数学归纳法
数学归纳法
1.用数学归纳法证明1
*,n>1)时,在证明过程的第二步
从n =k 到n =k +1时,左边增加的项数是 ( )
A .2 k
B .2-1 C .2k -1 k D .2+1 k 2.
则可归纳出式子
( )
3.用数学归纳法证明“
证明中的起始值n 0应取( ) ”对于n ≥n 0的正整数均成立”时,第一步
A. 1
B. 3 C. 6
D. 10
4
n >1) 时,第一步
应证明下述哪个不等式成立( )
A .1
A. 1 B. 1+a C. 1+a +a D. 1+a +a +a
1+a +a + +a 2n +1223=1-a n +2
6.在用数学归纳法证明
n =1时,等式左边为( ) 1-
a (a ≠1, n ∈N ) *时,在验证当
A. 1 B. 1+a C. 1+a +a D. 1+a +a +a
22237.用数学归纳法证明1+2+3+ +n =
上增加 ( )
A .k 2+1
B .(k+1)2 ,则当n=k+1时左端应在n=k的基础
C .
222 2
D .(k +1)+(k +2)+(k +3)+„+(k+1)8时相比,左边应添加( )
n=k+1与n=k
9
A .增加了1B .增加了2C D
10. 用数学归纳法证明:从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是( )
A. 2k B.2k -1 C.2k -1 D.2k +1
当n =k 时成立,则当
A .1 B.2 C .k D.2k
12由n =k 到n =k +1时,不等式的左边( )
A. B. C.
D.
13
不等式( )
A
(n ∈N +, n >1)时,第一步应验证
C D
列式
„ „ , 子
15.用数学归纳法证明“2
n >n 2+1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时,第一步证明
中的起始值n 0应取_____________.
16.(本小题满分10n 为正整数. (1)求f (1) ,f
(2) ,f (3) 的值;
(2)猜想满足不等式f (n )
17.(本小题满分12分)
归纳法证明:数列{
a n }
18.(12分)数列{a n }n (1)写出a 2, a 3, a 4;(2)猜出a n 的表达式,并用数学归纳法证明
19.
(本小题满分10分)已知数列{a n }中,a 1=1, a n +
1=2a n +1,
(Ⅰ)求a 2, a 3, a 4, a 5;(Ⅱ)猜想a n 的表达式,并用数学归纳法加以证明.
20
21.在数列{a
n }
(1)写出a 1, a 2, a 3;(2)求数列{a n }的通项公式
22.数列{a n }中,
a n >2(n ∈N ) *,用数学归纳法证明:
23.在数列{a n }{a n }{a n }的通项公式 S n 24.已知数列是正数组成的数列,其前n 项和为
与2的等比中项。
并由此猜想{a n }a ,对于一切n ∈N 均有n 与*2的等差中项等于(1)计算S n a 1, a 2, a 3, 的通项公式a n ;
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想。
25.(本小题满分12分)
已知数列{a n }满足a 1=2,且a n a n +1+a n +1-2a n =0(n ∈N +)。
求a 2、a 3、a 4的值;
猜想数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法加以证明。
26.已知正数数列{a n }(n ∈N ) 中,前n 项和为
S n ,且2S n =a n +*1
a n ,
用数学归纳法证明:a n =
27 n 都成立,求正整数a 的最大
值,并证明结论.
28.数列{an }满足S n =2n-an (n∈N *).
(1)计算a 1,a 2,a 3,a 4, 并由此猜想通项公式a n ;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
29.已知数列{an }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =na n (n ∈N ).
(1)试求出S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式;
(2)证明你的猜想,并求出a n 的表达式.
30.已知等差数列{an }的公差d 大于0,且a 2
,a 5是方程x 2-12x+27=0的两根,数列{bn }的前n 项和为T n ,且T n 2*(1)求数列{an }、{bn }的通项公式;
(2)设数列{an }的前n 项和为S n
S n+1的大小,并说明理由.
