抛物线性质归纳.证明和应用
抛物线性质归纳、证明和应用
抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线(定点在定直线外)的距离的点的轨迹,它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线,它只有一支(双曲线有两支),只有一条对称轴,没有渐近线和对称中心,属于无心曲线.抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩,此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨,抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点,这里就它的一些性质加以归纳,说明和证明,及其在历年高考和模拟考试出现的典例. 一、焦半径、焦点弦性质
如图,AB 是过抛物线 y 2=2px (p >0)焦点F 的弦,AD 、BC 是准线的垂线,垂足分别为D 、C ,M 是CD 的中点,N 是AB 的中点.设点A (x 1,y 1) 、点B (x 2,y 2) ,直线AB 交y 轴于点K (0,y 3) ,则: p 2111⑴ ① y 1y 2=-p ;② x 1x 2=;③
4y 1y 2y 3
2
④ | AB |=x 1+x 2+p =
2p
(θ为AB 的倾斜角); sin θ
p 22p 2
⑤ S △OAB =,S 梯形ABCD =..
2sin θsin θ⑵
112+ | AF || BF |p
⑶ ∠AMB =∠DFC =Rt ∠; ⑷ AM 、BM 是抛物线的切线;
⑸ AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线; ⑹ AM 、DF 、y 轴三线共点,BM 、CF 、y
⑺ A 、O 、C 三点共线,B 、O 、D 三点共线; ⑻ 若| AF |:| BF |=m :n ,点A 在第一象限,
θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ=
m -n
; m +n
⑼ 以AF 为直径的圆与y 轴相切,以BF 为直径的圆与y 轴相切; 以AB 为直径的圆与准线相切.
⑽ MN 交抛物线于点Q ,则,Q 是MN 的中点.
p 2111
★⑴ ① y 1y 2=-p ;② x 1x 2=;③ +=
4y 1y 2y 3
2
2p p 22p 2
④ | AB |=x 1+x 2+p = (θ为AB 的倾斜角);⑤S △OAB =S 梯形ABCD =.
sin θ2sin θsin θp p
【证明】设过焦点F (,0) 的AB 的直线方程为x =my ,代入抛物线方程y 2=2px 得
22
y 2-2pmy -p 2=0,因此 ① y 1y 2=-p 2,y 1+y 2=2pm .
另由⑶得在Rt △CFD 中,FR ⊥CD , 有| RF |2=| DR |·| RC |,
而| DR |=| y 1 |,| RC |=| y 2 |,| RF |=p ,且y 1 y2<0 ∴y 1y 2=-p .
y 1y 2
② 又点A 、B 在抛物线上,有x 1x 2=,
2p 2p y y (y y ) 2p 2
因此x 1x 2==.
2p 2p 4p 4③
11y 1+y 22pm 2m
, y 1y 2y 1y 2-p p
p p 111在直线AB 方程x =my 中令x =0,得y 3=-,代入上式得+=
22m y 1y 2y 3p p
④【证法一】根据抛物线的定义,| AF |=| AD |=x 1+,| BF |=| BC |=x 2+,
22 | AB |=| AF |+| BF |=x 1+x 2+p
又| AB |=(x 2-x 1) +(y 2-y 1) =1+m | y 2-y 1 |
=1+m (y 1+y 2) -4y 1y 2 =1+m 4m p +4p =2p (1+m 2) 11cos θ
当m ≠0时,m =
k tan θsin θ
cos 2θ1
1+m =1=(k 为直线AB 的斜率)
sin θsin θ
2
2
2
2
2
2
1
当m =0时,θ=90︒,1+m 2=1也满足1+m 2=
sin θ∴| AB |=2p (1+m 2) =
2p
. sin θ
【证法二】如图2,过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1,垂足为 A 1、B 1,那么| RF |=| AD |-| F A 1 |=| AF |-| AF |cosθ, ∴| AF |=
| RF |p
=
1-cos θ1-cos θ
| RF |p
1+cos θ1+cos θ
同理,| BF |=
p p 2p
∴| AB |=| AF |+| BF |=+.
1-cos θ1+cos θsin θ
【证法三】极坐标法,设抛物线的极坐标方程为ρ=
| AF |=ρ1=
p
1-cos θ
p p p
,| BF |=ρ2= .
1-cos θ1-cos(π+θ ) 1+cos θ
p p 2p
+ .
1-cos θ1+cos θsin θ
∴| AB |=| AF |+| BF |=
111p
⑤S △OAB =S △OAF +S △OBF =OF || y 1 |+| OF || y 1 |=·(| y 1 |+| y 1 |)
2222
∵y 1y 2=-p 2,则y 1、y 2异号,因此,| y 1 |+| y 1 |=| y 1-y 2 |
p p p p 2p 2∴S △OAB =| y 1-y 2 |=(y 1+y 2) -4y 1y 2=4m p +4p =1+m =.
44422sin θ2p 2p
又∵| CD |=| AB |sinθ=,| AD |+| BC |=| AB |=sin θsin θ112p 2p p 2
∴S 梯形ABCD =AD |+| BC |)·| CD |=×.
22sin θsin θsin θ
【例1】(2001年新课程高考文)设坐标原点为O ,抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点,
→→
则OA ·OB = ······································································································· ( )
3A. 4
3B. -4
C. 3
D. -3
p 23→→
【解】设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,则OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=-p 2=-B.
