2.3.1方差与标准差1
§2.3 第7课时 方差与标准差1
教学目标
(1)通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用;
(2)学会计算数据的方差、标准差;
(3)使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想.
教学重点
用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差.
教学难点
理解样本数据的方差、标准差的意义和作用,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
教学过程
一、问题情境
1.情境:
有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本(如表)检查它们的抗拉强度(单
2
哪种钢筋的质量较好?
二、学生活动
由图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100,最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差(range)。由图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散;甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定。运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论。
考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差。
三、建构数学
1.方差:
一般地,设一组样本数据x1,x2,…,xn ,其平均数为x,则称
-
-1n
s(xix )2为这个样本的方差. ni12
因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了离差的程度,我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差.
1n
2.标准差:s(xix)2 ni1
标准差也可以刻画数据的稳定程度.
3.方差和标准差的意义:
描述一个样本和总体的波动大小的特征数,标准差大说明波动大.
四、数学运用
1.例题:
例1.甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2),
解:甲品种的样本平均数为10,样本方差为
[(9.8-10)2 +(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]÷5=0.02.
乙品种的样本平均数也为10,样本方差为
[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]÷5=0.24
因为
0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。
例2.为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿分析:用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命。
解:各组中值分别为165,195,225,285,315,345,375,由此算得平均数约为165
×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375
×2%=267.9≈268(天)
这些组中值的方差为
1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128.60(天2).
故所求的标准差约2128.646(天)
答:估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.
2.练习:
(1)课本第68页练习第1、2、3、4题 ;
(2)在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,
9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为;
(3)若给定一组数据x1,x2,…,xn,方差为S,则ax1,ax2,…,axn方差是aS.
五、回顾小结:
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:
a) 用样本平均数估计总体平均数。
b) 用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样本容量越大,估计就越精确。
2.方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度.
六、课外作业:
课本第69页第3,5,7题.
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