31.已知数列{a n }满足a 1=1,且5a n +1-2a n a n +1+3a n =8(m ∈N *) 。 (Ⅰ)求a 2,a 3,a 4的值; (Ⅱ)猜想{a n }的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想。
32.. 数列{a
n }
(1
{b n }是等差数列;(2)求数列{b n }、{a n }的通项公式;
(3)设c n =a n ⋅a n +1,S n 为数列{c n }的前n 项和,证明S n
33.已知C 为正实数, 数列{a n }由a
1=1. (Ⅰ) 对于一切的n ∈N *,
(Ⅱ) 若a
证明:S n
34.(本小题满分12分) 数列{a
n } , 且S n =|a 1-a |+|a 2-a |+ +|a n -a |, (1)写出a 2, a 3, a 4, a 5, 并猜想a n 的表达式
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
35.(本题满分12分)在各项为正的数列
{a n }中,数列的前n 项和S n 满足
(1)求a 1, a 2, a 3;(2) 由(1)猜想数列{a n }的通项公式;S (3) 求n
36.(本小题满分16分)
已知数列{an }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =n2a n (n ∈N *).
(1)试求出S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式;
(2)用数学纳法证明你的猜想,并求出a n 的表达式.
37.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a n 3a n +1,n =1, 2, 3, 。
(Ⅰ)计算a 2,a 3,a 4的值;
(Ⅱ)猜想数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
38.数列{a
n }(1)计算s 1, s 2, s 3, s 4; (2)猜想s n 的表达式并用数学归纳法证明。
39.(本小题满分10分)已知数列
{a n }中,a 1=0n 项和s
n n ∈N +).
(1)计算a 2,a 3,a 4;
(2)猜想数列{a n }的通项公式并用数学归纳法证明.
40.已知数列
{ a n}的各项都是正数,且满足:a 0=1,a n+1证明:a n <a n+1<2(n ∈N ).
n -1-2a n -1(n ∈N +) 设a 0为常数,且a n =3n ·(4-a n )(n ∈N ). 41.证明对任意n ≥1, a n =15[3+(-1) n n -1⋅2]+(-1) ⋅2a 0; n n n
42.假设对任意n ≥1有a n >a n -1,求a
0的取值范围.
43.(本小题满分14分)
已知函数2-ax + (a-1) ln x ,a >1. (I )讨论函数f (x ) 的单调性;
(II )若a =2,数列{a n }满足a n +1=f (a n ) .
若首项a 1=10,证明数列{a n }为递增数列;
若首项为正整数,数列{a n }递增,求首项的最小值.
44.(本小题满分14分)已知数列{a
n }的前n 项和S n 与a n 满足
b 是与n 无关的常数,且b ≠-1.
(1)求a 1, a 2;
(2)求a n 和a n -1的关系式;
(3)猜想用n 和b 表示a n 的表达式(须化简),并证明之。
,数列{a n }满足:
(1)用数学归纳法证明:0
(2
(3)设T n 是数列{an }的前n 项和,试判断T n 与n-3的大小,并说明理由。
46.(1)当n =1,2,3时,等式1⨯2+2⨯3+3⨯4+ +n (n +1) =3n -3n +2
是否成立?n =4呢?
(2)假设n =k 时,等式1
1⨯2+1
2⨯3+1
3⨯4+ +1
n (n +1) =n
n +1+2成立. 2
能否推得n =k +1时,等式也成立?n =1,n =2时等式成立吗?
参考答案
1.A
【解析】
试题分析:n=k时,观察不等式中左端分母依次为1,2,3„„,2k -1,n =k +1时,分母依次为1,2,3,4,„„,2k +1-1。所以增加项的分母依次为2k , 2k +1, 2k +2, „„,2k +1-1共有2个,故选A 。
考点:本题主要考查数学归纳法的概念。
点评:简单题,注意观察式子的结构特点,明确和式中项数。
2.C
【解析】
C 正确. k
考点:本小题主要考查归纳推理的应用,考查学生归纳推理的能力.
点评:解决此类问题,关键是找清楚它们的递推关系.
3.C
【解析】经检验当n>5时
,
4.C
【解析】第一步应验证当n=2时,
5.C
成立. 所以验证n 的超始值为6. . 2n =11+a +a 证成立时, 左边所得的项为选C 在验6.C
【解析】解:用数学归纳法证明:“1+a+a2+„+an+1=1-an+2 ÷(1-a )(a ≠1)”时, 在验证n=1时,把当n=1代入,
左端=1+a+a2.
