行列式的简单应用

摘 要................................................................................................................................ 1 关键词 . ............................................................................................................................. 1 一、引 言......................................................................................................................... 2 二、行列式的计算方法 ..................................................................................................... 2

2.1化三角形法........................................................................................................... 2 2.2爪形行列式........................................................................................................... 3 2.3 可化为爪形的行列式............................................................................................ 4 2.4爪型行列式——递推公式法 .................................................................................. 5 2.5拆项法.................................................................................................................. 7 2.6提取公因式法 ....................................................................................................... 8 2.7数学归纳法........................................................................................................... 9 2.8利用范德蒙德行列式法 ........................................................................................11 三、行列式的简单应用 ................................................................................................... 13

3.1行列式在初等数学中的应用 ................................................................................ 13

3.1.1利用行列式分解因式 . ................................................................................ 13 3.1.2用行列式证明不等式和恒等式 . .................................................................. 13 3.2行列式在解析几何中的几个应用 ......................................................................... 14

3.2.1 用行列式表示三角形面积 ......................................................................... 14 3.2.2用行列式表示直线方程 ............................................................................. 15 3.2.3三线共点，三点共线 . ................................................................................ 16

四、总结 ........................................................................................................................ 17 参考文献 ........................................................................................................................ 18

论 文 内 容 摘 要

一、引 言

行列式是研究数学的重要工具之一，在线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、高等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、常微分方程中等有着非常广泛的应用, 用行列式来计算是很便。以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文将对行列式的解题方法 .行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的简单应用进行总结归纳。

我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的2个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系。在其他学科中也有着非常广泛的应用，在本文将作简单的介绍。

二、行列式的计算方法

2.1化三角形法

此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式. 三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号

a b a b b b a

b b a

1

b a -b 0

b 0 a -b

例：计算n 阶行列式D n =

b b

1b a b

n -1

解 D n =[a +(n -1)b ]

11

=[a +(n -1)b ]

00

=[a +(n -1)b ]

(a -b )

2.2爪形行列式

a 0c 1

b 1a 10 0

b 20a 2 0

b n 00, a n

c i a i

D n +1=c 2

c n

a i ≠0, i =1, 2, 3 n .

解：把所有的第i +1列(i =1, 2 n ) 的-

D n =0

a 1

a 1+b 1

a 1 a 1

a 2a 2a 2+b 2

a 2

倍加到第一列，得：

a n a n a n

a n +b n

n +1

r i -r 1(i =2, 3 n +1)

-1-1 -1

n

a 1b 10 0a 1b 1 0

a 20b 2 0

a n

a n 00 b n

+

c i +1b i

∑

i =1

a i b i

n

c 1+

(i =1, 2 n +1)

0 0

0=b 1b 2 b n (1+ b n

∑

i =1

a i b i

).

10D n =0

a 10a 1+a 2

a n +a 1

a 2

a n a 1+a n a 2+a n

n +1

1

r i -r 1(i =2, 3 n +1)

-1-1 -1

a 1-a 1a 2 a n

a 2a 1-a 2 a n

a n a 1a 2 -a n

n +1

a 1+a 2

a n +a 2

1000 010-1-1 01a 1a 2 a n 01a 1a 2 =a 1-1-a 1a 1 a 1a 1

-1-2a 10 a 2-1a 2-a 2 a 2c i -c 1(i =3, 4 n +2) a 2

-10-2a 2

a n

-1

a n

a n

-a n

n +2

a n

-1

1-n 1

n

122

∑a -1-1 -1

i =1

i 1

n

c 1+c i (i =3, 4 n +2) 2

∑

a n i

1-2

a 1a 2 a n i =1

c 00-2a 10 0

2-

12a c j (j =1, 2 n )

j

000-2a 2

0 0

-2a n

1-n 1n

1=22

∑

i =1

a n

i (-2) n a a 2) 2

-

1n

n 1 n =(-2)

n -2

a 1a 2 a n [(n -∑

a i 2

∑

a i

1-

i , j =1

a ]

j

i =1

2

这类行列式有明显的特点，只有三行（列）有数字，其他全为零，这三行（列）不一定在第一行，第一列。但是主对角线上一般不能为零。当然也有一些不是这样的但是可以通过适当的变形，化为这类行列式。