44
【例2】(2009年福建理)过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p =. 1
8×
22p 2p
【解】由性质⑴得| AB |==8,∴p ==4.
2sin θsin 45︒★⑵
112
= | AF || BF |p
p 2p p
【证法一】由⑴x 1x 2=| AF |=x 1+,| BF |=x 2+.
422
x 1+x 2+p x 1+x 2+p 1111
∴+ | AF || BF |p p p p p p x 1x 2+(x 1+) ·(x 2+x 1x 2+x 1+x 2) 222224
x 1+x 2+p x 1+x 2+p 2
=p p p p p
(x 1+x 2) (x 1+x 2+p ) 4242【证法二】由| AF |=ρ1=
p p p
,| BF |=ρ2== .
1-cos θ1-cos(π+θ ) 1+cos θ
11111-cos θ1+cos θ2
++| AF || BF |ρ1ρ2p p p
【例3】(2000全国)过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 11
与FQ 的长分别是p 、q ,则+········································································· ( )
p q
A. 2a
B. 1 2a
C.4a
4D. a
1111
【解】由y =ax 2得x 2= y ,(抛物线焦点到准线的距离为,由此得=4a ,故选C.
a 2a p q ★⑶ ∠AMB =∠DFC =Rt ∠,先证明:∠AMB =Rt ∠ 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ,如图3,则
△ADM ≌△ECM ,
∴| AM |=| EM |,| EC |=| AD | ∴| BE |=| BC |+| CE |=| BC |+| AD | =| BF |+| AF |=| AB |
∴△ABE 为等腰三角形,又M 是AE 的中点, ∴BM ⊥AE ,即∠AMB =Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ,连结MN ,则
图3
111
| MN |=(| AD |+| BC |)=AF |+| BF |)=| AB |,∴| MN |=| AN |=| BN |
222∴△ABM 为直角三角形,AB 为斜边,故∠AMB =Rt ∠.
p p p y 1+y 2
【证法三】由已知得C (-,y 2) 、D (-y 1) ,由此得M (,).
2222
y 1+y 2-p 2
y 1-p (y 1-2y 1y -y p (y -y ) p p
∴k AM ==k BM = p y 1y 2y y 1+p y 1+p x 1+2p 22p p p p 2p 2
∴k AM ·k BM ==-1
y 1y 2y 1y 2-p ∴BM ⊥AE ,即∠AMB =Rt ∠.
p p p y 1+y 2
【证法四】由已知得C (-,y 2) 、D (-y 1) ,由此得M (,).
2222
p y 1-y 2→p y 2-y 1→
∴MA =(x 1,,MB =(x 3+)
2222p p (y 1-y 2)(y 2-y 1) →→
∴MA ·MB =(x 1+)(x 2+) +
224
p p (y 1-y 2)
=x 1x 2+(x 1+x 2) +244p 2p p 2
=+422p 2p 4
2y 2y 22
y +y -2y 1y 22
2
4
2
p 2y y p 2-p ==0 2222
→→
∴MA ⊥MB ,故∠AMB =Rt ∠.
【证法五】由下面证得∠DFC =90︒,连结FM ,则FM =DM .
又AD =AF ,故△ADM ≌△AFM ,如图4 ∴∠1=∠2,同理∠3=∠4 1
∴∠2+∠3=180︒=90︒
2∴∠AMB =Rt ∠.
接着证明:∠DFC =Rt ∠
【证法一】如图5,由于| AD |=| AF |,AD ∥RF ,
故可设∠AFD =∠ADF =∠DFR =α, 同理,设∠BFC =∠BCF =∠CFR =β, 而∠AFD +∠DFR +∠BFC +∠CFR =180︒ ∴2(α+β) =180︒,即α+β=90︒,故∠DFC =90︒ p y 1+y 2
【证法二】取CD 的中点M ,即M (-,22
-y 2-y 2p p
由前知k AM =,k CF ===
y 1p p p y 1
++22
∴k AM =k CF ,AM ∥CF ,同理,BM ∥DF ∴∠DFC =∠AMB =90︒.
→→
【证法三】∵DF =(p ,-y 1) ,CF =(p ,-y 2) ,
→→
∴DF ·CF =p 2+y 1y 2=0 →→
∴DF ⊥CF ,故∠DFC =90︒.
【证法四】由于| RF |2=p 2=-y 1y 2=| DR |·| RC |,即
∴ △DRF ∽△FRC
∴∠DFR =∠RCF ,而∠RCF +∠RFC =90︒ ∴∠DFR +∠RFC =90︒ ∴∠DFC =90︒
【例4】(2009年湖北文)如图7,过抛物线y =2px (P >0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点,自M 、N 向准线l 作垂线,垂足分别为M 1、N 1,求证:FM 1⊥FN 1
2
图6
| DR || RF |
DRF =∠FRC =90︒ | RF || RC |
★⑷ AM 、BM 是抛物线的切线
y p p
【证法一】∵k AM =,AM 的直线方程为y -y 1=x -y 1y 12p
与抛物线方程y 2=2px 联立消去x 得 p y 2y 2
y -y 1=,整理得y 2-2y 1y +y 1=0
y 12p 2p 可见△=(2y 1)
2
2
-4y 1=0, 2
2
故直线AM 与抛物线y 2=2px 相切, 同理BM 也是抛物线的切线,如图8.
