1-4极限的运算法则

第一章

第四节

极限的运算法则

一、 无穷小运算的法则

定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .

0+0+

+0=0

x → x0 x → x0

证: 只考虑两个无穷小的和 . 设 lim α = 0 , lim β = 0 ,

∀ ε > 0 , ∃ δ 1 > 0 , 当 0

∃δ 2 > 0, 当 0

取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 0

α +β ≤ α + β

因此

x → x0

lim (α + β ) = 0 .

定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证: 设有 u = u( x ) , α = α ( x ) , 又设 lim α = 0 ,

并有 δ 1 , M > 0, 当 0

x → x0

则 ∀ ε > 0 ,∃δ 2 > 0 , 当0

取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 0

ε

M

uα = u α

故 lim u α = 0 ,

x → x0

ε

M

=ε

即 u α 是 x → x0 时的无穷小 .

推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .

0⋅ M = 0

例1. 求

sin x lim . x →∞ x

y

1

解: ∵ sin x ≤ 1

sin x y= x

1 lim = 0 x →∞ x sin x = 0. 利用定理 2 可知 lim x →∞ x sin x 说明 : y = 0 是 y = x

o

x

的水平渐近线 .

二、 极限的四则运算法则

定理 3 . (1) 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有

lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = A ± B

证: 因 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有 f ( x) = A + α , g ( x) = B + β (其中α , β 为无穷小) 于是

f ( x) ± g ( x) = ( A + α ) ± ( B + β ) = ( A ± B) + (α ± β )

由定理 1 可知 α ± β 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 .

推论: 若

则 A≥ B .

lim f ( x) = A , lim g ( x) = B, 且 f ( x) ≥ g ( x),

提示: 令 ϕ ( x ) = f ( x) − g ( x) 利用保号性定理证明 .

说明: 定理 3 (1)可推广到有限个函数相加、减的情形 .

定理 3 . (2) 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有

lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = AB

提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 3(2) 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论4 . lim[ C f ( x)] = C lim f ( x) 推论5 . lim[ f ( x)] = [ lim f ( x) ]

n n

( C 为常数 ) ( n 为正整数 )

例. 设 n 次多项式 Pn ( x) = a0 + a1 x + 试证: 证: lim Pn ( x) = a0 + a1 lim x +

x → x0 x → x0

+ an x n ,

lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).

= Pn ( x0 )

x → x0

an lim x n +

x → x0

定理 3 . (3) 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 且 B≠0 , 则有

f ( x) lim f ( x) A = lim = g ( x) lim g ( x) B

证:

1 1 只需证明 lim = , g( x) B

1 1 令γ = − g( x) B

B − g( x) 1 β . 则γ = = ⋅ . 其中 β = B− g( x) 是无穷小 B g( x) g( x) B

1 β 有界， 且 是无穷小. 因 lim g ( x ) = B ≠ 0， 则 g( x) B

1 1 1 1 = + γ , 则 lim = . 故 γ 是无穷小 . 因此 g( x) B g( x) B

极限运算的实质就是极限的分解

设 lim f1 ( x ) , lim f 2 ( x ) ,

, lim f n ( x ) 都存在.

c1 , c 2 ,

, c n 是 n 个常数 .

+ cn fn ( x ))

+ c n lim f n ( x ) .

则 lim(c1 f1 ( x ) + c 2 f 2 ( x ) +

= c1 lim f1 ( x ) + c 2 lim f 2 ( x ) +

x2 + x − 2 ( x + 2)( x − 1) x −1 = lim 例4. lim 2 = lim x → −2 x + 5 x + 6 x → −2 ( x + 2)( x + 3) x → −2 x + 3

0 型的不定式 0

−3 = 1

= −3

例.求

解:

lim

2x − 3 − 5x + 4

x→1 x 2

.

x → 1时， 分母 → 0 , 分子 → −1

x 2 − 5 x + 4 12 − 5 ⋅1 + 4 lim =0 = x→1 2x − 3 2 ⋅1 − 3

∴ lim

2x − 3 − 5x + 4

x→1 x 2

=∞

极限分解组合的前提： 分解后的各个极限都存 在，并且组合有意义。

sin x 1 lim = lim ⋅ lim sin x = 0 . x→∞ x →∞ x x →∞ x

4 x 2 − 3x + 9 . 例6.求 lim 2 x →∞ 5 x + 2 x − 1

解: x → ∞ 时, 分母 → ∞ , 分子 → ∞ . 分子分母同除以 x , 则 原式 = lim

2

2

4 −31 + 9 x 5+ 21 − x

x →∞

1 x2 1 x2

4 = 5

4x − 3x + 9 =0. 同理 lim 3 x →∞ 5 x + 2 x − 1

5x + 2x − 1 lim 2 =∞. x →∞ 4 x − 3 x + 9

3

一般有如下结果：

a0 x m + a1 x m −1 + lim x → ∞ b x n + b x n −1 + 0 1

+ am + bn ( a0b0 ≠ 0 , m , n 为非负常数 )