2.3 可化为爪形的行列式

例题（1）

-1a n 00 -2a n

n +2

0D n =0

a 1a 1+b 1

a 1 a 1

a 2a 2a 2+b 2

a 2

a n a n a n a n +b n

n

n +1

r i -r 1(i =2, 3 n +1)

-1-1 -1

a 1b 10 0

a 20b 20

a n 00 b n

+

c i +1b i

∑

i =1

a i b i

a 1b 1 0

a n

n

c 1+

(i =1, 2 n +1)

0 0

0=b 1b 2 b n (1+ b n

∑

i =1

a i b i

).

例题（2）

10=a 1a 2 a n

01-1-1 -1

0a 1-a 1a 2 a n

0a 2a 1-a 2 a n

0a n a 1a 2 -a n

1-

n 2

i

10a 1

c i -c 1(i =3, 4 n +2) a 2

n +2

01-1-1 -1

-1a 1-2a 10 0

-1a 20-2a 2

-1a n 00 -2a n

n +2

a n

1

n

∑2

1-00 0

1a i n 2

-1-1 -1

i =1

c 1+c i (i =3, 4 n +2) c 2-

12a j

c j (j =1, 2 n )

1

n

∑a

2

i =1

a 1-2a 10 0

a 20-2a 2

a n 00 -2a n

00 0

1-=12

n

n 2a i

12

n

∑

i =1

1a i n 2

n

(-2) a 1 a n =(-2)

n n -2

a 1a 2 a n [(n -2) -

2

∑

i , j =1

a i a j

]

∑

i =1

1-

2.4爪型行列式——递推公式法

94

59400

59

0 94

000 59

例题 （1）D n =0

00

509

5

4

0 59

n -1

解：D n

按c 1展开

4

9D n -1-4=9D n -1-20D n -2,

即有D n -5D n -1=4(D n -1-5D n -2) ,or D n -4D n -1=5(D n -1-4D n -2)

于是有D n -5D n -1=42(D n -2-5D n -3) = =4n -2(D 2-5D 1) =4n -2(61-45) =4n , 同理有D n -4D n -1=52(D n -2-4D n -3) = =5n -2(D 2-4D 1) =5n -2(61-36) =5n

n

D n -5D n -1=4⎫⎪n +1n +1即⇒D n =5-4 ⎬n

D n -4D n -1=5⎪⎭

（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）

a +b 1

ab a +b 1 00

0ab a +b 00

000 a +b ab

000 ab a +b

n -2

(2)D n =

0 00

解：D n

按c 1展开

(a +b ) D n -1-abD n -2D n -aD n -1=b (D n -1-aD n -2) = =b

(D 2-aD 1)

同理 D n -bD n -1=a (D n -1-bD n -2) = =a n -2(D 2-bD 1). 而D 2=a 2+ab +b 2, D 1=a +b

∴D n -aD n -1=b

n -2

(a +ab +b -a -ab ) =b ; (a +ab +b -a -ab ) =a .