'=(2px ) x ', 【证法二】由抛物线方程y 2=2px ,两边对x 求导,(y 2) x
图8
p p
'=2p ,y x '=y 2=2px 在点A (x 1,y 1) 处的切线的斜率为k 切=y x '| y =y 1=. 得2y ·y x
y y 1p
又k AM =k 切=k AM ,即AM 是抛物线在点A 处的切线,同理BM 也是抛物线的切线.
y 1
p y 1+y 2
【证法三】∵过点A (x 1,y 1) 的切线方程为y 1y =p (x +x 1) ,把M (-,) 代入
22
y 1+y 2y +y 1y 22px 1-p 2p 2
左边=y 1·=px 1,
2222
p p 2
右边=p (x 1) =-px 1,左边=右边,可见,过点A 的切线经过点M ,
22即AM 是抛物线的切线,同理BM 也是抛物线的切线. ★⑸ AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ,如图9,
则△ADM ≌△ECM ,有AD ∥BC ,AB =BE , ∴∠DAM =∠AEB =∠BAM ,
即AM 平分∠DAB ,同理BM 平分∠CBA .
【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM p y 1+y 2
的倾斜角β的2倍即可,即α=2β. 且M (-,)
22
y 2-y 1y 2-y 12p
∵tan α=k AB ==. x 2-x 1y 1+y 2y y 2p 2p
y 1+y 2-p 2y 1-p (y 1-)
2y 1y 1-y 2p (y 1-y 2) p
tan β=k AM ===. =p y 1y y 1+p y 1+p x 1+2·+p 22p 2p
y 12tan β2py 2py 2p
∴tan 2β==tan α p 2y 2-p y 2+y 1y 2y 1+y 21-tan β
1-()
y 1∴α=2β,即AM 平分∠DAB ,同理BM 平分∠CBA .
2
图9
★⑹ AM 、DF 、y 轴三线共点,BM 、CF 、y 轴三线共点 【证法一】如图10,设AM 与DF 相交于点G 1,
由以上证明知| AD |=| AF |,AM 平分∠DAF ,故AG 1也是DF 边上的中线, ∴G 1是DF 的中点.
设AD 与y 轴交于点D 1,DF 与y 轴相交于点G 2, 易知,| DD 1 |=| OF |,DD 1∥OF , 故△DD 1G 2≌△FOG 2
∴| DG 2 |=| FG 2 |,则G 2也是DF 的中点.
∴G 1与G 2重合(设为点G ),则AM 、DF 、y 轴三线共点, 同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.
p
【证法二】AM 的直线方程为y -y 1=x -,
y 12p
y 图10
令x =0得AM 与y 轴交于点G 1(0,,
2
y p y 又DF 的直线方程为y =-x -,令x =0得DF 与y 轴交于点G 2(0,p 22y ∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0,) ,则AM 、DF 、y 轴三线共点,
2同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H .由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形. ★⑺ A 、O 、C 三点共线,B 、O 、D 三点共线 y y 2p
【证法一】如图11,k OA ==,
x 1y 1y 2p
y 22y 22py 22py 22p
k OC ==-=-
p p p -y 1y 2y 1 -2∴k OA =k OC ,则A 、O 、C 三点共线, 同理D 、O 、B 三点也共线.
【证法二】设AC 与x 轴交于点O ',∵AD ∥RF ∥BC
| RO ' || CO ' || BF || O 'F || CB |∴,= | AD || CA || AB || AF || AB || RO ' || O 'F |
又| AD |=| AF |,| BC |=| BF |,∴| AF || AF |
∴| RO ' |=| O 'F |,则O '与O 重合,即C 、O 、A 三点共线,同理D 、O 、B 三点也共线. | O 'F || AF |
【证法三】设AC 与x 轴交于点O ',RF ∥BC ,=
| CB || AB |
| CB |·| AF || BF |·| AF |
∴| O 'F |=| AB || AF |+| BF |
111 | AF || BF |
p
【见⑵证】 2
图11
2y ∴O '与O 重合,则即C 、O 、A 三点共线,同理D 、O 、B 三点也共线.
p →→
【证法四】∵OC =(-y 2) ,OA =(x 1,y 1) ,
2
y p p py y y y py p 2y ∵-·y 1-x 1 y2y 1- y 2=-+0
222p 22p 22p →→
∴OC ∥OA ,且都以O 为端点
∴A 、O 、C 三点共线,同理B 、O 、D 三点共线.
【推广】过定点P (m ,0) 的直线与抛物线y 2=2px (p >0)相交于点A 、B ,过A 、B 两点分别作直线l :x =-m 的垂线,垂足分别为M 、N ,则A 、O 、N 三点共线,B 、O 、M 三点也共线,如下图:
2
【例5】(2001A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴. 证明直线AC 经过原点O . p
【证法一】因为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F (-,0) ,所以经过
2
p
点F 的直线AB 的方程可设为x =my +
2代入抛物线方程得y 2-2pmy -p 2=0
设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,则y 1,y 2是该方程的两个根, ∴y 1y 2=-p
p p
因为BC ∥x 轴,且点C 在准线x =-上,故C (-y 2) ,
22
y 2p y ∴直线CO 的斜率为 k OC ==k OA .
p y 1x 1 -2∴直线AC 经过原点O .
