线性方程组复习
线性方程组
1、消元法求解线性方程组 例1.解线性方程组
解:将方程组的增广矩阵
通过矩阵的初等变换,化为行简化的阶梯形矩阵
由最后的矩阵写出原方程组的同解方程组(本题即为方程组的唯一解)
,
,
,
注释:消元法是解线性方程组最有效最基本的方法,通过该例题我们得到: 求解线性方程组的一般步骤是:
第一步,首先将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵;
第二步,根据阶梯形矩阵判断是否有解(
是否等于
);
第三步,有解时,继续对阶梯形矩阵利用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵;
第四步,由行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。 2、求齐次线性方程组的基础解系的简便方法 例2.求下列齐次线性方程组的基础解系
(1)
解(1)将其系数矩阵
(2)
用初等行变换化为行简化矩阵
最后一矩阵的第1、3、4列构成了3阶单位矩阵,所以含
个解向量。
,从而该方程组的基础解系
解法1 将上面最后一个矩阵的2、5列反号,依次得基础解系的两个解向量3、4三个坐标,而
的另两个坐标依次取2阶单位矩阵的两列,即基础解系为
的第1、
,
解法2 由上面最后一个矩阵得(1)的同解方程组
令
,得
(为自由未知量)
即
所以基础解系为
,
(2)将其系数矩阵
用初等行变换化为行简化矩阵
(为任意常数)
由此得向量
,且
,而最后一矩阵的前2列2行构成一2阶单位矩阵,所以基础解系含两个解
的前两个分量分别为上面最后一矩阵3、4列前两个坐标的相反数,而
它们的后两个分量分别为2阶单位矩阵的两列,即
,
另从最后一个矩阵得与原方程组同解的方程组
(
令
,得原方程组的通解为
为自由未知量)
即
数)
(为任意常
所以基础解系为
,
注1:方法1直接从行简化矩阵找基础解系,若要求通解,只需作基础解系的任意线性组合即得。方法2是先得到通解,再得到基础解系,所以基础解系与通解同时给出。
注2: 前面我们给出的是基础解系的简便求法,而基础解系不是唯一的,只要个解向量线性无关即可为基础解系。所以有时为了避免解向量的分量为分数我们可灵活选取,比如上面例2在(2)题法2中可令
.
例3.设
为
为
矩阵,且
,则
有非零解。
,故
,于是
,则得基础解系为
,
证法一
因矩阵,知未知量的个数为,
由非零解。 证法二 本题
是含
个方程,个未知量的齐次线性方程组,因
,即方
程的个数小于未知量的个数,故有非零解。
证法三 由于
,说明
的个列向量线性相关,故必有非零解。
注释: 当齐次线性方程组方程的个数小于未知量的个数时,必有无穷多解。 例4.设零多项式。 证:设
的
个互不相同的根分别为
,则
,证明若
有
个互不相同的根,则
为
是关于
列式为
个未知量,
阶范德蒙行列式,由于
个方程的齐次线性方程组,其系数矩阵
互不相同,知,所以
的行
,从而上齐次线
性方程组只有零解,即
3、齐次线性方程组
为零多项式。
例5.设齐次线性方程组
,试求解
:由
,所以
及
的值。 知矩阵
的系数矩阵为,若3阶非零矩阵
满足
的各个列向量均为齐次线性方程组
有非零解,故
的解向量,而
,又
至少有一个列向量为非零向量,从而
所以
由
.
均为3阶方阵,且
,得
有非零解,从而知判
断
,显然不对,故可知
,事实上
若
.
,
,
.
,要求系
,所以
的各列均为.
,
则
可逆。于是
由
的解,而
为非零矩阵,所以注释:我们可
由
得
例6.求作一齐次线性方程组,使它的基础解系为分析:由于已知的是齐次线性方程组的基础解系,即已知
数矩阵,我们可通过对前式转置构造一个以
。
为系数矩阵的齐次线性方程组,且为
其解向量来求
解:设所求的齐次线性方程组为
,
, 从而
,由题设
所以有, 即
的转置矩阵
的各个列向量,即
的各个行向
于是所求齐次线性方程组的系数矩阵
量为的解。由
所以由于
的基础解系为,
,从而可取
为四元线性方程组且基础解系含有两个解向量,所以
使齐次线性方程组
满足题设要求。
成立时,应立即想到
的每个列向量均为
注释:由上面两题我们看出当有结论齐次线性方程组
例7.