故答案为:1+a+a2,选C
7.D
【解析】解:当n=k时,等式左端=1+2++k2,
当n=k+1时,等式左端=1+2++k+(k +1)+(k +2)+(k +3)+„+(k+1),增加了2k+1项. 故选D .
8.C
【解析】解:
与n=k22222则n=k+1
9.C
【解析】解:因为当n=k
当n=k+1
可见左边的变化为选C
10.A
由n=k, n=k+1,2k ,选A .
11.D
【解析】解:n=k时,不等式的左边等于 1+1 /2 +1 /3 +1 /4 +„+1 /(2k -1) ,且 k∈N+, 当n=k+1时,不等式的左边等于 1+1 /2 +1/ 3 +1/ 4 +„+1 /2k -1 +(1 /2k +1 /(2k +1) +1/ (2k +2) +„+1 /(2k +2k -1 )),
当n=k+1时,不等式的左边比n=k时增加的向为1 /2 +1 /(2+1) +1/ (2 +2) +„+1 /(2 +2k -1 ) ,共增加了 2k 项.
故选D .
12.C
【解析】解:
n=k时,左边
k k k k 故选C
13.B
【解析】数学归纳法中,一般情况下第一步验证n =1时的情况。因为本题中要求n >1,所
2以第一步验证n =2
的情况,而2-1=3,所以此时验证不等式1+1
2+1
3
14.∈N *)
2【解析】根据前几项的特点得第n 个式子的左边有n +2项,分母从1到(n +1) ,
右边的分母是n +1, 分子是2(n +1) -1=2n +1.
15.5
【解析】由于n =1时,2=n +1;n=2时,2
n 2n 2n 2时,2n +1. 所以当n ≥5时,2>n +1成立 n 2n 2n 2
16
【解析】(
(2
„„„„„„3分
„„„„„„4分 „„„„„„5分
②假设当n =k (n ≥3, n ∈N *)
„„„„„„8分
17.解:1° 当n =1
„„„„„„10
分
„„„„„„„„2分
2° 假设当n =k
„„„„„„„„4分
当n =k +1
„„„„„„„„6分
„„„„„„„„10分
即当n =k +1时结论也正确,
根据1°与2°知,对所有的n ∈N *,数列{a
n }12分
【解析】略
18.1/12,1/20,1/30;1/(n+2)(n+1) 【解析】
②假设当n=k
则当n=k+1
∴当n=k+1时结论成立.
由①②可知,对一切n ∈N +
.
19.
【解析】 20.证明略
【解析】(1)当n=1时,左端=1 ,右端
=右端,等式成立;
(2)假设n=k时,等式成立,
即,
则
所以,当n=k+1时,等式仍然成立 由(1)(2)可知,对于∀n ∈N 等式依然成立. 21.(1
*
2
下面用数学归纳法证明:(1)当n=1
时,由上面的探求可知猜想成立 (2)假设n=k
所以当n=k+1时,猜想也成立 综合(1)(2),对n ∈N 猜想都成立 22.证明略
【解析】(1) 当n=1时, 不等式成立
*
(2)假设当n=k时等式成立,即a k >2(k ∈N ) , *
∴a k +1>2
∴当n=k+1时, 不等式也成立 综合(1)(2),不等式对所有正整数都成立
23
【解析】点拨:本题有多种求法,“归纳——猜想——证明”是其中之一
下面用数学归纳法证明:(1)当n=1
(2)假设当n=k当n=k+1时猜想也成立
综合(1)(2)
,对n ∈N 猜想都成立
*
24.解:(1
由此猜想
{a n }
a 1=2, a 2=6, a 3=10
,┈5分
的通项公式
a n =4n -2(n ∈N +)
。 ┈┈┈7分
(2)证明:①当n =1时,a 1=2,等式成立; ┈┈┈9分
a =4k -2 ②假设当n =
k 时,等式成立,即k , ┈┈┈11分 ∴当n =k +1时,等式也成立。 ┈┈┈13分
由①②可得
a n =4n -2(n ∈N +)
成立。
┈┈┈15分
【解析】略 25.(1
(2)n
∈N +
【解析】解:(1a 1=2,
3分
(2
„„„„„„„„„„„„„5分
证明:①当n
=1
②假设当n =
k 7分
则当n
=k +1故命题也成立。11分
综上,对一切n
∈N +
26.同解析
【解析】(1)当n =1时.
a 1=S 1=
12(a 1+
1a 1
„„„„„„„„„„„„„12分
2
) ,∴a 1=1(a n >0) ,∴a 1=
1-
=1,
∴n =1时,结论成立.
