有关圆锥曲线的经典结论

★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！

有关解析几何的经典结论

一、椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2

+2=1. +=15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x2y2

6. 若P0(x0,y0)在椭圆2+2=1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy

弦P1P2的直线方程是02+02=1.

ab

x2y2

7. 椭圆2+2=1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

ab

γ

∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点角形的面积为S∆F1PF2=b2tan.

2

x2y2

8. 椭圆2+2=1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q

交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2

11. AB是椭圆2+2=1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2

kOM⋅kAB=-2，

ab2x0

即KAB=-2。

ay0x2y2

+=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆

a2b2

x0xy0yx02y02

+2=2+2. 2abab

x2y2

+2=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆2ab

x2y2x0xy0y

+=2+2. a2b2ab

二、双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为

直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：

P在左支）

x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程

ab

xxyy

是02-02=1. ab

x2y2

6. 若P0(x0,y0)在双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切

ab

xxyy

线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02-02=1.

ab

x2y2

7. 双曲线2-2=1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意

ab

γ2

S=bcot一点∠F，则双曲线的焦点角形的面积为. PF=γ∆F1PF212

2

x2y2

8. 双曲线2-2=1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(-c,0) , F2(c,0)

ab

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0+a,|MF2|=-ex0-a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，

连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2

11. AB是双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB

ab

b2x0b2x0

的中点，则KOM⋅KAB=2，即KAB=2。

ay0ay0

x2y2

12. 若P0(x0,y0)在双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的

ab

x0xy0yx02y02

方程是2-2=2-2.

abab

x2y2

13. 若P0(x0,y0)在双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方

ab

x2y2x0xy0y程是2-2=2-2.

abab

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y2

1. 椭圆2+2=1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直

ab

x2y2

线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2-2=1.

ab

x2y2

2. 过椭圆2+2=1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直

ab

b2x0

线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC=2（常数）.

ay0x2y2

3. 若P为椭圆2+2=1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

ab

∠PF1F2=α, ∠PF2F1=β，则

a-cαβ

=tancot. a+c22

x2y2

4. 设椭圆2+2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上

ab

任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α, ∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有

sinαc

==e.

sinβ+sinγa

x2y2

5. 若椭圆2+2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0

ab

＜e

1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为椭圆2+2=1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

ab

则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成

立.

(x-x0)2(y-y0)2

+=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是7. 椭圆22

ab

A2a2+B2b2≥(Ax0+By0+C)2.

x2y2

8. 已知椭圆2+2=1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP⊥OQ.

ab

4a2b2111122

（1（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）S∆OPQ+=+;

a+b2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2

的最小值是2. 2

a+bx2y2

9. 过椭圆2+2=1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦

ab

|PF|e

=. MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2x2y2

10. 已知椭圆2+2=1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分

ab

a2-b2a2-b2

11. 设P点是椭圆2+2=1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点

ab

γ2b22

S=btan|PF||PF|=记∠F，则(1).(2) . PF=θ∆PF1F21212

21+cosθ

x2y2

12. 设A、B是椭圆2+2=1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

ab

∠PAB=α, ∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

2a2b22ab2|cosα|2

cotγ. (1)|PA|=2.(2) tanαtanβ=1-e.(3) S∆PAB=2

222

b-aa-ccosγ

x2y2

13. 已知椭圆2+2=1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F

ab

的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC⊥x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

x2y2

1. 双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴

ab

x2y2

平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2+2=1.

ab

x2y2

2. 过双曲线2-2=1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互

ab

b2x0

补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC=-2（常数）.

ay0x2y2

3. 若P为双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,

ab

F 2是焦点, ∠PF1F2=α, ∠PF2F1=β，则

c-aαβ

=taco（或c+a22

c-aβα

=taco）. c+a22

x2y2

4. 设双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）

ab

为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,

∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有

sinαc

==e.

±(sinγ-sinβ)a

x2y2

5. 若双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，

ab

则当1＜e

1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线

ab

P和内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且

A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y2

7. 双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条

ab22222

件是Aa-Bb≤C.

x2y2

8. 已知双曲线2-2=1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，

ab

且OP⊥OQ. 4a2b2111122

+=2-2;（1（2）|OP|+|OQ|的最小值为2;（3）S∆OPQ

222

b-a|OP||OQ|aba2b2

的最小值是2. 2

b-ax2y2

9. 过双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于

ab

|PF|e

M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则=.

|MN|2x2y2

10. 已知双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的

ab

a2+b2a2+b2

垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0≥或x0≤-.

aa

x2y2

11. 设P点是双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2

ab

2b2

为其焦点记∠F，则(1)|PF1||PF2|=.(2) 1PF2=θ1-cosθ

γ

S∆PF1F2=b2cot.

2

x2y2

12. 设A、B是双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的

ab

一点，∠PAB=α, ∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是双曲线的半焦距

2ab2|cosα|

离心率，则有(1)|PA|=2.

|a-c2cos2γ|

2a2b22

cotγ. (2) tanαtanβ=1-e.(3) S∆PAB=2

b+a2

x2y2

13. 已知双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲

ab

线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC⊥x

轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交

点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连

线必与焦半径互相垂直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常

数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

其他常用公式：

1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算

弦长，常用的弦长公式：AB=1-x2=y1-y2 (A,B不同时为0)的形式。

2、直线的一般式方程：任何直线均可写成3、知直线横截距与直线

，常设其方程为垂直的直线可表示为

(它不适用于斜率为0的直线)

。

4、两平行线5、若直线则

（斜率）且

与直线

（在

间的距离为

平行

。

轴上截距） （充要条件）

6

、圆的一般方程：

，特别提醒：只有当

时，方程

才表示圆心为

，半径为

的圆。二元二次方程

条件是

且

且

。

表示圆的充要

7、圆的参数方程：

的参数方程的主要应用是三角换元：

8、切线长：过圆的切线的长为

（为参数），其中圆心为，半径为。圆

；

为直径端点的圆方程

（（

）外一点

）

所引圆

9

、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成

的直角三角形来解：共弦)系为在直线方程.。

，当

；②过两圆

时，方程

、交点的圆(公为两圆公共弦所