关于用初等变换求向量组的极大无关组
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高等数学研究Vol16,No,4
STUDIESINCOLLECEMATHEMATICSDec.,2003
关于用初等变换求向量组的极大无关组
张肇炽 (西北工业大学 西安 710072)
摘 要 在用初等变换法求向量组的极大线性无关组的教学中,不少存在一些误区。
关键词 向量组 线性无关 极大线性无关组 初等变换 中图分类号 O15112,O24116
Ξ
求向量组的极大线性无关组,最方便,最常用的方法可能要数初等变换法了,每一本线性代数的初等教程对此都有详细介绍。但是不无遗憾的是在这一部分的教学中,往往不同程度地存在一些误区,本文将就几种常见做法及其相关问题,进行一些讨论。
一、常见模式之一
设有一组向量a1,…,am,要判断它的线性相关性,根据定义,只要由方程
k1α1+…+km0
解出k1,…,km,就可以了。
)1例1 设α1=(1,-2,-1,-2,α2(41),5,4,-1,0),α4=(1,1,1,1,3
由(1)有
(k,211,2+4k2,k2,2k2,k2,3k2)+(2k3,5k3,4k3,-k3,0)+(k4,k4,k4,k4,
(1)
k)34
这等价于齐次线性方程组
k1+4k2+2k3+k4=0,
-2k1+k2+5k3+k4=0,-k1+2k2+4k3+k4=0,-2k1+k2-k3+k4=0,2k1+3k2+
k=034
(2)
把(2)写成矩阵形式
αααα1 2 3 4 1-2-1-22
412
13
2
54-40
1111k1k2k3k4
=0(3)
(这里,系数矩阵的列正是αα解此方程,对系数矩阵进行初等行变换:1,…4,写成了列向量形式)。
Ξ收稿日期2000-12-25;修改稿:2003-05-07
第6卷第4期 张肇炽:关于用初等变换求向量组的极大无关组19
49000
29001
130=B,01-2
A=
41213
2
54-10
111110000
4969-5
2963-4
-
13231000
4900
290-61
1301000
-1-22
～～000～0
回代得k1=1,k2=-1,k3=0,k4=3是一组非零解,从而向量组{α1,α2,α3,α4}线性相关。
上述过程,同时也得到了该向量组的极大无关组。这是由于初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系,于是由B直接观察得知α1,α2,α3,就是一组极大线性无关组,并且不难看出有α4=3(α2-α1)。
这个例子清楚地说明了初等变换用于求向量组的极大无关组时,用列向量形式构成矩阵,并且施行行变换这一常见模式及其依据的理由。事实上,行变换正是基于通常解线性方程组的三个基本运作,而要求解(1)中的ki=(i=1,…,m)就要求解一个由αi(i=1,…,m)矩阵的方程组(2)或(3)
至此,读者或问:可否以行向量构成矩阵,?
)对此,一些书中给出了否定的回答1,α2,α3,α4,的列矩阵,不能写成行向量矩阵,ⅱ,对A!这是一个误区。
为什么?初一看,,上面的回答似乎理所当然。但是,再一想,,无论是行向量组施行列变换或是列向量组施行行变换,都是,,而对应两个变换完全一致,又有何不可?读者只要换过来一试,。
如果是对一个矩阵分别施行行变换和列变换(这里,已经离开了方才的设问),那就是对两个不同的向量组分别施行的变换,求出的极大无关组,也自然是分别属于两个不同向量组的了。
二、常见模式之二
不同于模式一,这里用行向量组成矩阵,并且施行行变换。也来看一个例子,为了方便后面的讨论,它选自文[1]援引自[2]中的一个示例。
例2 求下列向量组的极大线性无关组:
α1=(1,1,1,0),α2=(1,1,0,0),α3=(3,3,2,0),α4=(1,0,0,0),α5=(3,2,1,0)
11
11
10
00
r12(
r13(r14(r15(
以每个向量为一行组成5×4矩阵,有3320
[1**********]0
1-1000
1-1-1-1-1
0000r34(-1)r35(-1)
----1)3)1)3)
100000
100-1-1-1
1-1-1-1-1-2
00000r24r25(-1)
10000
1-1000
1-1-100
0000r42
10000
100-10
10-1-10
000,0
20高等数学研究 2003年12月
得出结论:α1,α2,α4,即为原向量组的一个极大无关组。这也是不少教材中采用的方法。文
