数学物理方程整理

数学物理方程整理

⇒加了（重点）的是往届考试考察的内容

。。略过~~~~(>_

一（重点）线性二次微分方程（PDEs ）

Au xx +Bu xy +Cu yy +Du x +Eu y +Fu =G

2特征方程：A ψ2

x +B ψx ψy +C ψy =0

⎧ξ=ξ(x , y ) 换元，使用：⎨ η=η(x , y ) ⎩

∆=B 2-4AC

i ) ∆>0→hyperbolic

解得ψ1=const 1, ψ2=const 2

⎧ξ=ψ1取⎨⎩η=ψ2

ii) ∆=0→parabolic

解得ψ1=ψ2=const

⎧ξ=ψ1(x,y) 取⎨⎩η=φ(y ) with φ'(y)≠0, 常取η=y

iii) ∆

解得φ(x , y ) ±i ψ(x , y ) =const ⎧ξ=φ(x,y) 取⎨⎩η=ψ(x , y )

ξx ξy ≠0，解出关于ξ, η的方程，再代回原来的变量x , y 。 验证：J =x ηy

二（重点）德朗贝尔(D’Alembert) 方程（PDE 的一种特殊情况）

⎧u tt -a 2u xx =0, x ∈R , t >0⎧ξ=x -at ⎪u (x ,0) =φ(x ), x ∈R 计算后知可取：即是： ⎨⎨η=x +at ⎩⎪u (x ,0) =ψ(x ), x ∈R ⎩t

u (x , t ) =f (x -at ) +g (x +at )

带入边界条件得到D ’Alemgert 公式：

u (x , t ) =11x +at φ(x -at ) +φ(x +at ) +ψ(z ) dz []⎰22a x -at

若是再多了边界条件u (0,t ) =0/u x (0,t ) =0, t ≥0，则验证φ(x ), ψ(x ) 是否为均奇函数或偶函数。

三 分离变量法(separation of variables on finite region)解微分方程

1 （重点）边界条件为0的齐次方程（波方程(wave equation)，热传导方程(heat equation) ，拉普拉斯方程(Laplace equations)）

⎧u tt =a 2u xx ,0

以波方程为例：⎪x 0

⎨u (0,t ) =u (l , t ) =0, t ≥0

⎪⎩u (x ,0) =f (x ), u t (x ,0) =g (x ),0≤x ≤l

取u (x , t ) =X (x ) T (t ) 带入第一个式子中，有X (x ) T ''(t ) =a 2X ''(x ) T (t ) 设T ''(t )

a 2T (t ) =X ''(x )

X (x ) =-λ，代入到原方程组中分开x , t 这两个变量，有

⎧⎨X ''(x ) +λX (x ) =0，T ''⎩X (0)=X (l ) =0(t ) +a 2λT (t ) =0

分λ0分别计算出λn 和相对应的X n (x ) ，T n (t ) ，

∞

u (x , t ) =X 0(x ) T 0(t ) +∑X n (x ) T n (t )

n =1

用边界条件反算出待定的系数。

2 边界条件为0 的非齐次方程

⎧u 2

tt =a u xx +F (x , t )

将⎪⎨u (0,t ) =u (l , t ) =0分为

⎪⎩u (x ,0) =f (x ), u t (x ,0) =g (x )

⎧w tt =a 2w xx ⎧v tt =a 2v xx +F (x , t )

i) ⎪⎨w (0,t ) =w (l , t ) =0和ii) ⎪⎨v(0,t ) =v (l , t ) =0

⎪⎩w (x ,0) =f (x ), w t (x ,0) =g (x ) ⎪⎩v(x ,0) =0, v t (x ,0) =0

最终解u (x , t ) =w (x , t ) +v (x , t )

3 边界条件非0的非齐次方程

⎧u tt =a 2u xx +f (x

将⎪, t )

⎨u (0,t) =μ1(t ), u (l , t ) =μ2(t ) 分为u (x , t ) =w (x , t ) +v (x , t ) ，其中：

⎪⎩u (x ,0) =ϕ(x ), u t (x ,0) =ψ(x )