*
(2)假设n =k 时,(n ∈
N ) ,结论成立,即a k =
12
1a k
) ,
当n =k +1时,a k +1=S k +1-S k =
12
(a k +1+
1a k +1
) -
(a k +
=
12
(a k +1+
1a k +1
) -
12
=
12
(a k +1+
1a k +1
) -
∴a k +1+k +1-1=
0,解得a k +1=∴n =k +1时,结论成立,
由(1)(2)可知, 对n ∈
N 都有a n =27.a 的最大值等于25 【解析】当n =
1所以a
*
2
(a n >0) ,
而a 是正整数,所以取a =
25(1)当n =1时,已证;
(2)假设当n =
k
所以a 的最大值等于25.
28.(1)a 1=1,a 2a 3a 4
a n
∈N *) (2)证明略
【解析】(1)解 当n=1时,a 1=S1=2-a1, ∴a 1=1. 当n=2时,a 1
+a2=S2=2×2-a 2, ∴a 2当n=3时,a 1+a2+a3=S3=2×3-a 3, ∴a 3
当n=4时,a 1+a
2+a3+a4=S4=2×4-a 4, ∴a
4由此猜想a n ∈N *).
(2)证明 ①当n=1时,a 1=1,结论成立. ②假设n=k(k≥1且k ∈N *) 时, 结论成立,即a k 那么n=k+1时,
a k+1=Sk+1-S k =2(k+1)-ak+1-2k+ak =2+ak -a k+1. ∴2a k+1=2+ak , ∴a k+1这表明n=k+1时,结论成立,
由①②知猜想a n
n ∈N *
)成立.
29.(1)S n
n ∈N *)(2)a n
【解析】(1)解 ∵a n =S
-S (n ≥2) ∴S n =n2
(S n -S n-1),∴S n 2
)
n-1(n ≥∵a 1
=1,∴S 1=a1=1. ∴
S 2S 3
S 4
猜想S n n ∈N *
).
(2
)证明 ①当n=1时,S 1=1成立.
②假设n=k(k ≥1,k ∈N *)时,等式成立,即S k
当n=k+1时,
S k+1=(k+1)2·a
k+1=ak+1+Sk =ak+1
∴a k+1
∴S k+1=
(k+1)2·a k+1
∴n=k+1时等式也成立,得证.
∴根据①、②可知,对于任意n ∈
N *,等式均成立. 又∵a k+1a
n
30.(1)a n =2n-1,b n 2)n ≥4S n+1.
【解析】1)由已知得⎨
⎧a 2+a 5=12,
⎩a
2a 5=27
又∵{an }的公差大于0,∴
a 5>a 2, ∴a 2=3,a5=9. ∴
,a 1=1.∴a n
=2n-1.
∵T n
n ,∴b 1
当n ≥2时,T
n-1n-1,
∴b
n =Tn -T n-1n
n-1),
化简,得b n n-1,
∴{bn }
2分
即b n
4分 5分
∴a n =2n-1,b n
(2)∵S n
2
2,
∴S n+1=(n+1) 6分
S n+1的大小:
当n=1
当n=2
当n=3
当n=4
S 2=4
S 2,
3=9,
S 3,
4=16,
5=25,
S n+1.
S 4, S 5.
8分
猜想:n ≥4
下面用数学归纳法证明: ①当n=4时,已证.
②假设当n=k (k∈N *,k ≥4)
那么n=k+1时,
S k+1,
(k+1)2.
3(k+1)2=3k2+6k+3
=(k+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2 =S(k+1)+1, ∴n=k+1
S n+1也成立.
11分
14分
由①②可知n ∈N *,n ≥4
综上所述,当n=1,2,3
当n ≥4
S n+1都成立.