【证法二】如图13,过A 作AD ⊥l ,D 为垂足,则:AD ∥EF ∥BC
连结AC 与EF 相交于点N ,
| EN || CN || BF || NF || AF |则==, | AD | | AC | | AB | | BC | | AB | 由抛物线的定义可知:| AF |=| AD |,| BF |=| BC | ∴| EN |=
| AD |·| BF || AF |·| BC |
==| NF |.
| AB |
| AB |
2
图12
即N 是EF 的中点,与抛物线的顶点O 重合,所以直线AC 经过原点O .
图13
★⑻ 若| AF |:| BF |=m :n ,点A 在第一象限,θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θm -n
; m +n
【证明】如图14,过A 、B 分别作准线l 的垂线,垂足分别为D ,C ,过B 作BE ⊥AD 于E ,设| AF |
=mt ,| AF |=nt ,则
| AD |=| AF |,| BC |=| BF |,| AE |=| AD |-| BC |=(m -n ) t | AE | (m -n ) t m -n
∴在Rt △ABE 中,cos ∠BAE ==
| AB |(m +n ) t m +n m -n
∴cos θ=cos ∠BAE m +n
【例6】设经过抛物线y =2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ,
且| AF |:| BF |=3:1,则直线AB 的倾斜角的大小为 . 【答案】60︒或120︒.
2
★⑼ 以AF 为直径的圆与y 轴相切,以BF 为直径的圆与y 轴相切;以AB 为直径的圆与准线相切. 【说明】如图15,设E 是AF 的中点,
p
x 1 2y 则E 的坐标为(,
22
p
+x 1 21
则点E 到y 轴的距离为d ==| AF |
22故以AF 为直径的圆与y 轴相切, 同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.
【说明】如图15,设M 是AB 的中点,作MN ⊥准线l 于N ,则
111
| MN |=(| AD |+| BC |)=AF |+| BF |)=| AB |
2221
则圆心M 到l 的距离| MN |=AB |,
2故以AB 为直径的圆与准线相切. ★⑽ MN 交抛物线于点Q ,则Q 是MN 的中点.
y 1y 2p p
【证明】设A y 1) ,B (,y 1) ,则C (-y 2) ,D (y 1) ,
2p 2p 22
y +y y 1+y 2p y 1+y 2
M (-,N () ,
224p 2
p y +y - 24p y 1+y 2
设MN 的中点为Q ',则Q ' (22
y 1+y 22p ⎛ -2p 2+y 2+y 2 2y y +y 2+y 2
24p ⎝2 12∵ =28p 8p 2p ∴点Q ' 在抛物线y 2=2px 上,即Q 是MN 的中点.
22y +y 2
2
2
2
2
2
图16
二、定点、定值、定直线问题(共9个结论)
★⑴平行于抛物线对称轴的光线,被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点,如图17. 【证明】如图17,设抛物线方程为y 2=2px (p >0),直线AB ∥x 轴,
点A 的坐标为(x 0,y 0) ,则过A 点的切线方程为y 0y =p (x +x 0) ,p p
直线l 的斜率为k 0=,设直线AB 到l 的角为α,则tan α=,
y 0y 02py 设直线AF 的斜率为k 1,则k 1=,
p y 0-p x 02设直线l 到AF 的角为β,
2py p 2y 0-p y 0p (y +p 2) p k 1-k 0
则tan β==p 2py y 0(y 01+k 0k 1+p ) y 01+y 0y 0-p
∴tan α=tan β,又α、β∈[0,π) ,则α=β,
也就是说平行于抛物线对称轴的光线,被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点. 【例7】(2004年福建省质检)如图18,从点M (x 0,2) 发出的光线沿
平行于抛物线y =4x 的轴的方向射向抛物线的点P ,反射后经焦点F 又射向直线l :x -2y -7=0上的点N ,再反射后又设回点M ,则x 0= .
【解】PM ∥x 轴,点P 在抛物线上,得P 的坐标为(1,2) ,经过F (1,
0) 点后反射在Q 点,则Q 的坐标为(1,-2) ,经Q 反射后点N 的坐标为(3,-2) ,设M 关于l 对称的点为M ',依题意,Q 、N 、M '共线.
故可设M '(x 1,-2) ,
21
·1⎧x 2+-x 2
由此得 ⎨,解得 x =6.
x +x 2-2
⎩22·27=0
10
1
2
y
【另解】若设Q 关于直线l 的对称点为Q ',设Q ' (a ,b ) ,由于Q 、Q '关于直线l 对称,由此得
+219·1a =⎧b ⎧5a -12918
,解得 则 Q '的坐标为(,-) , ⎨a +1b -2⎨1855
⎩b =-5⎩2―2·27=0
18
-152+2
又M 、N 、Q '三点共线,k MN =k NQ ',即=
9x 0-335
∴x 0=6.
★⑵若C (x 0,y 0) 是抛物线y 2=2px (p >0)上的任一点,过C 引两条互相垂直的直线交抛物线于A 、B ,则直线AB 过定点(2p +x 0,-y 0).
s t
【证明】设A ,s ) 、B (,t ) (s ,t ,y 0互不相等)
2p 2p
那么,由AC ⊥BC 得
y 0-s y 0-t
k AC ·k BC s t x 0- x 0-
2p 2p
y 0-s y 0-t 4p 2
==1
(y 0+s )(y 0+t ) y 0s 2y 0t 2
2p 2p 2p 2p ∴4p 2=-(y 0+s )(y 0+t )
2
∴st =-4p 2-(s +t ) y 0-y 0
2
2
s 2
s ) 图19
······················· ①
B (t )
2p
s 2
x -2p y -s 2px +st
又直线AB 的方程为 ② y t s t -s s +t
2p 2p
2px -4p 2-(s +t ) y 0-y 2px -4p 2-2px 02p
把①代入②得 y ==-y 0(x -2p -x 0) -y 0
s +t s +t s +t 令x -2p -x 0=0,即x =2p +x 0,得y =-y 0. 故直线AB 过定点(2p +x 0,-y 0).
