二次根式难题讲练

1、计算a2bab

ab 2．计算：

3226

aab

3、计算2623 5、计算53

1

231

124、计算

72656

6

6、计算13

223

26

7：已知X=

2

11（），y =(7)，求下列各式的值。 22

2

（1）x－xy+y; (2)

yx

+ xy

3x22x5

8、已知x=2+，求的值。

2x7

练习：

（一）构造完全平方 1

_____________．

(n2n1)

n(n1)

（拓展）计算

11111111

． 22222222

[1**********]004

2．化简：

4．化简：

y232y5y22y5．3．化简624．

236642

32

． 5

6

7

（二）分母有理化 1．计算：

2．分母有理化：

13

153

1757



1

474749

的值．

226

．3．计算：2．

1223

（三）因式分解（约分） 1．化简：

3

5．化简：

7

9、设x

161

． 2

230643 4．化简：

557

．

3257



6

．

． 8

，求x52x417x3x218x17的值。

难题专练：

11、设ax3by3cz3，且3ax2by2cz23a3b3c，xyz0，求

12、设x

14、设x1

15、设a、b是实数，且a2ab2b1，试猜想a、b之间有怎样的关系？并加以推导。

121

1111

的值。 xyz

1n1n

，y

n1nn1n

，且19x2123xy19y21985，试求整数n.

，求证：18x19.



参考答案并分析： 1计算

a2abab



abab

（利用公式）

分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与成立，且分式也成立，故有a＞0，b＞0，

ab0而同时公式：ab



2

=a

2

-2ab+b

2

，

a2-b2=abab，可以帮助我们将a2abb和ab变形，所以我们应掌握好公式可以使一

些问题从复杂到简单。

解：原式=

2．计算：

ab

a+2

aab

a=a+

a=2a-2b



322312（适当配方）

分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+2其分子必有含1+23的因式，于是可以发现3+22=1



2，且12，通过因式分解，分子所含的1+23的



2

322因式就出来了。解：原式=

3：化简

3

123



612312=1+

2

122

2623（正确设元化简）

分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：2a，c，b,ab

6，正好与

分子吻合。对于分子，我们发现a2b2c2所以a2b2c20，于是在分子上可加a2b2c20，因此可能能使分子也有望化为含有abc因式的积，这样便于约分化简。

解：设2a,原式=

b,c则2ab2且a2b2c20所以：

2

2ab2aba2b2c2abc2abcabcabc3

abcabcabcabc

4，计算

72656

6（拆项变形法）

分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：

ab11

再化简，便可知其答案。 abab

解：原式==

6

6

756

77

156

5、计算



167

6577

53

1

231

（整体倒数）

ab11

，化简但还要通过折项变形，使其具abab

分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：有公因式。

解：设A=

53

1

231



1=

3111



1

1 

22

则

1

A

2311



5

所以A=

251



51

2

（借用整数“1”处理）

6、计算

1322326

分析：本例运用很多方面的知识如： 1=

3232和.ab×aba



2

b2，然后再运用

乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。 解：原式=

2

322222

2

32622

=

(2)(326)

326

7：已知X=

11yx22（），y =(7)，求下列各式的值。（1）x－xy+y; (2)+ 22xy

本题运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式，

如x－xy+y=(x+y)解：因为X=

2

2

2

－3xy，然后再约分化简。

11（），y =(5)，所以：x+y=7，xy=1。 222

2

2

2222

（1） x－xy+y=（x+y）－3 xy=()－3×1=11

（2）

yxyxy2xyx

+ ==xyxyxy

2

2

2

(7)22

1

2

1

12

3x22x5

8、已知x=2+，求的值。

2x7

分析：本题运用了降次收幂使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式x4x1转化为4x－1，这样进行低次幂运算就容易了。 解：由x=2+,得x－2=。(x-2)

2

2

2

=3整理得：x=4x－1。

2

所以：3x－2 x+5=3（4 x－1）－2 x+5=10（2+3）+2=22+103

22 x－7（2+）-7=23－3，所以原式=练习：

（一）构造完全平方 1

2210323

=42+

3

3

_____________．

(n2n1)

n(n1)

（拓展）计算

11111111

． 22222222

[1**********]004

2．化简：

y232y5y22y5．3．化简624．

4．化简：

236642

32

．5

6

7

（二）分母有理化 1．计算：

13122





1531322



1757

14334



1

474749

1

的值．

化简：

9999

解原式1

22991911 [**************]

2．分母有理化：

226

．3．计算：2．

1223（三）因式分解（约分） 1．化简：

． 2

2306433

4．化简：

557

．

3257



5．化简：

6

．

． 8

161

7

9、设x

，求x52x417x3x218x17的值。 16

解：∵x

1

∴x1∴x1∴x22x160

原式x52x416x3x32x216xx22x161 x52x416x3x32x216xx22x161 x3x22x16xx22x16x22x1611





难题解答：11、设ax3by3cz3，且ax2by2cz2abc，xyz0，求1a11b

解：设axbyczk，则axk∴同理可得：，

xkzkyk

3

3

3

3

111

的值。 xyz

∴

1111xyzk

ac



又∵3ax2by2cz23a33

1111∴3

xyzk∵

k3k3k3111

3 xyzxyz

111111

0，且xyz0∴1

xyzxyz

12、设x

n1nn1n

，y

n1nn1n

，且19x2123xy19y21985，试求整数n.

解：∵xy1，19x2123xy19y21985∴x2y298

∴xy100又∵x0，y0∴xy10

2

而x

n1n，yn1n ∴xy4n2 ∴4n2100，解得：n2

2

2

14、设x1

12



11

1

，求证：18x19. 12n

解：∵n1n同理可得：

1n

n1n

1n

2n1n



2nn1 ∴21n





1n

2n1



将n2，3，…，10代入上式，相加得：

11119，即18x19 又∵829 ∴181232211



12



1

1

21119



15、设a、b是实数，且a2ab2b1，试猜想a、b之间有怎样的关系？并加以推导。 解：两边同时乘以a2a，得b2ba2a① 两边同时乘以b2b，得：a2ab2b ② ①+②得：abab 故ab0





