α终边在第四象限则

α

终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y 轴负2

α

终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y 轴正2

α

终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y 轴负2

半轴。

3．任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。

只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角

的大小有关. 我们只需计算点到原点的距离r =, 那么

sin α=

, cos α=

, tan α=

y

。所以，三角函数是以为自变量, 以单位x

圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数。

4．运用同角三角函数关系式化简、证明

常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的cos α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。

二、三角函数的图象与性质

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：

ππ⎤⎡

y =sin x 的递增区间是⎢2k π-，2k π+⎥(k ∈Z ) ，

22⎦⎣

递减区间是⎢2k π+

⎡⎣

π

2

，2k π+

3π⎤

(k ∈Z ) ； 2⎥⎦

y =cos x 的递增区间是[2k π-π，2k π](k ∈Z ) ，

递减区间是[2k π，2k π+π](k ∈Z ) ，

ππ⎫⎛

y =tan x 的递增区间是 k π-，k π+⎪(k ∈Z ) ，

22⎭⎝

（其中A >0，ω>0）3．函数y =A sin(ωx +ϕ) +B

最大值是A +B ，最小值是B -A ，周期是T =初相是ϕ；其图象的对称轴是直线ωx +ϕ=k π+

2π

ω

，频率是f =

ω

，相位是ωx +ϕ，2π

π

2

(k ∈Z ) ，凡是该图象与直线y =B 的

交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ) 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现

变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0) 或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

1

ω

倍(ω＞0) ，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ) 的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换) 再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的向右(ϕ＜0＝平移

1

ω

倍(ω＞0) ，再沿x 轴向左(ϕ＞0) 或

|ϕ|

ω

个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ) 的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ) 的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 ．．

6．对称轴与对称中心：

y =sin x 的对称轴为x =k π+，对称中心为(k π,0) k ∈Z ； 2

ϕ

，ω

y =cos x 的对称轴为x =k π，对称中心为(k π+； 2,0)

对于y =A sin(ωx +φ) 和y =A cos(ωx +φ) 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最

值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负, 并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“y =A sin(ωx +φ) 、y =A cos(ωx +φ) ”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：

五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、点作图。

π3π

、π、、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描22

10．思维总结

1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。

2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。

3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。

4．求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化。 5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。

6．函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。 7．判断y =－A sin （ωx +ϕ）（ω＞0）的单调区间，只需求y =A sin （ωx +ϕ）的相反区间即可，一般常用数形结合y =A sin （－ωx +ϕ）（－ω＜0＝单调区间时，则需要先将x 的

系数变为正的，再设法求之。

三、三角恒等变形及应用

1．两角和与差的三角函数

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β；

tan(α±β) =

tan α±tan β

。

1 tan αtan β

2．二倍角公式

sin 2α=2sin αcos α；

cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α； tan 2α=

2tan α

。

1-tan 2α

3．三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式

sin αcos α=

11-cos 2α1+cos 2α2sin 2α；sin 2α=；cos α=。 222

（2）辅助角公式

a sin x +b cos x =sin (x +ϕ)，

其中sin ϕ=

cos ϕ=

。

4．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α=(α+β) -β, 2α=(α+β) +(α-β) 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

6、思维总结

从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%功与否。

1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习

时应注意以下几点：

（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角

如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)，2α+β=(α+β)+α等；

（3）注意倍角的相对性 （4）要时时注意角的范围 （5）化简要求

熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。 2．证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

3．解考策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。