特别地,当C 是抛物线的顶点时,定点P 的坐标为(2p ,0) .
2
【拓展】C (x 0,y 0) 是抛物线y 2=2px (p >0)上的一定点,直线AB 与抛物线相交于A 、B 两点(都2p
异于C ),若直线CA 、CB 的斜率k CA 、k CB 的乘积为定值m ,那么,直线AB 过定点(x 0-m ,-y 0). 【例8】(2000京皖春季高考)如图20,设点A 和B 为抛物线y 2=
4px (p >0)上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. 【解法一】点A ,B 在抛物线y 2=4px 上,
y y 设A (,y A ) ,B (,y B ) ,OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB .
4p 4p y B -y A y 4p 4p 4p ∴k OA =,k OA =k AB ==y A y B y A +y B y y y -4p 4p 4p 16p 2
由OA ⊥OB ,得k OA ·k OB ==-1 ································· ①
y A y B
2
2
2
2
图20
y y 4p
∴直线AB 方程为,y -y A =x -) ,即(y A +y B )(y -y A ) =4p (x -) ···················· ②
4p 4p y A +y B y A +y B
由OM ⊥AB ,得直线OM 方程y = ······································ ③
4p
x
设点M (x ,y ) ,则x ,y 满足②、③两式,将②式两边同时乘以-,并利用③式
4p x
整理得,A 2+yy A -(x 2+y 2) =0 ···························································· ④
4p x
由③、④两式得-y B y A -(x 2+y 2) =0,
4p 由①式知,y A y B =-16p 2,所以x 2+y 2-4px =0. 因为A 、B 是原点以外的两点,所以x ≠0.
所以点M 的轨迹是以(2p ,0) 为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.
【解法二】由性质(2)易知AB 经过定点P (4p ,0) ,由于OM ⊥AB ,那
么,M 的轨迹以(2p ,0) 为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.其轨迹方程为x 2+y 2-4px =0(x ≠0).
★⑶抛物线y 2=2px (p >0)的弦AB 的中点D 恰好在定直线l :x =m (m >0)上,则线段AB 的垂直平分线过定点M (m +p ,0).
【证明】如图22,设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,D (m ,y 0) ,那么
⎧y 1=2px 1„„„„①⎨2 ⎩y 2=2px 2„„„„②
2
图21
①-②得y 1-y 2=2p (x 1-x 2) ∴直线AB 的斜率k AB =
y 1-y 22p p
= x 1-x 2y 1+y 2y 0
1y 0=-k AB p
22
∴直线DM 的斜率k DM =-
y ∴DM 的直线方程为y -y 0=-x -m )
p 令y =0,得x =m +p
∴直线AB 的垂直平分线恒过定点(m +p ,0).
图22
【例9】(2008湖南理科高考)若A 、B 是抛物线y 2=4x 上的不同两点,弦AB (不平行于y 轴)的垂
直平分线与x 轴相交于点P ,则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”. 已知当x >2时,点P (x ,0) 存在无穷多条“相关弦”.给定x 0>2.
⑴证明:点P (x 0,0) 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;⑵(略) 【说明】应用性质⑶,由已知得p =2,由定点P (x 0,0) 得m +p =x 0,故m =x 0-2 ∴“相关弦”的中点的横坐标为x 0-2.
★⑷设直线l 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于点A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2) ,那么
①若直线l 过抛物线对称轴的定点M (a ,0) ,则y 1y 2=-2ap ,x 1x 2=a 2;反之 k
②若y 1y 2=k (定值),则直线l 恒过定点N (-,0).
2p 111
③若直线l 与y 轴相交于点(0,y 3) ,则+=y 1y 2y 3
【证明】①设过点M (a ,0) 的直线方程为x =my +a ,代入抛物线方程y 2=2px 得
y 2-2pmy -2pa =0,因此
(y y ) 4a p 2
y 1y 2=-2ap ,x 1x 2=·a . 2p 2p 4p 4p ②设直线l 方程为x =my +b ,代入抛物线方程y 2=2px 得 y 2-2pmy -2pb =0,
即方程的根y 1、y 2是P 、Q 两点的纵坐标 ∴y 1y 2=-2pb ,又y 1y 2=k .
k k ∴-2pb =k ,即b =-,则直线l 方程为x =my -
2p 2p k k
令y =0,得x =-,则直线l 恒过定点N (- ,0).