S n+1,
S n+1.
16分
31.
n ∈N ), 证明见解析
*
【解析】本试题主要是考查了数列的递推关系式的运用根据赋值的思想得到数列的前几项的值,然后归纳猜想数列的通项公式,然后运用数学归纳法证明即可。 关键是证明中假设的运用,是解决的关键所在。 解:(Ⅰ)由题意知
5a 2-2a 1a 2+3a 1=8
将a 1=1代入解得
分
分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想
n ∈N *) 4分
证明:(1)当n =1时, 左边=a 1
(2)假设当n =k (k ∈N *)时猜想成立, 分
那么,由5a k +1-2a k a k +1+3a k =8
分
根据(1
)和(2),可知猜想对任意n ∈N 都成立 7分 32. (1)
(2); (3)证明:见解析。
见解析;
*
【解析】(1)
从而证明{b n }是等差数列.
(2)在(1)的基础上,可先求出{b n }{a n }的通项公式.
(3
然后再考虑数学归纳法进行证明即可.
n =1时, S 1=5, 不等式的左
边=7,不等式成立 当n ≥2
如下用数学归纳法给予证明: ①当n =2时∴n =2时, 不等式成立;
即ln(1-x )
又f (x ) 在[0,1)上连续, ∴f (x )
综上所述, S n
33. (Ⅰ) 用数学归纳法证明:见解析;. (Ⅱ) 见解析。
【解析】(I)用数学归纳法证明:第一步:先验证:当n=1时,不等式成立;
第二步:先假设n=k时,结论成立,再证明当n=k+1时,不等式也成立. 在证明时,一定要用上n=k时的归纳假设. (II)
解
决
本
小题的关键是根据
从而可得|a n -a |≤a n -1|a 1-a |.
(Ⅰ) 用数学归纳法证明:当n =1时
假设n =k 时结论成立
, 即
∴n =k +1时结论也成立, 综上, 对一切的n ∈N *
.
(Ⅱ
∴|a n -a |≤a n -1|a 1-a |. 当a ≥1时, 故0
S n =|a 1-a |+|a 2-a |+ +|a n -a |≤|a 1
-a |+
a |a 1-a |+ +a
n -1
|a 1-a |a
n
(2)证明:见解析。
【解析】本试题主要是考查了数列的递推关系式的运用,以及归纳猜想思想的运用,并运用数学归纳法加以证明的综合运用。首先先分析前几项,然后发现规律得到通项公式,分两步
进行证明。
„„„„„„„. (4分)
6分)
(2)证明:i )当m =
1ii) 假设当n =k 时,猜想成立,即
. (8分)
那么,当n =k +1时,
这说明当n =k +1时,猜想也成立. 由i ),ii)
35.(1
. (12分)
(2
(3
【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式和前n 项和的关系的运用。
(1)因为对于n 令值可知,首项的值以及第n 项与前n 项和之间的关系式得到结论。 (2)进而归纳猜想结论,并运用数学归纳法加以证明,注意n=k,n=k+1的式子的变化以及假设的运用。
36.(1)S 1=a1=1.S2
S 3
S 4
S n
*
n ∈N ).
(2)见解析
【解析】本题主要考查了数列的递推式.数列的递推式是高考中常考的题型,涉及数列的通项公式,求和问题,数列与不等式的综合等问题.
(1)先根据数列的前n 项的和求得S 1,S 2,S 3,S 4,可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn .
(2)利用a n =Sn -S n-1,整理出an 的递推式,进而用叠乘法求得a n . (1)解 ∵a n =Sn -S n-1(n ≥2) ∴S n =n(S n -S n-1),∴S n
∵a 1=1,∴S 1=a1=1.
∴S 2
S 3
S 4
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
2
n-1(n ≥2)
猜想S n
n ∈N *). ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
(2)证明 ①当n=1时,S 1=1成立.
②假设n=k(k ≥1,k ∈N *)时,等式成立,即S k
当n=k+1时,
S k+1=(k+1)2·a k+1=ak+1+Sk =ak+1
∴a k+1
∴S k+1=(k+1)2·a k+1
∴n=k+1时等式也成立,得证.