设
的解。这是证明题中常用的方法。
是齐次线性方程组的基础解系,向量
组
满足
(),如果矩阵的行列式,则也为
该齐次线性方程组的基础解系。
证:由且
()知()为该方程的个解向量,
而
,所以
可逆,于是
所以向量组
也是
的线性组合,从而向量组与
为基础解系,故
等价,又两个向量组均含有
个向量,且也为该齐次线性方程组的一个基础解系。
注释:证明个未知量的齐次线性方程组以下两种:
①证该组向量线性无关,且含有
②证明该向量组与的例8.已知线性方程组
的一组解向量为其基础解系的方法有
个解向量;
一基础解系等价,且所含向量个数相等。
(I)
的一个基础解系为
下列线性方程组
,
,…,
,写出
(II)
的通解,并说明理由。
分析:要求(II)的通解,关键要找到一个基础解系,根据(II)的系数矩阵的各行均为(I)的解,找(I)、(II)解之间的联系。
解:设(I)、(II)的系数矩阵分别为就是
的
个行向量,于是有
的解向量,即
量,所以故
,则由题设知(I)的基础解系的个解向量
,这说明
的各个列向量均为
,转置得
的个行向量均为的解向量。而(I)的基础解系含个向
个向量,而
,
的个行
,于是(II)的基础解系应含
的个行向量线性无关,所以的行向量恰为(II)的一个基础解系。若设
向量为,则(II)的通解为
(
为任意常数) 矩阵,
为
中划去第列的
例9.设齐次线性方程组中为
阶子式,证明:如果
基础解系。
分析:由于基础解系,只需证
为
,则是该方程组的一个
,所以的非零解。
的基础解系仅含1个向量,要证为的
证明:作行列式
由于
的一、二行相同,所以
,又将
按第一行展开得
即
为方程组中第一个方程的解。 而由行列式性质零,即
(
于是可知
又因秩
,所以
是方程组的解向量。
至少有一个
阶子式非零,而
的
阶子式只有是方程组的非)
中其它任一行的元素与第一行对应元素的代数余子式的乘积之和为
,故必有一个不等于零,因而
零解向量,从而
为
的基础解系。
注释:由上面两个例子可知,要证一向量组为齐次线性方程组该向量组每一个向量均为组线性无关。即若
矩阵
的解;②该向量组所含向量的个数为的秩为,且
的解,只需证①
;③该向量
的任何
,则元齐次线性方程组的基础解系。这是常用的结论。
个线性无关的解都可以作为方程组
例10.设齐次线性方程组(I),由已知某齐次线性方程组(II)的通解为
,
(1)求(I)的基础解系; (2)问(I)、(II)是否有非零公共解?若有,求出所有非零公共解;若没有,说明理由。
解:(1) (I)的系数矩阵所以其基础解系为
,
,
(2)解法1 将(II)的通解代入方程组(I),得
解得
,当
时,此时(II)的解为
显然该解也满足(I),故(I)、(II)有公共解,且所有非零公共解为
(为任意非零常数)
解法2 由(1)已知方程组(I)的通解为由题设(II)的通解为
,令
即
,
(**)
而
所以(**)的解为因此,当
,
,
(
为任意常数)
时,对应的(I)或(II)的解就是方程组(I)、(II)的非零公共解,即所
有非零公共解为
(为任意非零常数)
注释:两个线性方程组(I)与(II)的公共解就是同时满足两个方程组的解。关于公共解,一般有以下三种求法:
(1)如果给出线性方程组(I)与(II)的一般式,则可以将它们联立求解;
(2)如果知道线性方程组(I)与(II)的通解,令其相等求得通解中参数所满足的关系来得到公共解(如本例(2)的解法2);
(3)如果知道线性方程组(I)的一般式,又知道线性方程组(II)的通解,将(II)的通解代入(I),确定通解中参数所满足的关系来得到公共解(如本例(2)的解法1)。
例11.设
为
矩阵,证明:
,而
要
同解。显然
的
证明:由于转置矩阵与原矩阵等秩,故只需证
明
,只需证明两个齐次线性方程组
解均是
的解,下证为
,即向量
由
的任意性知
故齐次线性方程
组
,于
是
。
4.非齐次线性方程组
的解也为的任一解,即
的长度的平方为零,所以的解均是
与
的解。
与的解。
,两端左乘
,于是
得
为
事实上,设
即的解。
同解,即它们有同一基础解系,设
为
,
,
即
例12.求方程组
解法1 用初等行变换将增广矩阵
的通解。 化为行简化的阶梯形
由于
,方程组有解,且上面矩阵
前两列构成2阶单位矩阵,所以特解
的前2个分量依次取矩
阵
的最后一列的两个分
量,其余分量取0,即
又对应的齐次线性方程组的基础解系为以所求方程组的通解为
解法2 由解法1中矩阵
(
,
,所
为任意常数)
得与原方程同解的方程组
于是有
令
(
,则所求通解为
为自由未知量)
(
将其写成向量形式:
为任意常数)
则
即为方程组的特解,
,
即为相应
齐次线性方程组的基础解系。
例13.求方程组
解法1 由于该方程组的增广矩阵成1
阶单位阵,所以特解
相应的齐次线性方程组的基础解系为
,
所求方程组的全部解为
(
为任意常数)
,…,
的第一个坐标为
的全部解。
,
而第一列构
的最后一个分量1,其余分量取零,即
解法2 将方程变形为分别令
,的方程组的全部解(通解)为
(
将其写成向量形式为
为任意常数)
(为任意常数)
则特解,相应的齐次线性方程组的基础解系为
,,…,
注释1:在非齐次线性方程组的通解中,若令右端常数项全为零,则得相应的齐次线性方程组(导出组)的通解.