2p 2p a
③由l 的方程x =my +a 中,令x =0得y 3=-y 1+y 2=2pm
m 11y 1+y 22pm m 1 +==.
y 1y 2y 1y 2-2ap a y 3
【例10】(北京2005年春季高考理科)如图24,O 为坐标原点,直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b (a >0,b ≠0),且交抛物线y 2=2px (p >0)于M (x 1,y 1) 、N (x 2,y 2) 两点. ⑴写出直线l 的截距式方程; 111
⑵证明:.
y 1y 2b
x y
⑴【解】直线l 的截距式方程为+1.
a b 111
⑵由上面性质⑶证明可得.
y 1y 2b
图23
2y 2y 2
22
→
★⑸过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点,且与准线交于点M ,设MA →→→
=λAF ,MB =μBF ,则λ+μ=0.
p p
【证法一】设过点F (,0) 的直线方程为x =my +,
22
代入抛物线方程y 2=2px 得
y 2-2pmy -p 2=0,因此y 1y 2=-p 2,y 1+y 2=2pm p p
令x y M =-
2m
p p p →→
由MA =λAF 得(x 1+,y 1+) =λ (x 1,-y 1)
2m 2p p p
∴y 1+λ y1,λ=1+μ=1+m my 1my 2
p (y 1+y 2) p ·2pm p p
∴λ+μ=2++=2+=2=2-2=0.
my 1my 2my 1 y2m ·(-p ) →→→→
【证法二】由已知MA =λAF ,MB =μBF ,得λ·μ<0.
→→|MA |λ|AF |则 ······································· ①
→→ |MB | μ|BF | 过点A ,B 分别作准线l 的垂线,垂足分别为A 1,B 1, →→→
|MA ||AA ||AF |
则有:= ······················· ②
→→→ |MB | |BB 1| |BF | →|AF |
由①②得-λ+μ=0.
→→ μ|BF | |BF |
A
λ|AF |
→
【例11】(2007年福建理科高考)如图27,已知点F (1,0) ,直线l :x =-1,P 为平面上的动点,过→→→→
P 作直线l 的垂线,垂足为点Q ,且QP ·QF =FP ·FQ . ⑴求动点P 的轨迹C 的方程;
⑵过点F 的直线交轨迹C 于A ,B 两点,交直线l 于点M ,已知 →→→→
MA =λ1AF ,MB =λ2BF ,求λ1+λ2的值; 【略解】⑴动点P 的轨迹C 的方程为:y 2=4x ;⑵λ1+λ2=0.
图27
★⑹定长为l 的弦AB 的两个端点在抛物线y 2=2px 上,M 是AB 的中点,M 到y 轴的距离为d ,那么,M 的轨迹方程为:4(y 2+p 2)(2px -y 2) =p 2l 2,且
l 2
①当0<l <2p 时,d 的最小值为AB ∥y 轴;
8p l -p
②当l ≥2p 时,d 的最小值为AB 过焦点F .
2【解】设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,弦AB 的中点M 的坐标为(x 0,y 0) ,
AB 的直线方程为x =my +b ,代入抛物线方程y =2px 得y -2pmy -2pb =0. ∴y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-2pb . 又AB 的中点为M (x 0,y 0) ,且点M 在直线AB 上,
y y 1+y 2y ∴y 0=pm ,x 0=my 0+b ,m =b =x 0-my 0=x 0-.
2p p ∴| AB |2=l 2=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=(my 1+b -my 2-b ) 2+(y 1-y 2) 2
=(1+m 2)(y 1-y 2) 2=(1+m 2)[(y 1+y 2) 2-4y 1y 2] y y y 22
=(1+)[4y 0+8pb ]=(1+y 0+8p (x 0-)]
p p p
整理得,4(y 0+p 2)(2px 0-y 0) =p 2l 2. 故中点M 的轨迹方程为:4(y 2+p 2)(2px -y 2) =p 2l 2. pl 2y 2
由上可知d =x =,令t =y 2+p 2≥p 2,即y 2=t -p 2,则
8(y +p ) 2p
2
pl 2t -p pl 2t p pl 2t pl 2
d =x =-t ≥p ). 令,得t .
8t 2p 8t 2p 28t 2p 2
2
2
2
2
2
2
2
2
图28
pl
①当0<l <2p 时,p 2>,d 在t ∈[ p 2,+∞) 上是增函数,
2
pl 2p 2p l 2
∴当t =p ,即y =0时,d min =+-m =0,即AB ∥y 轴.
8p 2p 28p
2
pl pl 2t p
②当l ≥2p 时,p ≤d =+2
28t 2p 2
2
p l -p pl 2t
⨯
28t 2p 2
l -p pl 2t pl
当且仅当t =≥p 2时取等号,故d .
8t 2p 22p
②【证法二】当l ≥2p 时,过A 、B 、M 作准线x 的垂线,垂足
2为A '、B '、M ',则
p 1111
| MM ' |=d =(| AA ' |+| BB ' |)=(| AF |+| BF |)| AB |=l .
22222上式当且仅当| AF |+| BF |=| AB |,即弦AB 过抛物线的焦点M 时1p l -p
取等号,则d l -=222
【说明】经过焦点F 的最短弦是通经2p ,因此当弦AB 的长l <2p 时,
l 2
不能用证法二证明d 8p
图29
【例12】长度为a 的线段AB 的两个端点在抛物线x 2=2py (a ≥
2p >0)上运动,以AB 的中点C 为圆心作圆与抛物线的准线相切,求圆C 的最小半径.
【解】依题意,问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上,弦
的中点C 到y 轴的距离的最值问题,由上面的性质可知当弦AB 经过焦点F 时,点C 到准线的距离为最小值. 如图30. a ∴圆C 的最小半径为r =.