2

2

2

n

222n

D n -bD n -1=a

n -2

⎧a n +1-b n +1

⎪

由以上两式解得D n =⎨a -b

⎪(n +1) a n ⎩

a ≠b a =b

所谓利用递推关系法，就是先建立同类型 n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式（在后面的数学归纳法中也要用到），再利用递推关

系求出原行列式的值. 。这种方法有固定的模式，我们只要观察它有着这样的特点，就可以直接套用这种方法。

2.5拆项法

a 1+λ

1

a

2

2

a n a n a n +λn

+

a n a n a n +λn

λ1

0 0

a 2a 2+λ2

a n a n a n +λn

例题 D n =

a 1 a 1

a 2+λ a 2

a 1a 2a 2+λ2

a 2

a 1=

0 0

a 2

a n a n

D n =解：

a 1 a 1

λ2

λn

+λ1D n -1=a 1λ2 λn +λ1D n -1„„

⎛

=λ1λ2 λn 1+

⎝

a c

b a c c

b b a c

n

∑

i =1

a i ⎫⎪ λi ⎭

b b b a

例题D n =c

c

解：

c c D n =c

c

b a c c

b b a c

b b b + a

a -c 00 0

b a c c

b b a c

b b

11

b a c c

b b a c

b b b a

n

b =c 1 a

1

+(a -c ) D n -1

10=c 0

b a -b c -b c -b

b 0a -b c -b

b 00 a -b

n

n -1

+(a -c ) D n -1=c (a -b )

+(a -c ) D n -1①

b c

又D n =c

c 1c =b c

c

1a c c

1b a

b a c c

b b a c 1b

b b b + a

a -b c c c

0a c c

0b a c

0b

b a

b +(a -b ) D n -1 a

n

n

c

①⨯（a -b ）-②⨯(a -c ) ，得 (c -b ) D n =c (a -b ) -b (a -c )

．

当c ≠b 时，D n =[c (a -b ) -b (a -c ) ]/c -b 当c =b 时，D n =[a +(n -1) b ](a -b )

n -1

n n

此类题型是利用行列式的性质，将所给行列式拆成两个行列式的和，再利用递推，化三角形法计算出行列式的值。拆项不是一定只能拆成两项，可以是多项。毫无疑问对于初学者来说拆项法有一定的难度。一般有如下情形的可以采用这种方法。

情形：1. 行列式中有某行(列) 是几行(列) 之和，可直接利用性质拆项。

2. 行列式中的某行(列) 只有个别元素是两项之和，或者某行(列) 不是

两项之和的形式，这时可以用恒等变形，使之作恒等变形，使某某行(列) 全部为两项和的形式。

2.6提取公因式法

1

12-x 33

2

2211

3359-x

2

例：计算D =

122

解：由行列式定义知D 为x 的四次多项式．

又，当x =±1时，1，2 行相同，有D =0，∴x =±1为D 的根．

当x =±2时，三，四行相同，有D =0, ∴x =±2为D 的根． 故D 有四个一次因式，x +1, x -1, x +2, x -2 设 D =a (x +1)(x -1)(x +2)(x -2),

1

1233

2211

3359

=-12，即a ⋅1⋅(-1) ⋅2⋅(-2) =-12. ∴a =-3.

令x =0, 则D =

122

∴D =-3(x +1)(x -1)(x +2)(x -2)

若行列式满足下列条件之一，则可以用此法： (1)有一行（列）元素相同，称为“型”

(2)有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”

(3)各行（列）元素之和相等，称为“全和型”. 满足条件（1）的行列式可直接提取公因式 a 变为“1，1，„1 型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶. 满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法.

2.7数学归纳法

数学归纳法是证明行列式常用的方法，首先建立递推关系，当递推关仅涉及相邻两项时用“第一数学归纳法”，当涉及相邻三项时用“第二数学归纳法”， 一般我们用的是第一数学归纳法，下面简单的介绍两种数学归纳法。

第一数学归纳法:

设有一个与自然数n 有关的命题，若 (1)当n=1时命题成立

(2)假设当n=k时成立，可以推出n=k+1时命题成立 那么命题对一切自然数n 都成立。 第二数学归纳法：

设有一个与自然数n 有关的命题，若 (1)当n=1时命题成立

(2)假设当n

+a 1

D n =

1 1

11+a 2 1

11 1+a n

1a 1

)

=a 1a 2 a n (1+

∑

1a i

)