注释2:在非齐次线性方程组用自由未知量表示的通解中,令所有的自由未知量为零,即上面的
,也可的方程组的特解
.
例14.问为何值时,方程组
无解、有解?
解:用初等行变换将增广矩阵
化为行简化的阶梯形
显然,当
,即
时,
,所以方程组无解,当
时,
,方程组有解,且有无穷多解。
例15.问
为何值时,方程组
有解?在有解时,求出全部解。
解法1:对增广矩阵进行初等行变换
由
知,当
时,方程组无解;当
时
由
知,当
时,方程组无解;当
知,此时
时,
,方
程组有无穷多解,由
(
即通解为
为自由未知量)
或
当
时,由
知方程组有唯一解
(为任意常数)
解法2(利用行列式) 由于方程组的系数行列式
所以:(1)当
即
时,方程组有唯一解。因
,
,
由克莱姆法则知
(2)当
时,对增广矩阵
作初等行变换
由于
,而
,所以方程组无解(或由上面后一矩阵对应的方程组的第3,知方程组无解)。
作初等行变换
个方程为矛盾方程:
(3)当
时,对增广矩阵
所以
当时,方程组无解;
当
,方程组有无穷多解,且
时
,
所以方程组的通解为
(为任意常数)
注释:从解法2看出当方程组的系数矩阵为方阵时,也可以从系数行列式是否为零开始来讨论方程组的解的情况.当方程组系数矩阵含有参数时,要从系数行列式等于零或不等于零分别对参数取值进行讨论.
本题对参数的分类是
例16.设有线性方程组
(1)
与
(2)
其中
为方程组(1)的系数矩阵中元素
的代数余子式,证明:线性方程组(1)有唯一
解的充分必要条件是线性方程组(2)有唯一解.
分析:方程组(1)与(2)均为个未知量个方程的线性方程组,可由克莱姆法则来判断.
证明:设方程组(1)的系数矩阵为(1)有唯一解,即
,则由
,则方程组(2)的系数矩阵为
,
.若方程组
,所以
由克莱姆法则知方程组(2)有唯一解.
反之,若方程组(2)有唯一解,
则
,从
而
可逆,仍由
得
矛盾,故例17.设
为
证明:设矩阵则由
得
、
和
,若
,则
.从而得到
,于是
,所以由克莱姆法则方程组(1)有唯一解. 矩阵,
为
矩阵,证明:矩阵方程
有解的充要条件是
的列向量分别为;;,
于是有
(
这样
有解
线性方程组
可由 向量组
) 有解(线性表出(与向量组
,
注释:求解矩阵方程例18.问
等价于求解
个线性方程组
(
).
)
)
等价
为何值时,矩阵方程有解?并在有解时,求出全部解.其中:
解: 由上题知
行变换.
要有解,须
,所以对矩阵
作初等
由此看出
有解。 当
时,将上面最后一个矩阵进一步化为行简化矩阵
要
须
.所以 当
时
由
得
由
得
由
得
故所求矩阵方程有无穷多解,其通解为
(
注释:对于矩阵方程
).
的求解问题类似于一般线性方程组的求解.首先,对矩阵
,来判断,令的第j
列
施行行的初等变换化为阶梯形矩阵,再根据是否有
是否有解.有解时进一步用初等行变换将的第j列,那么 以
.
化为行简化矩阵
作为增广矩阵的线性方程组的解即为所求矩阵