静电场的环路定理电势
§4
静电场的环路定理 电势
静电场的环路定理
B
rB dr
一 静电力的功
1. 静电力的功
1）点电荷的情况
q 元功： dA F dl q0 E dl q0 Edl cos 1 q 已知 E 4 0 r 2
rA
r q0
dl E
dr cos dl
q0 q dA dr 2 4 0 r
A
1
AAB dA
A
B
q0 q dA dr 2 4 0 r
B
B A
1 q0 q dr 2 4π 0 r
rB
q
q0 q 1 1 ( - ) 4π 0 rA rB
rA
q0
AAB 只与 q0 的起点和终点位置有关 结论： 而与所经路径无关。
2
A
2）点电荷系的情况
q2 q1 rA2 rA1
q3 rA3 rAi qi
dA F dl q0 E dl
AAB
B A
B
A
dA
Ei
A
q0
E1
rAn
qn
q0 E dl
由场强的迭加原理:
n E Ei i 1
B n
En
4
i 1
n
qi
0 i
r
r 2 i0
E
E3
E2
B
AAB q0
A i 1
n n qq 1 B 1 Ei dl qo Ei dl 0 i ( ) A rAi rBi i 1 4πε0 i 1
试探电荷在任何静电场中移动时, 电场力所做的功只与试探 3 电荷的电量及路径的起点和终点的位置有关, 而与路径无关 .
结论：静电力------保守力; 静电场------保守力场 2. 静电场的环路定理
积分路径：由 A-------B--------A 为闭合路径 S1 A dA F dl q0
S1
S2
B
0 q E dl q0 E dl 0 L
0
A
S2
q0 0
L
静电场的环路定理：
E d l 0
静电场中场强沿任意闭合环路的 线积分（环流）恒等于零。 是静电场保守性的另一种说法
4
二、电势能 电势
1、电势能
A保 EP W
B WB
设 WA 和 WB 分别表示试探电荷 q 0 在起点A和终点B处的电势能
AAB W (WB WA ) WA WB
若取 B点 : WB 0
AAB
B
A
B F dl q0 E dl
A
A WA
"0"
q0 在 A 点处的电势能：W A
AA"0" q0
A
E dl
1）电势能零点的选取是任意的, 一般视问题方便而定, 通常参 考点不同 ,电势能不同。对于有限带电体，一般选无限远为势 能零点 , 实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪器外壳等 为势能零点；对于无限大带电体，常取有限远为势能零点； 2）电势能是属于系统的 (电场 + 试验电荷) 5
例：在带电量为Q 的点电荷所产生的静电场中，电量为 q 的
点电荷在 a 点处的电势能。
解：
E
W 0
Q r 2 0 4 0 r
1
r
Wa Aa q
a
E dl
Q
ra
q
选取合适的积分路径
dr dl
Wa Aa q
ra
1 Qq Q q dr 2 4 0 r 4πε 0 ra
a
E dr
6
2、电势
WA q0
WA A q0
" 0"
"0"
A
E dl
比值与试探电荷无关, 反 映了电场在 A 点的性质 .
