一题多解的小论文
一题多解的简单分析
摘要:正在数学教学中培养学生的发散思维能力是数学新课标的要求。数学的解题方法是多种多样的,当你找到一种简洁的解题方法的时候,做题时往往会达到事倍功半的效果,如果方法不当,就会非常的吃力。因此,我们在做题的过程中一定要注重解题技巧的发现,培养发散的思维,用发现的眼光去看待问题,更多的得出化解问题的办法。一题多解体现出了数学解题的灵活性和多样性,这种思想的应用对数学的学习和应用是相当有益处的,当你真正做到举一反三的时候,说明掌握了这一个问题的解决技巧。
关键词:解题方法 发散思维
一题多解有助于培养学生的发散思维能力,使学生在解题中回忆、联系所学内容,同时巩固新学的知识;有助于锻炼学生的基本技能,同时抑制教学的模型化,促进学生发展自动化;还有助于学生形成良好的科学素质。本文通过对一题多解的例题剖析,指出了学生应用一题多解的妙处。下面由下题作出具体分析: 问题:已知a =5-1,则2a +7a -2a -12=32
解法一:直接代入法
思路分析:题中已知的是
2a +7a -2a -1232a =5-1为一无理数,而在求的是的值,2a 3+7a 2-2a -12中a 的最高次项是三次方,所以首先=5-1想到的是直接代入,也就是将a
将a =
3直接代入求解,具体如下: 5-1代入2a +7a -2a -12322,得 2(5-1) +7(5-1) -2(5-1) -12
32 2=2[(5) -3(5) +35-1]+7[(5) -25+1]-2(5-1) -12
=2[55-15+35-1]+7(5-25+1) -2(5-1) -12
=165-32+35-145+7-25+2-12
=0
结论:对于此题而言a 的最高次项只有三次方,即5-1只是被三次方,计算量比较小,而且不容易出错。但对于更高次方或非出数字的题目而言,直接代入法不仅计算量大而且容易出错,属于低效率方法。
解法二:变形代入法
方法一: 思路分析:a =5-1左边是a ,右边是5-1,计算a 3或更大次方时,要
计算
a +1=
a 35-15的三次方或更大次方,计算比较大,所以将a 5=5-1变成,这样计算的三次方或更大次方时计算量可稍减小。但求解中是,而已知变为a +1=5,所以要将2a 3+7a 2-2a -12变为只含因式a +1的多项式,再将a +1=5代入。具体如下:
用多项式除法分解2a 3+7a 2-2a -12
2a +7a -2a -12a +1
2a +2a 32322a +5a -7
2
225a -2a -125a +5a
-7a -12
-7a -7
-5
即2a 3+7a 2-2a -12=(a +1)(2a 2+5a -7) -5,再把2a 2+5a -7分解成a +1为因式的多项式,有
2a +5a -7a +1
2a +2a
3a -7
3a +3
-10222a +3
即2a 2+5a -7=(a +1)(2a +3) -10=(a +1)[2(a +1) +1]-10
综上所述可得:
2a +7a -2a -12
=(a +1)(2a +5a -7) -5
=(a +1){(a +1)[2(a +1) +1]-10}-5
=
=5[5(25+1) -10]-55(10+5-10) -5232
=5-5
=0
方法二:
思路分析:由方法一看出多项式除法可降低计算量,但效果不大,而且a +1=5
仍为无理数,所以将a +1=5两边平方得(a +1) 2=5,进而化为a 2+2a =4为有理数,再把2a 3+7a 2-2a -12变形,将a 2+2a =4代入。具体如下: 2a +7a -2a -12
=2a (a +2a ) +3a -2a -12
=8a +3a -2a -12
=3(a +2a ) -12
=12-12
=0222232
结论:变形代入比直接代入减少计算量,而且不易出错,方法一运用了高等代数中的多项式除法分解因式,方法二将无理数化为有理数进行计算使错误率降低,而且在求解中逐步将已知量代入降低幂,使计算逐步简单化。但要是已知中式子变复杂的话,变形也许会加大计算量。
解法三:待定系数法
思路分析:由以上两个解法来看,此题重点在于对求解式子的因式分解,所以可运用初等代数中的多项式知识来接此题,具体如下:
方法一:多项式恒等定理
设A (a +1) 3+B (a +1) 2+C (a +1) +D =2a 3+7a 2-2a -12
显然有A =2,2(a +1) 3+B (a +1) 2+C (a +1) +D =2a 3+7a 2-2a -12,即 2(a +1) +B (a +1) +C (a +1) +D
=2a +6a +6a +2+Ba +2Ba +B +Ca +C +D
=2a +(6+B ) a +(6+2B +C ) a +(2+B +C +D )