[1]指出,这个结论是对的,但其方法是错误的。理由是这一方法在行变换将原矩阵化为梯形阵后,必须把作过的行交换换回来,这样得到的非零行的序号才是极大无关组内向量的序号,而由于众所周知的行交换变换的不独立性,即它完全可由连续施行另两类变换所代替,从而有可能因序号的不同导致出现差错,有如[1]中就该例指出的那样。
文[1]正解地指出了模式二在求得正确结果的同时却在方法上犯了错误,但是并没有找出问题的症结所在。对行向量矩阵施行行变换完全正常,而且如果不是刻意回避行交换的话,通常也不容易出现错误结果,但又的确存在上面述及的可能误导现象。问题究竟何在?为了回答这一疑问,不妨先来看下的一种模式。
三、模式之三
注意到对行向量施行行变换时,本身就是在对这些向量作线性运算,为此,要求得一组向量的极大线性无关组,就是要找出使得这些向量彼此间组合为零的所有那些关系耒,从中确定出哪些向量可以是线性无关的,哪些向量则是它们的线性表出。仍然来看方才的例2,,在矩阵的右侧添加一列向量的序号,1111110α1110α101313
13002020α
0α0α1
0000-111-2
2-0α
031
00
0-10
0-10
2-α1α
α0α3-21-α2
从第2
04-1αα5-31
0α4-α1
α5-α1-α2-α4
3,即极大无关组由3个向量构成,而从第3和第5行为零,即
αα3-21-α2=0,
α5-α1-α2-α4=0
α解得α3=21+α2,α5=α1+α2+α4,即α1,α2,α4是一组极大线性无关组。易知,从这两个组合为
零的关系,可以写出所有其它的极大无关组,例如α1,α3,α4等。至此,已经回答了模式二在方法上的症结何在的问题了。原来,施行行变换的结果,不应是去找出那些不为零的行向量的序号,而是要去面对那些组合为零的线性关系。事实上,序号是无关紧要的。如在本例中,在施行一组行变换得到式中第二个矩阵,如果保留第3行,用它消去第2行,再连同第4行消去第5行,也是一样的。如果一定要强调这里三个不要零的行表示三个线性无关的向量,那么如同本例也只是表示{α1,α2-α1,α4-α1}是一组线性无关向量而已!其次,现在已经看清,模式二的解题过程,还多做了若干虚功。那是由于刻意去形成所谓梯形阵,去做行交换然后再换回来的缘故。其实这些是没有必要的,应当怎样方便、简捷就怎样去做。
模式三的做法在诸如[3]等一些教材中已有介绍。为了更便应用,现再使格式规范如下:例3 把例1中的α1,α2,α3,α4按行向量排列,右侧的向量序号按对应行逐列依次排开,对此矩阵做行变换
1421
-2151
-1241
-21-11
2303
α1
α2
○
α3
○
α4
第6卷第4期 张肇炽:关于用初等变换求向量组的极大无关组21
1000
-2993
-1662
-2933
2-5-4-3
α1
-4α1α2-2α1-α1
00
○
α30
α40
1000
-2900
-1600
-29-60
2-510
α1-4α12α131
α2-α2α3-3
α4
α由矩阵秩为3,且末行α1-α2+34=0,可知,α1,α2和α4中的任意二者同α3,都组成一组极大
无关组。
四、关于线性方程组求解
在以上讨论中,模式一是对列向量矩阵(3),(2的常规求解过程得到解向量,无关组。算确定其线性关系,,按照模式三运算的结果,也同时得到了方程组(2)1,3),。不过如果从方程组(2)来说,这,它意味着是在方程的不同未知数的系系数之间进行运
)算,!(然而,恰恰是这样运算能够更方便地获得结果。
其实,如果从向量组的观点来看,疑团马上就释然了。比如,例1中给出了一组共4个5维向α量α1…4按方程组(2)列出式(3)中的系数矩阵A5×4,对其施行行变换就是对此4个向量分别在其
α分量之间进行运算;到了例3中同样是这些向量α1…4,按行向量排阵施行行变换,则是在不同向
量的对应分量之间进行运算,这不是十分自然的吗?
这样,仅从线性方程组(2)而言,完全可以把系数矩阵转置,再按照模式三的格式进行行变换直接求得解向量,而不用经过一个回代的过程了。也许,人们并不喜欢一开始的矩阵转置,那么根据前面讨论过的矩阵行列变换之间对应关系,不妨仍然直接写出原来的系数矩阵,然后只要对它施行列变换就是了。这样来解线性方程组,不妨叫做“列变换法”或者“立式”解法(以区别于传统的方法),其实这就是模式三的解法。
参考文献
[1]张新发1初等变换的关系及可逆矩阵的分解[J],大学数学,(2)19[2]谢国瑞1线性代数及应用[M],北京:高等教育出版社,1999[3]张肇炽1线性代数及其应用[M],西安:西北工业大学出版社,1992
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