∴根据①、②可知,对于任意n ∈N ,等式均成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 又∵a k+1
*
a n
┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分
17, a 4=13n -2
110
37.(Ⅰ)解:由题意,得a 2=
14
, a 3=
,
3分 5分
(Ⅱ)解:由a 1, a 2, a 3, a 4,猜想a n =
13n -2
1
以下用数学归纳法证明:对任何的n ∈N *, a n =证明:①当n =1时,由已知,左边=1,右边②假设当n =k (k ∈N *) 时,a k =
a k 3a k +1
13k -2
。
=1,等式成立。7分
3⨯1-2
成立,
1
则n =k +1时,a k +1=
=3⨯
3k -213k -2
=+1
13k +1
=
13(3k +1) -2
,
所以当n =k +1时,猜想也成立。 12分
13分
根据①和②,可知猜想对于任何n ∈N *都成立。
【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和数学归纳法证明的运用。
(1)利用一种的递推关系可知得到前几项,然后归纳猜想其通项公式。
(2)运用数学归纳法证明的时候注意n=k和n=k+1之间的变换,以及假设的运用。
38.
见解析
以及数学归纳法证明关于自然数的等式问题。
(1)因为数列{a
n }其前n 项和s
n ,
对n 令值得到前几项,然后猜想得到通项公式。
(2)根据猜想,运用数学归纳法来证明其正确性,注意推理中要用到假设。
4分
39.(1
2
【解析】本试题主要是考查了数列的归纳猜想的数学思想的运用,以及运用数学归纳法来给名通项公式加以证明的完全归纳法思想的运用。注意证明过程中必须要用到假设。 解:(1
(2证明:略(见课本P17).
40. 证明略
【解析】
证明 方法一
用数学归纳法证明: (1)当n=0时,a 0=1,a 10(4-a0所以a 0<a 1<2, 命题正确
.
(2)假设n=k时命题成立,即a k-1<
a k <2. 则当n=k+1时,a k -a k+1
k-1(4-ak-1
k (4-ak ) =2(ak-1-a k k-1-a k )(ak-1+ak ) (ak-1-a k )(4-ak-1-a k ).
而
a k-1-a k <0,4-a k -1-a
k >0, 所以a k -a k+1<0. 又a k+1k (4-ak 4-(a k -2)2]<2. 所以n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知,对一切n ∈
N 时有a n <a n+1<2.
方法二 用数学归纳法证明: (1)当n=0时,a 0=1,a10(4-a0)=
所以0<a 0<a 1<2;
(2)假设n=k时有a k-1<a k <2成立, 令
f(x)=
在[0,2]上单调递增, 所以由假设有:f (a k-1)<f(ak ) <f(2),
k-1(4-a k-1
k (4-a k
2×(4-2), 也即当n=k+1时,a k <a k+1<2成立. 所以对一切n ∈N ,有a k <a k+1<2.
41.证法一:(ⅰ)当n =1时,由已知a 1=1-2a 0,等式成立. (ⅱ)假设当n =k (k ≥1) 等式成立,即a k =那么a k +1=3-2a k =3-
=15[3
k +1
k
k
15
[3+(-1)
k
k +1
k k -1
2+(-1) a a 0].
k k k
25
[3+(-1) a 0].
k k -1
2]-(-1) 2
k
a .
+(-1) 2
k k +1
+(-1)
k +1
也就是说,当n =k +1时,等式也成立. 根据(ⅰ)和(ⅱ)可知 42.由a n 通项公式
2⨯3
n -1
a n -a n -1=
+(-1)
5
n -1
3⨯2
n -1
+(-1) 3⨯2
n n -1
a 0.
∴a n >a n -1(n ∈N +) ①
(ⅰ)当n =2k -1, k =1, 2, 时,①式即为(-1) 即为a 0
132k -31() +. ② 525
1
2k -2
32k -3
(5a 0-1)
2
②式对k =1, 2, 都成立,有a 0
3-111⨯() +=. 5253
2k -1
(ⅱ)当n =2k , K =1, 2, 时,(-1) 即为a 0>-
1
32k -2
(5a 0-1)
2
32k -21⨯() +. ③ 525
1
32⨯1-21
⨯() +=0. 525
1
综上,①式对任意n ∈N +成立,有0
3
③式对k =1, 2, 都成立,有a 0>-
故a 0的取值范围为(0, )
3
1
【解析】同答案
43.解(I )可知f (x ) 的定义域为(0,+∞) ,且
当a -1=1即a =2,
得f (x ) 在(0,+∞) 单调增加.————1分
/
当a -11, 即1
x ∈(1,+∞) ,则f /(x ) >0.