=2a +7a -2a -[1**********]
由多项式恒等定理有
⎧6+B =7⎧B =1
⎪⎪⇒⎨C =-10⎨6+2B +C =-2
⎪2+B +C +D =-12⎪D =-5⎩⎩
即2(a +1) 3+(a +1) 2-10(a +1) -5=2a 3+7a 2-2a -12,将a +1=5代入得 2(5) +(5) -105-5
=105+5-105-5
=032
即2a 3+7a 2-2a -12=0
方法二:特值法
令f (a )=2a 3+7a 2-2a -12,g (a ) =2(a +1) 3+x (a +1) 2+y (a +1) +z , 令f (a )=g (a ) ,取a 分别为-1, 0, 1时
⎧g (-1) =z =f (-1) =-5⎧x =1
⎪⎪⎨g (0) =2+x +y +z =f (0) =-12⇒⎨y =-10
⎪g (1) =16+4x +2y +z =f (1) =-5⎪z =-5⎩⎩
得g (a ) =2(a +1) 3+(a +1) 2-10(a +1) -5=f (a ) =2a 3+7a 2-2a -12
即2a 3+7a 2-2a -12=2(a +1) 3+(a +1) 2-10(a +1) -5,将a +1=5代入得 2a +7a -2a -12
=2(a +1) +(a +1) -10(a +1) -5
=2(5) +(5) -105-5
=105+5-105-5
=0323232
方法三:综合除法
-127
-2
25
-2
23
-2
2 1-2-5-7-3 -10-127 -5
所以2a 3+7a 2-2a -12=2(a +1) 3+(a +1) 2-10(a +1) -5
结论:待定系数法是初等代数中多项式因式分解的基本方法,对于多项式的题型的解决效果明显,不仅减少计算,而且降低错误率,还很容易掌握。尤其方法三更加简便,只要熟练掌握,对解决多项式分解问题很有帮助。
以上这种一题多解的例子,在我们学习过程中,如果有意识的去分析和研究,是举不胜举、美不胜收的。我想,拿到一个题目,如果这样去深入观察、分析、解决与反思,那必能起到以一当十、以少胜多。通过一题多解,可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密的联系起来,加深对知识的理解,认识和体会
数学是一个整体,激发学习兴趣、创新意识和探索精神,培养创新能力,学会学习。
参考文献
[1] 刘永生、《数学竞赛与数学思维的发展》[D ]、华中师范大学、2004年
[2] 时添善、王润腾、《一道数学竞赛题的多种解法》[J ]、中学数学、1986年02期 [3] 梁凤英、《一道数学竞赛题的解法》[J ]、中学数学杂志、2006年02期 [4] 邢益民、《一道竞赛题的简证》[J ]、中学数学、1991年11期
Abstract: is mathematics teaching to cultivate students' divergent thinking ability in mathematics new curriculum requirements. Mathematical problem solving methods are diverse, and when you find a simple method for solving time, the title will often achieve little effect, if the method is undeserved, will be very difficult. Therefore, we in the question process must focus on problem-solving skills, foster divergent thinking, find the vision to see the problem, more get the solution to the problem. Several solutions to one problem reflected in mathematical problem solving flexibility and diversity, the idea of the application of the learning of mathematics and application is beneficial, when you truly infer other things from one fact when, that master this one problem solving skills.
Key words: problem solving method of divergent thinking