2
★⑺过抛物线y 2=2px (p >0)的对称轴上的定点M (m ,0) (m >0),作直线AB 与抛物线相交于A ,
B 两点.点N 是定直线l :x =-m 上的任一点,则直线AN ,MN ,BN 的斜率成等差数列. 【证明】设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,N (-m ,n ) , 由性质⑶有y 1y 2=-2pm ,
y 1-n y 2-n
则直线AN 、BN 的斜率为k AN =,k BN =x 1+m x 2+m y 1-n y 2-n
∴k AN +k BN =+
y y +m +m 2p 2p
2p (y 1-n ) 2p (y 2-n ) =+ y 1+2pm y 2+2pm 2p (y -n ) 2p (y -n )
=
y 1-y 1y 2y 2-y 1y 2
(-
2p [y 2(y 1-n ) -y 1(y 2-n )]2pn (y 1-y 2) 2pn 2pn n ====-
m y 1y 2(y 1-y 2) y 1y 2(y 1-y 2) y 1y 2-2pm 又∵直线MN 的斜率为k MN =∴k AN +k BN =2k MN
∴直线AN ,MN ,BN 的斜率成等差数列.
★⑻抛物线的一组平行弦的中点共线,且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合.
【证明】设斜率为k (k 为常数)的一组平行线与抛物线y 2=2px (p >0)交于点A i 、B i (i =1,2,„),弦A i B i 的中点为M i ,(即M 1,M 2,…,M n ),且A i B i 的直线方程为y =kx +b i (b i 为直线A i B i 在y 轴上的截距),A i (x 1,y 1) ,B i (x 2,y 2) ,M i (x i ,y i ).
⎧y =2px k
联立方程组⎨ ,消去x 得y 2-y +b i =0
2p ⎩y =kx +b i
2
n -0n
.
2m -m -m
2p
∴y 1+y 2M i 是A i B i 的中点
k ∴y i =
y 1+y 2p p
,则M 1,M 2,…,M n 在平行于x 轴的直线y =. 2k k
当直线A i B i 与x 轴垂直(即直线A i B i 的斜率不存在时),易知M 1,M 2,…,M n 在x 轴上.
【例13】(2009年陕西卷理20文21)已知抛物线C :y =2x 2,直线y =kx +2交C 于A ,B 两点,M
是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交C 于点N . ⑴证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行; 【证明】如图34,设
22
A (x 1,2x 1) ,B (x 1,2x 2) ,
图34
把y =kx +2代入y =2x 2得2x 2-kx -2=0, k
由韦达定理得x 1+x 2=,x 1x 2=-1,
2x 1+x 2k k k 2
∴x N =x M ==,即N 点的坐标为(2448k k
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y -=m (x -) ,
84mk k 2
将y =2x 代入上式得2x -mx +-0,
48
2
2
2
∵直线l 与抛物线C 相切, mk k 2
∴∆=m -8(-) =0,
48
2
解得m =k ,即l ∥AB .
【说明】其实,也就是与AB 平行的弦,它们的中点在过AB 中点且与对称轴(x 轴)平行的直线上,
它与C 的交点N ,此时的切点就是这些弦的缩点,故过N 点的抛物线C 的切线与AB 平行. ★⑼过定点P (x 0,y 0) 作任一直线l 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于A 、B 两点,过A 、B 两点作抛物线的切线l 1、l 2,设l 1,l 2相交于点Q ,则点Q 在定直线px -y 0y +px 0=0上. 【证明】设A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2) ,因为过点P 与x 轴平
行的直线与抛物线只有一个交点,所以直线AB 与x 轴不平行,故可设AB 的方程为x -x 0=m (y -y 0).
⎧y 2=2px
联立方程组⎨,消去x 得
⎩x -x 0=m (y -y 0)
12
y -my +my 0-x 0=0 2p
∴y 1y 2=2p (my 0-x 0)
又过A 、B 两点的抛物线的切线方程为
⎧y 1y =p (x +x 1)
y 1y =p (x +x 1) 和y 2y =p (x +x 2) ,联立方程组⎨ 解得
⎩y 2y =p (x +x 2)
y y y 2-·y 1 2p 2p x y -x y y y x Q ==my 0-x 0 ······················ ①
2p y 1-y 2y 1-y 2x 1-x 2
y Q =p ·=pm ·············································································· ②
y 1-y 2y y 由②得m =代入①得x Q = y 0-x 0,∴点Q 在直线px -y 0y +px 0=0上
.
p p
22
【例14】(2007年重庆文科高考题)如图36,对每个正整数 n ,A n (x n ,y n ) 是抛物线x 2=4y 上的点,
过焦点F 的直线F A n 交抛物线于另一点B n (s n ,t n ). ⑴试证:x n s n =-4(n ≥1);
⑵取x n =2,并记C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点. 试证:| FC 1 |+| FC 2 |+„+| FC n |=2n -2
-n +1
n
+1.
【说明】本题第⑴小题就是抛物线的焦点弦的性质y 1y 2=-p 2.
第⑵小题两条切线的交点C n 就是上面抛物线的性质,即点C n 必在直线y =-1上.
【例15】(2008年山东理科高考)如图,设抛物线方程为x 2=2py
(p >0),M 为 直线y =-2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B .
