关于已知两点经纬度求球面最短距离的公式推导
关于已知两点经纬度求球面最短距离的公式推导
2013-01-29 20:42 3009人阅读 评论(11) 收藏 举报
球面距离经纬度
已知两点经纬度计算球面距离的公式，一搜一大堆，形式如下：
可是至于这个公式为什么是这样的，今天推导了一下，详细推导过程如下。首先画个图（图1），要不然空间想象能力差的话容易犯糊涂。首先对图1做个大致的说明，红色的半圆表示赤道，蓝色的圆弧表示本初子午线（也就是经度为0的子午线）。球最上方是北极点，点A和点B分别为要计算的两个点，坐标分别为A（jA,wA）和B（jB，wB）。
图1 示意图
再开始推导之前，我们需要在图中绘制一些辅助线，便于后面的描述和推导。如图1所示，A（jA,wA），B（jB,wB）两点分别为球面上的两点，坐标为经纬度表示。延A、B两点分别做垂直于赤道平面的垂线交赤道面为C、D两点。连接C、D两点，然后过A做CD的平行线交BD与点E。至此，所有的辅助线绘制完毕。假设地球为一个规则的圆球，半径为R（其实地球是一个椭球体，赤道的半径比极地的半径稍微大一点点）。
第一步：确定已知条件，
第二步：在直角
和直角
中有：
第三步：在平面ABCD中，有：
第四步：在直角
中，使用勾股定理可以得到AB的直线长度。如下：
第五步：这里需要引入一个公式（5），就是大名鼎鼎的余弦定理，假设三角形的三个角为A,B,C，则有：
把上面的公式（1）、（2）、（3）、（5）带入（4）中，然后整理可以得到：
最后，通过整理得到AB之间的直线距离为：
第六步：我们已经知道AB的直线距离，那么AB的弧长距离可以先通过计算
中对应的圆心角
，然后用弧长公式计算出来。这里在
依旧使用余弦定理公式（5），经过变形可以得到：
把式（6）带入式（7），化简得到：
最终，我们得到了一个关于圆心角
的余弦值的公式：
第七步：知道圆心角
，计算弧长的公式很简单，使用半径乘以圆心角（弧度单位）即可：
所以最后我们就得到了球面上AB的距离应该是：
最后使用公式（10）就可以编写代码来计算球面上任意两点间的最短距离了。这里使用的是一个规则的球来代替的椭球的，肯定会有误差的，一般都用这个公式来进行计算。代码就不写了，也就一两句话就出来了。最后需要注意的就是，需要把经纬度都化成弧度单位。
…………………………………………………华丽的分割线………………………………………………
……………………………………以下内容更新于2013年1月30日…………………………………………
昨天使用立体几何的知识推导了一下球面两点的距离公式，发现比较复杂，今天想到一个简单的方法，使用空间直角坐标系来推导，很方便。首先我们需要建立一个空间坐标系：在赤道平面内，X轴由球心O指向本初子午线，Y轴在赤道平面内垂直于X轴，Z轴垂直于赤道平面朝向北极。还是假设AB两点的经纬度坐标为：A（jA，wA），B（jB，wB）。由该坐标系的定义以及经纬度的定义可以把上面的AB两点的坐标转换为该坐标系中的坐标如下：
由两点距离公式可以得到AB的直线距离为：
对于球面上的任意一个点（X，Y，Z），都有：
把上面的公式整理就可以得到（下面用到了一个积化和差公式）：
好了，大功告成，是不是比用立体几何要简单的多。接下来就是用上面的弦长和弧长的关系来计算AB的弧长就可以了。