⎧v tt =a 2v xx +f 1(x , t ) μ(t ) -μ1(t ) ⎪w (x , t ) =μ1(t ) +2x ，⎨v (0,t ) =v (l , t ) =0 l ⎪v (x ,0) =ϕ(x ), v (x ,0) =ψ(x ) 1t 1⎩''(t ) -μ1''(t ) ⎤⎧μ2⎡''f (x , t ) =f (x , t ) -μ(t ) +x ⎥1⎪1⎢l ⎣⎦⎪⎪μ2(0)-μ1(0)⎤⎡x ⎥ ⎨ϕ1(x ) =ϕ(x ) -⎢μ1(0)+l ⎣⎦⎪⎪μ'(0)-μ1'(0)⎤⎡x ⎥⎪ψ1(x ) =ψ(x ) -⎢μ1'(0)+2

l ⎣⎦⎩

注意这里的非齐次因数f (x , t ) ，μ1(t ) ，μ2(t ) 与t 无关，那么v (x , t ) 是一个齐次方程。

⇒另注：这一章也有用极坐标计算的情况，具体处理方式相似，都是将变量分开计算。

四 贝塞尔方程

1 n 次贝塞尔方程：

ρ2F ''(ρ) +ρF '(ρ) +(ρ2-n 2) F (ρ) =0

根据Fuch 定理，贝塞尔方程的标准形式可化为：

∞1x 2-v 2

s k y ''(x ) +y '(x ) +y (x ) =0，所以 y (x ) =x a x ∑k 2x x k =0

令J v (x ), J -v (x ) 为y (x ) 的两个特殊解， ∞⎧(-1) k x 2k +v J (x ) =⋅() ∑⎪v 2⎪k =0k ! Γ(v +k +1) 进一步的化简可得：⎨ k ∞(-1) x 2k -v ⎪J (x ) =⋅() ∑-v ⎪k ! Γ(-v +k +1) 2k =0⎩

当v 不为整数时，y (x ) =C 1J v (x ) +C 2J -v (x )

当v 为整数时，容易有J -n (x ) =(-1) n J n (x ) (cosv π) J v (x ) -J -v (x ) ，y (x ) =C 1J n (x ) +C 2Y n (x ) v →n sin v π

2 （重点）贝塞尔公式-循环公式 这时取Y n (x ) =lim

J 1(x ) =

2d v v (1)⎡x J v (x ) ⎤=x J v -1(x ) ⎣⎦dx J 1(x ) =x -d -v 2-v ⎤(2)⎡x J (x ) =-x J (x )

特殊值： v v +1⎦n 1dx ⎣n +2⎛1d ⎫⎛sin x ⎫J (x ) =(-1) 1⎪ ⎪'(x ) +vJ v (x ) =xJ v -1(x ) (3)xJ v n +x dx x ⎝⎭⎝⎭2'(x ) -vJ v (x ) =-xJ v +1(x ) (4)xJ v n n +11d ⎛⎫⎛cos x ⎫J ⎛1⎫(x ) =2 ⎪ ⎪- n +⎪x dx x ⎝⎭⎝⎭2⎝⎭x 3 贝塞尔公式-性质

(1)J n (x ) 和Y n (x ) 在正轴上有无穷个0点

x →0(2)J 0(0)=1, J n (0)=0(n ≠0), Y n (x ) −−−→-∞

(n ) (3)当m →∞，用x m 来表示J n (x ) 的第m 个零点，零点间的间距趋于π，约为一

J n (x ) ≈

个周期为2π

的函数，满足

Y n (x ) ≈1n ⎫⎛ x -π-π⎪42⎭⎝1n ⎫⎛ x -π-π⎪42⎭⎝ 取μ(n )

m (n ) x m =，定义 R

2R 2(n ) (n ) ⎡⎤⎡N =r J (μ⎣m ⎦⎰0⎣n m r ) ⎤⎦dr

22R 21⎡2n 2⎤(n ) (n ) '(μm R ) ⎤⎡=J n +⎢R -((n ) ) ⎥⎡J n (μm R ) ⎤⎣⎦⎣⎦22⎣μm ⎦

所以，对于定义在[0, R ]上的f (r )