此时f (x ) 在(a -1,1) 单调减少,在(0,a -1), (1,+∞) 单调增加; ————3分 当a -1>1, 即a >2, 可得f (x ) 在(1,a -1) 单调减少,在(0,1),(a -1, +∞) 单调增加. 综上,当12时,函数f (x ) 在区间
(1,a -1) 上单调递减,在区间(0,1)和(a -1, +∞) 上单调递增. ——————6分
2
(II )若a =2,则f (x
) -2x +ln x ,由(I )知函数f (x ) 在区间(0,+∞) 上单调递增.
(1)因为假设得
a 1=10
,所以
a 2=f (a 1) =f (10)=30+ln 10
,可知
a 2>a 1
.
0
f (a k +1) >f (a k )
,因为函数f (x ) 在区间(0,+∞) 上单调递增,所以,即
a k +2>a k +1>0
.
所以,由数学归纳法可得
a n
.因此数列
,数列
{a n }
为递增数列.—————9分 为递增数列.
(2)由(1)知:当且仅当
0
-2 a1 +2
ln a 1
> a1,且a1为正整数.
-2 a1 +
2
ln a 1
> a1
g (x ) 在区间[3, +∞) 递
增.由
于
,
g (2)=2-6+ln 2=ln 2-4
,
,
g (6)=ln 6>0
【解析】略 【答案】
.所以,首项
a 1
的最小值为6. ————————14分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得:a 1=
b (1+b )
2
2
;a 2=
b +b
23
(1+b )
2
;
由③得:a 3=
⋅+=34
1+b (1+b ) (1+b )
2
n
b b +b b b +b +b (1+b )
4
3
;
猜想a n =
b +b + +b
(1+b )
n +1
④ „„„„„8分
下面用数学归纳法证明猜想④成立. (i )当n =1时,a 1=
b (1+b )
2
,所以当n =1时,④式成立;
(ii )假设n =k 时,④式成立,即a k =
b +b + +b
(1+b )
k +1
2k
,
当n =k +1时,由③得
a k +1=
b 1+b
a k +
b (1+b )
k +2
=
b 1+b
⋅
b +b + +b
(1+b )
k +1
2k
+
b (1+b )
k +2
=
b +b + +b (1+b )
(k +1) +1
2k +1
所以,当n =k +1时,④式也成立. „„„„„„„„„„„„12分 由(i )(ii )可知,对一切自然数n ,④式都成立,即通项为:
n ⎧
n +1⎪⎪2
=⎨n +1
b -b ⎪n +1⎪⎩(1-b )(1+b )
(b =1)
a n =
b +b + +b
(1+b )
n +1
2n
. „„„„„„„„„14分
(b ≠1)
【解析】略
45.(1)证明见解析。
(2)证明见解析。 (3)T n >n -3
(1)用数学归纳法证明:
于上当n=k+1时,结论仍成立,根据(i )(ii )知(1)成立 …………4分
…………8分
46.成立,证明见答案
2,3时,等式成立.当n =4时,左边=40,右边=38,左边≠右边,【解析】(1)当n =1,
等式不成立.
(2)假设n =k 时等式成立,即有
11⨯2
11⨯2=
k k +1
2
+
12⨯3
12⨯3
+
13⨯4
+ +
1
1k (k +1)
+
=
1
k k +1
+2,而
++ +
k (k +1) 1
(k +1)(k +2)
+2+
==
(k +1)(k +2) +2=
k +1k +2
+2
k +2k +1(k +1)(k +2) k +1(k +1) +1
+2.
∴n =k +1时等式成立.
但n =1时,
11⨯2
≠
12
+2;
n =2时,
11⨯2
+
12⨯3
≠
23
+2.
故n =1,2时等式均不成立.