证：当n =1时，D 1=1+a 1=a 1(1+

，结论成立．

k

假设n =k 时结论成立，即D k =a 1a 2 a n (1+∑

i =1

1a i

) ，对n =k +1，将D k +1按最

一列拆开，得

+a 1

1

D k +1=

11a 11=11

1a 2 11

11+a 2 11 11

1111 a k 1

00

11 1+a k

1

11 +11

+a 1

1 11

11+a 2 11

11

11 1+a k

1

0000a k +1

0+a k +1D k =a 1a 2 a k +a k +1D k 01

k

=a 1a 2 a k +a k +1⋅a 1a 2 a k (1+

∑

i =1

1a i

k

) =a 1a 2 a k +1(1+

∑

i =1

1a i

)

所以n =k +1时结论成立，故原命题得证．

cos α1

12cos α

0 2cos α

1

0 12cos α

=cos n α

（2）证明：D n =

证：n =1时，D 1=cos α. ，结论成立． 假设n ≤k 时，结论成立．

当n =k +1时，D k +1按第k +1行展开得

cos α1

D k +1=2cos αD k +(-1)

k +1+k

12cos α

0 2cos α

1

0 12cos α

=2cos αD k -D k -1

由归纳假设D k +1=2cos αcos k α-cos(k -1) α=2cos αcos k α-cos k α

=2cos αcos k α-cos k αcos α+sin k αsin β=cos k αcos α+sin k αsin β=cos(k +1) α

于是n =k +1时结论亦成立，原命题得证．

这种方法一般是先建立同类型n 阶与n-1 阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值. ，这样的联系需要我们去找，通常只需做简单的变换就可以看出。

2.8利用范德蒙德行列式法

1x 1

2

1x 2x 2x 2

2

1x n x n x n

2

(1)D n =

x 1x 1

n -2n

n -2n

n -2n

x 1x 2x n

解：考察n +1阶范德蒙行列式

1x 1

f (x ) =

x 1x

2

1x 2x 2x

2

x

1x n x n

2

1x x

2

n -1

1n

n -12n

n -1n n

x x

n -1n

=(x -x 1)(x -x 2)(x -x n )

∏

1≤j

(x i -x j )

x 1x 2x n

显然D 就是行列式f (x ) 中元素x n -1的余子式M n . n +1，即

D n =M

n , n +1

=-A n , n +1（A n , n +1为代数余子式）

又由f (x ) 的表达式（及根与系数的关系）知，f (x ) 中x n -1的系数为

-(x 1+x 2+ +x n )

∏

1≤j

(x i -x j ).

即A n , n +1=-(x 1+x 2+ +x n )

∴D n =(x 1+x 2+ +x n )

1

1x 2x 2

2

∏

1≤j

(x i -x j )

∏

1≤j

(x i -x j )

1x n x n

(2)D n =

x 1x 1

2

n

n

n

解：考虑n +1级范德蒙行列式

1x 1

g (x ) =

x 1x 1

2

1x 2x 2x 2

2

11x n x n x n

2

x x

2

n -1n

n -1n

n -1n

x x

n -1n

=(x -x 1)(x -x 2)(x -x n )

∏

1≤j

(x i -x j )

x 1x 2x n

显然D n 就是行列式g (x ) 中元素的余子式M 2, n +1，即

D n =M 2, n +1=(-1)

n +3

A 2, n +1，由f (x ) 的表达式知，x 的系数为

由f (x ) 的表达式知，x 的系数为：

-(x 2x 3 x n +x 1x 2 x n + +x 1x 2 x n -1)

∏

1≤j

(x i -x j )

即 A 2, n +1f (x ) x -(x 2x 3 x n +x 1x 2 x n + +x 1x 2 x n -1) +

∴D n =(-1) (x 2x 3 x n +x 1x 2 x n + +x 1x 2 x n )

n

∏

1≤j

(x i -x j ) .