⑴求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列;⑵⑶略. x x 【证明】由题意设A (x 1,,B (x 2,) ,x 1<x 2,M (x 0,-2p )
2p 2p
x 2x
由x =2py 得y =y =
2p p
2
2
2
图37
x x 所以,k MA =k MB =,
p p
x x 因此直线MA 的方程为y +2p =(x -x 0) ,直线MB 的方程为y +2p =(x -x 0) ,
p p x x 所以,+2p =x 1-x 0) „„„„①,
2p p
x x +2p =x 2-x 0) „„„„②, 2p p
(x +x )(x -x ) (x +x )(x -x ) x (x -x )
①-②得,=2p p p x 1+x 2
∴=x 1+x 2-x 0,即2x 0=x 1+x 2
2所以A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列.
22
★⑽过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ,则
| AB |
2. | FM |
p p
【证明】设过焦点F (,0) 的直线AB 的方程为x =my
22(m ≠0),且A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2) ,
p
把x =my +代入y 2=2px ,得y 2=2pmy +p 2,
2即y -2pmy -p =0
∴y 1+y 2=2pm ,y 1·y 2=-p 2 ∴x 1+x 2=m (y 1+y 2) +p =2pm 2+p , p
∴AB 的中点N 的坐标为(pm 2+,pm )
2
p
AB 的垂直平分线方程为y -pm =-m (x -pm 2-)
23p
令y =0,得M 的横坐标为x =pm 2+2
2
2
p
∴| FM |=| x M -|=pm 2+p =p (m 2+1) ,又| AB |=x 1+x 2+p =2p (m 2+1).
2
2
| AB |2p (m +1) ∴=2 | FM |p (m +1)
【证法二】设A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2) ,过A 、B 分别作准线
p
的垂线,垂足分别为C 、D ,则C (-y 1) 、
2p p D (-,y 2) ,则CD 的中点E 的坐标为(-,
22y 1+y 2
,由证法一知y 1+y 2=2pm , 2p
∴E (pm ) ,所以k EF =
2
pm
m p p -- 22
11
又k AB =,所以k AB ·k EF =(-m ) ·=-1
m m ∴EF ⊥AB ,又MN ⊥AB ,所以EF ∥MN 又EN ∥x 轴,所以四边形EFMN 为平行四边形 11
∴| FM |=| EN |=AC |+| B D |)=AB |
22| AB |
2
| FM |
★⑾P 是过抛物线y 2=2px (p >0)上的一定点,过P 作与x 轴平行的直线m ,过OP 的直线为n ,直线l ⊥x 轴,l 与m 、n 分别相交于A 、B 两点,则AB 的中点M 在点P 处的切线. t 2
【证明】设P (t ) ,则m 的方程为y =t ,
2p
2p
直线n (即OP )的方程为y =,
t t 2
设直线l 的方程为x =s (s ≠,那么
2p 2ps
A 的坐标为(s ,t ) ,B 的坐标为(s ,,
t 2ps t +
t 2ps +t 2
AB 的中点M 的坐标为(t ,,即(t ,)
22t t 2t 2
又过点P t ) 的抛物线的切线方程为yt =p (x +)
2p 2p p t 2
∴y =(x +)
t 2p
p t 2ps t 2ps +t 当x =x M =s 时,y =(s +) ==y M
t 2p t 22t 可见点M 在点P 处的切线n 上.
★⑿点P (a ,0) (a ≠0)是抛物线y 2=2px (p >0)的对称轴上的一点,过P 的直线l 与抛物线相交于两点A 、B ,A 关于x 轴的对称的点为A ',又点Q (-a ,0) ,那么A '、B 、Q 三点共线. 【证明】设直线l 的方程为x =my +a ,A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2)
则A '(x 1,-y 1) ,联立方程组
⎧y 2=2px
⎨ ,消去x 得 ⎩x =my +a
2
y 2
-my -a =0,那么y 1 y2=-2pa , 2p
→→
又QA '=(x 1+a ,-y 1) ,QB '=(x 2+a ,y 2) , ∵(x 1+a ) y 2+(x 2+a ) y 1 y y =(a ) y 2+a ) y 1
2p 2p
2
2
y y 2y y 1y y (y +y ) -2pa y y =++a (y 1+y 2) =a (y 1+y 2) =(y 1+y 2)(a ) =(y 1+y 2)(+a ) =0 2p 2p 2p 2p 2p →→∴QA '∥QB '
∴Q 、A '、B 三点共线.
22
【例16】给出一个抛物线,根据其性质,用尺规作图求出该抛物线的对称轴、顶点和焦点.
2
图a 图b
【作法】1. 任意作两条平行弦A 1B 1和A 2B 2;
2. 分别取A 1B 1和A 2B 2的中点M 、N ,过M 、N 作直线m ;
3. 作直线CD ⊥m ,交抛物线于C 、D ;
4. 取CD 的中点E ;
5. 过E 作直线l ∥m ,交抛物线于点O .
则直线l 为抛物线的对称轴,O 为抛物线的顶点,如图a .
6. 过顶点O 作两条互相垂直的弦OP 、OQ ;
7. 设PQ 与对称轴l 相交于点G ;
8. 取OG 的靠近O 的四等分点F .
则F 为抛物线的焦点.
【说明】1. 根据性质⑻,平行弦的中点共线,且与对称轴平行;
2. 垂直于对称轴的弦CD 的中点在对称轴上,故l 为抛物线的对称轴;
3. 根据性质⑵得PQ 过顶点(2p ,0) ,故F 为抛物线的焦点.
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