测试课后答案

1-4 求符号函数(见图1-25a) 和单位阶跃函数(见图1-25b) 的频谱。

a) 符号函数

图1-25 题1-4图

b) 阶跃函数

a) 符号函数的频谱

⎧+1t >0

x (t ) =sgn(t ) =⎨

⎩-1t

t =0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。

该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变

换存在。

可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满

足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x 1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x (t ) 的频谱。

x 1(t ) =e

-at

⎧e -at

sgn(t ) =⎨at

⎩-e

a →0

t >0t

x (t ) =sgn(t ) =lim x 1(t )

X 1(f ) =⎰x 1(t ) e

-∞

∞

-j 2πf t

dt =⎰-e e

-∞

at -j 2πf t

dt +⎰e -at e -j 2πf t dt =-j

∞

4πf a 2+(2πf ) 2

X (f ) =F [sgn(t ) ]=lim X 1(f ) =-j

a →0

1πf

X (f ) =

1πf

⎧π⎪⎪

ϕ(f ) =⎨2

⎪-π⎪⎩2

f 0

x 1(t ) 1

0 t

-1

x 1(t ) =e -at sgn(t ) 符号函数

符号函数频谱

b) 阶跃函数频谱

⎧1t >0

u (t ) =⎨

0t

在跳变点t =0处函数值未定义，或规定u (0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。

解法1：利用符号函数

u (t ) =

11

+sgn(t ) 22

11⎛1⎫1⎡1⎤⎡1⎤1

U (f ) =F [u (t ) ]=F ⎢⎥+F [sgn(t ) ]=δ(f ) + -j =δ(f ) -j ⎪⎢⎥22⎝πf ⎭2⎣πf ⎦⎣2⎦2

(f ) =

结果表明，单位阶跃信号u (t ) 的频谱在f =0处存在一个冲激分量，这是因为u (t ) 含有直流分量，在预料之中。同时，

由于u (t ) 不是纯直流信号，在t =0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。

|U(f )|

f

单位阶跃信号频谱

(1/2)

解法2：利用冲激函数

t ⎧1t >0时

u (t ) =⎰δ(τ)d τ=⎨

-∞

⎩0t

根据傅里叶变换的积分特性

1-6 求指数衰减信号x (t ) =e -at sin ω0t 的频谱

t 111⎡1⎤

U (f ) =F ⎡⎰δ(τ)d τ⎤=∆(f ) +∆(0)δ(f ) =⎢δ(f ) -j ⎥⎢⎥-∞⎣⎦j 2πf 22⎣πf ⎦

指数衰减信号

解答：

sin(ω0t ) =

1j ω0t -j ω0t

e -e 2j

() )

所以x (t ) =e -at

1j ω0t -j ω0t

e -e 2j

(

单边指数衰减信号x 1(t ) =e -at (a >0, t ≥0) 的频谱密度函数为

X 1(f ) =⎰x (t ) 1e

-∞∞

-j ωt

dt =⎰e -at e -j ωt dt =

∞

1a -j ω

=2

a +j ωa +ω2

根据频移特性和叠加性得：

X (ω) =

11⎡a -j (ω-ω0) a -j (ω+ω0) ⎤X (ω-ω) -X (ω+ω) =-2[1⎢2⎥010]22j 2j ⎣a +(ω-ω0) a +(ω+ω0) 2⎦

222

ω0[a -(ω-ω0)]2a ω0ω

=2-j [a +(ω-ω0) 2][a 2+(ω+ω0) 2][a 2+(ω-ω0) 2][a 2+(ω+ω0) 2]

指数衰减信号的频谱图

1-7 设有一时间函数f (t ) 及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cos ω0t (ω0>ωm ) 。在这个关系中，函数f (t ) 叫做调制信号，余弦振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0

图1-27 题1-7图

解：x (t ) =f (t )cos(ω0t )

F (ω) =F [f (t )] cos(ω0t ) =

1j ω0t

e +e -j ω0t 2

所以x (t ) =1f (t ) e j ω0t +1f (t ) e -j ω0t

22

()

根据频移特性和叠加性得：

X (f ) =

11

F (ω-ω0) +F (ω+ω0) 22

可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各

向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。

矩形调幅信号频谱

若ω0

4-12 若将高、低通网络直接串联（见图4-46），问是否能组成带通滤波器？请写出网络的传递函数，并分析其幅、相频率特性。

C R 2 u i (t )

R 1

C 2

u o (t )

图4-46 题4-12图

解：H (s ) =τ1s

τ2(τ

1τ2s +1+τ2+τ3) s +1

τ1=R 1C 1，τ2=R 2C 2，τ3=R 1C 2

H (ω) =

j τ1ω

-ττ2

12ω+j (τ1+τ2+τ3) ω+1

A (ω) =

ϕ(ω) =arctan

1-τ1τ2ω2

(ττ 1+τ2+3) ω

A (0)=0，ϕ(0)=π/2；A (∞)=0，ϕ(∞)=-π/2，可以组成带通滤

波器，如下图所示。

Bode Diagram

0 M a g n i t u d e (d B )

P h a s e (d e g )

90450

4

Frequency (rad/sec)

5-3 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。

解法1：按方波分段积分直接计算。

R xy (τ) =

1T 1T

x (t ) y (t +τ) dt =x (t -τ) y (t ) dt ⎰⎰00T T T 3T

T ⎤1⎡4

=⎢⎰(-1)sin(ωt -ωτ) dt +T 41sin(ωt -ωτ) dt +⎰3T (-1)sin(ωt -ωτ) dt ⎥ T ⎣044⎦2

=sin(ωτ)

π

解法2：将方波y (t ) 展开成三角级数，其基波与x (t ) 同频相关，而三次以上谐波与x (t ) 不同频不相关，不必计算，所以只需计算y (t ) 的基波与x (t ) 的互相关函数即可。

y (t ) =-

4⎛11

cos ωt -cos3ωt +cos5ωt -π 35⎝

⎫

⎪ ⎭

R xy (τ) =

所以

1T 1T ⎛4⎫

x (t ) y (t +τ) dt =sin(ωt ) -⎪cos(ωt +ωτ) dt ⎰⎰00T T ⎝π⎭T 41

=-[sin(ωt +ωt +ωτ) +sin(ωt -ωt -ωτ) ]dt πT ⎰02 T 2⎡T =-sin(2ωt +ωτ) dt -⎰sin(ωτ) dt ⎤⎰⎥0⎣0⎦πT ⎢

22=-[0-T sin(ωτ) ]=sin(ωτ) πT π

解法3：直接按R xy (τ) 定义式计算(参看下图) 。

1T

R xy (τ) =⎰x (t ) y (t +τ) dt

T 0

3T

-τ-τT ⎤1⎡T

=⎢⎰4(-1)sin(ωt ) dt +T 41sin(ωt ) dt +⎰3T (-1)sin(ωt -ωτ) dt ⎥ -τ-τT ⎣044⎦2

=sin(ωτ)

π

y (t 参考上图可以算出图中方波y (t ) 的自相关函数

T ⎧4

1-τ0≤τ≤⎪T 2⎪4T

R y (τ) =⎨τ-3≤τ≤T

T 2⎪⎪

⎩R y (τ+nT ) n =0, ±1, ±2,

方波的自相关函数图