∏

1≤j

(x i -x j )

著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果. 从本例题我们看出它的优越性。

三、行列式的简单应用

3.1行列式在初等数学中的应用

3.1.1利用行列式分解因式

行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.

例分解因式：ab 2c 3+bc 2a 3+ca 2b 3-cb 2a 3-ba 2c 3-ac 2b 3. 解：原式=abc (bc 2-b 2c ) +(a 2c -ac 2) +(ab 2-a 2b )

=abc bc (c -b ) +ab (a -c ) +ab (b -a )

c b a c b

=abc bc

bc

=abc ab

ac

11

+ac 1

a c

11

-ab bc

a b

11a

100

1=abc ab -bc 1

ac -bc

c -a b -a

=abc (ab -bc )(b -a ) -(ac -bc )(c -a )

=abc b (a -c )(b -a ) -c (a -b )(c -a ) =abc (a -b )(c -a )(b -c )

例题分解因式: (cd -ab ) 2-4bc (a -c )(b -d ) 解: 原式=

cd -ab 2(bc -cd )

2(ab -bc ) cd -ab

=

cd -ab 2(bc -cd ) 1-1

ab +cd -2bc -(ab +cd -2bc )

=(ab +cd -2bc )

cd -ab 2(bc -cd )

=(ab +cd -2bc )

2

.

3.1.2用行列式证明不等式和恒等式

我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式

和不等式.

例：已知a +b +c =0, 求证a 3+b 3+c 3=3abc . 证明: 令D =a 3+b 3+c 3-3abc , 则

a D =c

b

b a c

c b a

r 1+r 2+r 3

a +b +c =

c b

a +b +c

a c

a +b +c

b a

0=c b

0a c

0b =0. a

命题得证.

例题 ax +by =1, bx +cy =1, cx +ay =1, 求证ab +bc +ca =a +b +c . 证明：令D =ab +bc +ca -(a 2+b 2+c 2) , 则

a D =c

b

b a c

-1-1-1

c 3+c 1x +c 2y

222

a =

c b

b a c

ax +by -1a b a c

00=00

cx +ay -1=c bx +cy -1

b

命题得证.

例题 已知a ≥b ≥c ≥0, 求证b 3a +c 3b +a 3c ≤a 3b +b 3c +c 3a . 证明：令D =a 3b +b 3c +c 3a -(b 3a +c 3b +a 3c ) , 则

ab

bc b

2

ca a

2c 2-c 1c 3-c 1

ab =c

2

bc -ab a -c 0

2

2

ca -ab b -c 0

2

2

D =c 2

1

=

bc -ab a -c

2

2

ca -ab b -c

2

2

111

=b (c -a )(b +c )(b -c ) -a (c -b )(a +c )(a -c ) =(b -c )(a -c )(a +b +c )(a -c )

而a ≥b ≥c ≥0, 则D ≥0, 命题得证.

3.2行列式在解析几何中的几个应用

3.2.1 用行列式表示三角形面积

我们知道以平面内三点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), R (x 3, y 3) 为顶点的∆PQR 的面积

S 是

12

x 1x 2x 3

y 1y 2y 3

1

1 的绝对值. （证明略） 1

3.2.2用行列式表示直线方程

例如：直线方程通过两点P (x 1, y 1) 和Q (x 2, y 2) 的直线PQ 的方程为

x 1x 2x

y 1y 2y

1

1=0. 1

证明： 由两点式, 我们得直线PQ 的方程为

x -x 2x 1-x 2

=y -y 2y 1-y 2

. 将上式展开并化简, 得

xy 1-xy 2-x 1y +x 2y -x 2y 1+x 1y 2=0

此式可进一步变形为x

y 1y 2

11

-y

x 1x 2

11

+

x 1x 2

y 1y 2

=0此式为行列式(1)按第三

行展开所得结果. 原式得证.

