与三角形有关的概念
与三角形有关的概念
三角形的定义和分类：
1、三角形及有关概念
（1）由 的三条线段 相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
B
c
A
(1)
C
（2）组成三角形的线段叫做三角形的 ，相邻两边所组成的角叫做三角形的 ，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的 。 （3）三角形ABC用符号表示为三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用,顶点A所对的边BC可用表示. 2、三角形的分类
我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
按角分类:
三角形 ⎧ 直角三角形
⎨
⎩ 斜三角形 ⎧ 锐角三角形
⎨
⎩ 钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。 三边都相等的三角形叫做 ； 有两条边相等的三角形叫做 ； 三边都不相等的三角形叫做 。
底角
底边
底角
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。 按边分类: 三角形 ⎧
⎨
⎩ ⎧ ⎨⎩ 3、三角形三边的不等关系
探究：任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？
结论：三角形的任意两边之和 第三边. 应用：
1、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A.1、2、3 B.1、2、4 C.2、3、4 D.2、3、6 2、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
3、现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 〔 〕的木棒
A.10cm B.20cm C.50cm D.60cm
4、任何一个三角形的三个角中至少有〔 〕
A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个直角 D、一个钝角 5、在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形.
6、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为〔 〕 A.13 B.15 C. 14 D. 13或15
7、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______. 知识盘点：
8、用一条长为35㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为7㎝的等腰三角形吗？为什么？
和三角形有关的三种重要线段：
1.三角形的高
(1) 从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 (2)任意作一个△ABC，并作各边的高，观察：三条高线出现了什么情况？
2.三角形的角平分线 (1)在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线。 (2) 任意作一个△ABC，并作各边的角平分线，观察：三条角平分线出现了什么情况？
3.三角形的中线
(1)在三角形中,连接 与它 的线段，叫做三角形的中线. (2) 任意作一个△ABC，并作各边的中线，观察：三条中线出现了什么情况？
4.三角形的稳定性
（1）三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
（2）钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。 你还能举出一些例子吗？ 应用一：
1. 如图，以AE为高的三角形是
A
C
2.(1)三角形的三条高所在的直线相交于一点。这点可能在三角形的 ，可能在三角形的 ，
D E
可能在三角形的 。
(2)三角形的三条中线相交于一点。这点在三角形的 . (3)三角形的三条角平分线相交于一点。这点在三角形的 。
3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是[ ]
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
4. 三角形的稳定性： 具有稳定性， 具有不稳定性.
5．如图，工人师傅把新做好的门框上方钉两根木条后存放起来，这是防止 ，根据是 .
D
6.如图，AB⊥BD于B, DC⊥AC于C,AC与BD
交于点E,那么△ADE的边DE上的高为 ，AE上的高为 .
7. 下列说法正确的是〔 〕
A
、直角三角形只有一条高 B、三角形的三条中线相交于一点 C、三角形的三条高相交于一点 D、三角形的角平分线是射线
8. 在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长.
B
D
C
9、在△ABC中,高CE,角平分线BD交于点O, ∠ECB=50°,求∠BOC的度数.
B
应用二：
1.在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,S△ABC＝ . 2.在△ABC中,AB=AC, AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。
00
3.如图，△ABC中,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠C＝60，∠B＝28，求∠DAE的度数。
E C
4.如图，线段AB、CD相交于点O，能否确定AB+CD与AD+BC的大小，并加以说明．
三角形内角和的探讨：
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出
D0A
∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。
O
CB
图1
想一想，还可以怎样拼？
① 剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。
图2
②把∠B和∠C剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。
由图1你能想到证明三角形内角和等于180的方法吗？ 方法一
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180。
证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180
∴∠A+∠B+∠ACB=180。
即：三角形的内角和等于180。
由图2你又能想到什么证明方法？请写出过程。 方法二：
由图3你又能想到什么证明方法？请写出过程。 方法三：
结论：三角形的内角和等于1800
应用：
1.如图，BE平分∠ABC,CD平分∠ACB， ∠A＝50，求∠BOC的度数。
C
2. 如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
三角形的外角：
三角形外角的概念
如图，∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形 与 的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
想一想，三角形的外角共有几个？
答:共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取
一个外角
② 三角形外角的性质
(1) 三角形的一个外角的两个内角之和。 (2) 三角形的一个外角 (3) 三角形的外角和等于
应用一：
1、若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2、如图,∠CAB的外角为120°,∠B为40°,则∠C 的度数是___ . 3、如图1，AB∥CD，∠A= 38°∠C= 80°，则∠M为（ ） A、52° B、42° C、10° D、40°
C
1
MB
AE
2
3
AD
︒
120︒
145
CB
2题 3
题 5题 4题
BA
C
D
B
1
D
B
1
CE
D
4、如图，在△ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，∠1 与∠A的大小关系是 5、如图，∠α＝450，则x= .
6. 如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度. 7.如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
A
AFA
D
C
E
D
B
P
(3)
7题 8 题
8.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
9. 如图所示,△ABC两外角的平分线BP、CP交于点P,已知∠A=50，求∠P的度数.
应用二：
1、 如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB。试探究∠BOC与∠A的关系；
CB
2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB外角的平分线相交于点P。试探究∠P与
∠A的关系；
CDB
3、如图，（1）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______; （2）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______;
（3）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______;
4、如下图，AC∥BD分别探究下列图形中∠A、∠B、∠P的关系，并说明理由； 图一：
P
DB
图二： A
图三：
DB
图四：
B