(n ) 可以展开成傅里叶贝塞尔级数：f (r ) =∑f m J n (μm r ) m =1∞

其中f m =1

(n ) ⎡⎤N m ⎣⎦2⎰a 0(n ) rf (r ) J n (μm r ) dr

五 雷德戴尔多项式(Legendre polynomial)（自己凭感觉音译的~~(>_

1 v 次雷德戴尔方程

d 2P dP (1-x ) 2-2x +v (v +1) P (x ) =0 dx dx 2

根据柯西准则，方程解可写为P (x ) =∑a k x k 的形式。

k =0∞

当v 为整数等于n ，求解化简后得到第一类n 阶雷德戴尔多项式：

(-1) k (2n -2k )! P n (x ) =∑n x n -2k ，其中 k =02k !(n -k )!(n -2k )! N

⎧n , n =2k , k =0,1, 2... ⎪⎪2N =⎨

⎪n -1, n =2k +1, k =0,1, 2... ⎪⎩2

我们也有第二类雷德戴尔多项式Q n (x )

方程的最终解为P (x ) =C 1P n (x ) +C 2Q n (x )

2 （重点）雷德戴尔多项式-性质 1d n

2n (x -1) 微分表达：P n (x ) =n n 2⋅n ! dx

积分表达：P n (x ) =1

π⎰π

0⎛⎫x +i (1-x ) cos ϕ ⎪d ϕ ⎝⎭12n

P 0(x ) =1; P 1(x ) =x ;

1(3x 2-1); 2

1P 3(x ) =(5x 2-3x ); 2特殊值： 1P 4(x ) =(35x 4-30x 2+3); 8

1P 5(x ) =(63x 5-70x 3+15x ); 8

P n (1)=1; P n (-1) =(-1) n . P 2(x ) =

⎧0, n ≠m ⎪满足关系：⎰P n (x ) P m (x ) dx =⎨2 -1, n =m ⎪⎩2n +11

3 雷德戴尔多项式-循环公式

(1)(n +1) P n +1(x ) -(2n +1) xP n (x ) +nP n -1(x ) =0,(n ≥1)

(2)(x 2-1) P n '(x ) =nxP n (x ) -nP n -1(x ),(n ≥1)

(3)nP n (x ) +P n '-1(x ) -xP n '(x ) =0,(n ≥1)

(4)P n '+1(x ) =xP n '(x ) +(n +1) P n (x ),(n ≥0)

六（重点）傅里叶变换和拉普拉斯变换

1

傅里叶变换：F (λ) =+∞

-∞f (x ) e i λx dx

反变换：f (x ) =+∞

-∞F (λ) e -i λx d λ

∞2 拉普拉斯变换：L (p ) =⎰f (t ) e -pt dt 0

1s +i ∞pt L (p ) e dp ⎰s -i ∞2πi

⇒性质等见信号与系统，讲的更详细

反变换：f (t ) =

附录：

一 往届考试题型（数理方程部分）：Q1-填空，Q2~Q8-大题

Q1-i) 解德朗贝尔方程（代进公式去~(>_

Q1-j) 雷德戴尔积分计算（性质运用部分）

Q5 分离变量解微分方程（貌似目前考过的都是波方程和热传导方程，也就是第四章的第一部分）

Q6 贝塞尔公式（性质运用部分）

Q7 PDE/傅里叶变换（PDE 注意算的时候仔细就好）

Q8 拉普拉斯变换（傅里叶变换和拉普拉斯变换都是直接套公式。。）

二 最好都背下来的那一堆（分离变量法中用到）

1 X ''(x ) -β2X (x ) =0⇒X (x ) =Ae βx +Be -βx

2 X ''(x ) +p 2X (x ) =0⇒X (x ) =A cos px +B sin px n π21n πx 3 f (x ) =∑a n sin x ⇔a n =⎰f (x )sin dx 0l l l n =1∞

11⎧a =f (x ) dx 0∞⎰⎪0n π⎪l x ⇔⎨4 f (x ) =a 0+∑a n cos 1l n =1⎪a =2f (x )cos n πx dx n ⎪l ⎰0l ⎩