例题 若直线l 过平面上两个不同的已知点A(x 1, y 1) , B(x 2, y 2) , 求直线方程.

解：设直线l 的方程为ax +by +c =0, 不全为0, 因为点A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) 在直线l 上, 则必须满足上述方程, 从而有

⎧ax +by +c =0,

⎪

⎨ax 1+by 1+c =0, 这是一个以a , b , c 为未知量的齐次线性方程组, 且⎪ax +by +c =0.

2⎩2

a , b , c 不全为

0, 说明该齐次线性方程组有非零解。 其系数行列式等于0, 即

y y 1y 2

1

x

y y 1y 2

1

1=0同理, 若空间上有三1

x x 1x 2

1=0则所求直线l 的方程为 x 11

x 2

个不同的已知点A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), C (x 3, y 3, z 3) , 平面S 过A, B, C , 则平

面S 的方程为

x x 1x 2x 3

y y 1y 2y 3

z z 1z 2z 3

1111

=0. 同理, 若平面有三个不同的已知点

A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C (x 3, y 3) , 圆O

过A, B, C , 则有

x +y

2

222

x x 1x 2x 3

y y 1y 2y 3

1111=0.

圆O 的方程为

x 1+y 1x +y

222

222

x 3+y 3

3.2.3三线共点，三点共线

我们知道平面内三条互不平行的直线

L 1L 2L 3

a 1x +b 1y +c 1=0,

a 1a 3

b 1b 2b 3

c 1

c 2=0. c 3

a 2x +b 2y +c 2=0, 相交于一点的充要条件是a 2a 3x +b 3y +c 3=0.

P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), R (x 3, y 3) 在一直线的充要条件是

x x 2x 3

y 1y 2y 3

111

=0

例题 平面上给出三条不重合的直线：

L 1

a 1x +b 1y +c 1=0

a 1a 3

b 1b 2b 3

c 1

c 2=0, 则这三条直线不能组成三角形. c 3

L 2

L 3

a 2x +b 2y +c 2=0, 若a 2a 3x +b 3y +c 3=0

证明：设L 1与L 2的交点为P (x 1, y 1) , 因为

a 1a 2a 3

b 1b 2b 3

c 1

c 2=0, 将第1列乘上x 1, 第2列乘上y 1, 全加到第3列上去, c 3

a 1b 1b 2b 3

a 1x 1+b 1y 1+c 1

a 2x 1+b 2y 1+c 2=0 因为P 在L 1与L 2上, 所以a 1x 1+b 1y 1+c 1=0, a 3x 1+b 3y 1+c 3

可得：a 2

a 3

且a 2x 1+b 2y 1+c 2=0⇒(a 3x 1+b 3y 1+c 3)

a 1a 2

b 1b 2

a 1=a 2

a 3

b 1b 2b 3

00

a 3x 1+b 3y 1+c 3

=0

若

a 1a 2

b 1b 2

=0⇒

a 1a 2

=

b 1b 2

⇒L 1与L 2平行, 若a 3x 1+b 3y 1+c 3=0⇒P 也在L 3上

⇒L 1, L 2, L 3交于一点, 无论何种情形, 都有L 1, L 2, L 3不组成三角形.

a 1b 1b 2b 3

c 1

c 2=0, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三c 3

这说明由a 2

a 3

条直线不能组成三角形.

四、总结

我们介绍了计算行列式的几种方法，还有一些方法和技巧由于篇幅所限和本

人能力有限，不再列举. 最后指出：对于给定的行列式，究竟选择何种方法为好，关键是要抓住一行列式的结够形式，其中元素的特征，通过研究、分析、比较，选取适当的方法和运算技巧，在解题中不能只拘泥于一种方法，有时计算一个行列式需要几种方法配合使才能达到计算简单、快捷、高效，这就需要我们在实践中积累经验. 当然经验是离不开适当的练习，因此需要我们做适当的练习多总结。

参考文献

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