=

a0 , b0 0 ,

当n = m 当n > m 当n

∞,

x +1 −1 例. 求极限 lim x →0 x 0 解: “ ” 型的不定式 0 ( x + 1) − 1 = lim 原式＝lim x →0 x →0 x ( x + 1 + 1) 2 ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎟ 例. 求极限 lim⎜ x →1 x − 1 x −1⎠ ⎝

1 1 = x +1 +1 2

( x + 1) − 2 1 1 解:原式＝lim = = lim x →1 ( x + 1)( x − 1) x →1 x + 1 2

三、 复合函数的极限 极限的变量代换 定理4. 设在邻域 0

x → x0

lim φ ( x ) = a , 又 lim f ( u) = A , 则有

u→ a x → x0

lim f [φ ( x ) ] = lim f ( u) = A

u→ a

（证略 P20）

若 lim φ ( x ) = ∞，则 lim f [φ ( x ) ] = lim f ( u) = A

x → x0 x → x0 u→ ∞

x → x0

比较 Heine 定理 lim f ( x ) = A ⇔ ∀ { xn ≠ x0 } , 且 lim xn = x0 ， 都有 lim f ( xn ) = A .

n→ ∞ n→ ∞

x−3 例7.求 lim 2 . x →3 x − 9

x−3 , 已知 lim u = 1 u= 2 解: 令 x →3 x −9 6

1 ∴ 原式 = lim u = u→ 1 6 6

1

lim e

x →∞

x

2

u=

1 x2

lim e u = e 0 = 1

u→0

u→0

x →0

lim ln sin x +

u = sin x

lim ln u = −∞ . +

x −1 . 例 . 求 lim x →1 x − 1

解: 方法 1 令 u = x , 则 lim u = 1,

x →1

x −1 u −1 = u +1 = x −1 u −1

2

∴ 原式 = lim(u + 1) = 2

u →1

方法 2

x −1 ( x − 1)( x + 1) lim = lim = lim( x + 1) x →1 x − 1 x →1 x →1 x −1

=2

内容小结

极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 极限的变量代换 注意使用条件

思考及练习

1. 若 lim f ( x) 存在 , lim g ( x) 不存在 , 问

lim[ f ( x) + g ( x)] 是否存在 ? 为什么 ?

答: 不存在 . 否则由 g ( x) = [ f ( x) + g ( x)] − f ( x) 利用极限四则运算法则可知 lim g ( x) 存在 , 与已知条件 矛盾.

⎡ 1 + 2 + 3 + 2. lim 2 n

→∞ ⎢ n ⎣ n2 n2

n ⎤ + 2 =? ⎦ n ⎥

n (n + 1) 1 1 1 解: 原式 = lim = lim (1 + ) = 2 n →∞ 2n n →∞ 2 2 n

lim x ( x 2 + 1 − x) . 3. 求

x → +∞

解法 1 原式 = lim

x x2 + 1 + x

x→ +∞

= lim

x→ +∞

1 1 = 1 2 1+ 2 + 1 x

解法 2

1 t → 0+ 令t= , 则 x

1 1 1 1+ t 2 −1 原式 = lim+ [ 2 + 1 − ] = lim+ t→0 t t→0 t t t2 1 1 = lim = 2 2 t → 0+ 1 + t + 1

4. 试确定常数 a 使

1 解: 令t= ,则 x

x →∞

lim ( 1 − x − a x) = 0 .

3 3

3 3 1 a t −1 − a 0 = lim [ 3 1 − 3 − ] = lim t→0 t t→0 t t

∴ lim [ 3 t 3 − 1 − a ] = 0

t→0

故 因此

−1− a = 0 a = −1

f ( x) − 2 x 3 = 2, 备用题 设 f (x) 是多项式 , 且 lim 2 x →∞ x f ( x) lim = 3 , 求 f ( x) . x→ 0 x

解: 利用前一极限式可令

f ( x) = 2 x + 2 x + a x + b

3 2

再利用后一极限式 , 得

f ( x) b 3 = lim = lim (a + ) x→ 0 x x→ 0 x

可见 故

a =3,b = 0 f ( x) = 2 x 3 + 2 x 2 + 3x