E dl
"0"
WA V E d l A 定义A 点的电势VA： A q0
注意： 1、电势零点与电势能零点选取规则相同 2、电势描述电场的性质，与试探电荷无关 3、电势是标量，可正可负，单位：V，伏特
7
3
电势差（电压）
r2
q
P2
r1
P1 把 q0从 P1处移到 P2 处电 场力做的功可表示为:
U12 V1 V2 r 2"0" "0" E dl " E d l 0r " r r2 E dl
1 2
r1
把单位正电荷从 P1 处沿任意路 径移到 P2 处电场力做的功。
A q0 V1 V2
1
A
r2
r1
r2 q0 E dl q0 E dl q0 V1 V2 r
8
注意：
1. V为空间标量函数 2. V具有相对意义，其值与零势点选取有关， 但 U ab 与零势点选取无关。 3. 遵从叠加原理 ：
V Vi
（零势点相同）
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷 单独存在时在该点产生的电势的代数和。
9
4 电势的计算
1) 点电荷电场中的电势
v 0
VP
P
q
r
q0
P
P
E dl
1
+q
P
q r d r 0 4 0 r 2 1 q dr 4 0 r 2
（各点电势为正）
-q
q VP 4πε 0 r
（各点电势为负）
电力线的方向指向 电势降落的方向
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2) 点电荷系电场中的电势 "0" VP E dl
P
"0" n
P
i 1
Ei dl
场强 -----迭加原理
i 1 n
n
"0"
P
Ei dl
n
VPi
i 1
i 1
qi 4πε 0 ri
电势 -----迭加原理
11
VP VP i
i 1
n
连续分布的带电体系
dq
dV
dVP
dq 4 0 r
r
p
dVP
电势-----迭加原理
VP dVP
Q
dq 4 0 r
12
Q
▲5. 电势计算例题：（两种基本方法）
1. 场强积分法（由定义求） 〈1〉由电势定义 V
〈2〉确定 E 分布
A
"0" WA E dl A q0
若路径上各段E 的表达式不同，应分段积分。
选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值 一般, 场源电荷有限分布 :选 V 0 注意： 场源电荷无限分布 :不选 V 0
许多实际问题中选 V地球
〈3〉选零势点和便于计算的积分路径
0
13
[ 例1] 均匀带电球面场中电势分布（
q ， R）
q
由高斯定理
o R
E
P r
E
E
0 qr 3 4 0 r
(r R) (r R)
r
o
R
令 V 0 沿径向积分 1 面外 2
r
qr dr V外 E 外 dr 3 4 0 r P r 1 4 0 r r q
14
V外
面内
1 4 0 r r
R
q
q
o R
E
R
P
P r
E
V内 E dr E内 dr E外 dr
P' P'
qr dr q 恒量 3 4 0 r 4 0 R R
均匀带电球面内部各点电势与球 面处电势相等，
q
r12
o
U
4 0 R
R
r
球面外电势与电量集中于球心的 点电荷情况相同。
1 r
R
15
o
r
例 2：
求：电荷线密度为 的无限长带电直线的电势分布。
解： E 2 o r
V
r
E dl
分析 : 选择某一定点为电势零点,
现在选距离线 a 米的 P0点为电势0点。
a
r
P0
V E dr r a V dr r 2 r 0 a ln ln a ln r r 2 0
P0
V
P0
r
E dl
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2. 叠加法 〈1〉将带电体划分为电荷元
dq
或 V dV
〈2〉选零势点，写出
dq 在场点的电势 dV
〈3〉由叠加原理： V dV
[ 例3] 求均匀带电圆环轴线上的电势分布
dq r
R o
在圆环上取点电荷dq , 解：
令
V 0
dq 4 0 r
17
x
P
x
dV
dq r
R o
x P x
V dV
q
dq 4 0 r
0
q 2 2 12 4 0 ( R x )
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例4.半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。
解：以O为圆心，取半径为LL+dL的薄圆环，带电 dq=ds= •2L •dL 到 P点距离
r x L
2
2
p
x
P点电势：
O L
R
dL
1 dq V 4 0 r
1 4 0 2
R 0
2 2 ( R x x) 2 2 2 0 x L
LdL
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例5
0 x a P
均匀带电细棒，长 L ，电荷线密度 ， 求：沿线、距离一端 a 米处的电势。 解：
dQ λ dx
d Q dx dV 4 0 x
a
L
V dV
a L
a
ln x 4 0
dx 4 0 x
a L a
aL
aL ln ln a L ln a a 4 0
x
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练习： 已知：
RA , RB , q A , qB
qB qA
RB
求： V1 , V2 , V3 带电球面的电势分布： 球面内：V
o RA
1 2
3
q 4 0 R q 4 0 r
球面外： V
qA qB 由叠加原理： r RA : V1 4 0 RA 4 0 RB qA qB RA r RB : V2 4 0 r 4 0 RB q A qB r RB : V3 4 0 r
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