高中数学必修五月考试卷
高二年级数学必修五第一次周练试卷
命题人：牛海轩 审核人：付亚敏 时间：2013年9月6日 星期五
一、选择题（本大题共9个小题，共45分）
1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 A ．75°
B ．60°
C ．45°
( )
D ．30° 3
D. 2
( )
( )
→→
2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则BA ·AC 等于 3A ．－
2
2B
3
2 3
3．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解
B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解
( )
4．在△ABC 中，已知a ＝5，b 15，A ＝30°，则c 等于 A ．25
5
C ．25或 D ．以上都不对
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于
( )
1A ．－
21B. 2
C ．－1 D ．1
A b ＋c
6．在△ABC 中，cos 2 a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边) ，则△ABC 的形状为( )
22c A ．直角三角形
B ．等腰三角形或直角三角形 D ．正三角形
C ．等腰直角三角形
7．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是 A ．15海里/时 C ．10海里/时
( )
B ．5海里/时 D ．20海里/时
8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为
π2π
D. 或33
( )
πA. 6
πB. 3π5π 66
9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b 3，A ＋C ＝2B ，则sin C 等于 1A. 2
二、填空题（本大题共3个小题，共15分） 2a b c
10．在△ABC ＝________.
sin A sin B sin C
11．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米． 112．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S (b 2
4＋c 2－a 2) ，则A ＝______.
三、解答题（本大题共2个小题，共40分）
cos B b
13．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos C 2a ＋c
(1)求角B 的大小；
(2)若b 13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
14．如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10
海里的速度向方位角105°的方向逃窜, 我艇立即以14海里/小时的速度追击, 求我艇追上走私船所需要的时间.
B.
3
2
( )
6
6
D ．1
选做1．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b ) ，n ＝(sin B ，sin
A ) ，p ＝(b －2，a －2) ．
(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；
π
(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ABC 的面积．
3
cos A －2cos C 2c －a
选做2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知＝.
cos B b
(1)求
sin C
sin A
1
(2)若cos B ＝ABC 的周长为5，求b 的长．
4
cos B b
纠错13．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C ＝－cos C 2a ＋c
(1)求角B 的大小；
(2)若b 13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
纠错14．如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小
时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜, 我艇立即以14海里/小时的速度追击, 求我艇追上走私船所需要的时间.
高二年级数学第一次周练试卷答案
一．选择（45分）
1．B 2.A 3.D 4.C 5.D 6. A 7. C 8．D 9.D
二．填空（15分）
π
10.0 11.1 000 12.
4三．解答题(40分) 13．解 (1)由正弦定理
得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ……………………………………………2 又∴
cos B b
cos C 2a ＋c
cos B sin B
，…………………………………………………………..5 cos C 2sin A ＋sin C
∴2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0， ∵A ＋B ＋C ＝π，
∴2sin A cos B ＋sin A ＝0，……………………………………………………………....6 1
∵sin A ≠0，∴cos B ＝－，………………………………………………………….....8
22π
∵0＜B ＜π，∴B ＝10
32π
(2)将b 13，a ＋c ＝4，B ＝代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，………………………12
3即b 2＝(a ＋c ) 2－2ac －2ac cos B ，………………………………………………………14 1
∴13＝16－2ac (1－) ，求得ac ＝3……………………………………………………..18
213
于是，S △ABC ＝ac sin B 3……………………………………………………………20
2414．解 设我艇追上走私船所需要的时间为t 小时，则……………………………………2
BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，………………………………………………….. …4 由∠ABC ＝180°－105°＋45°＝120°，…………………………………………………...6 根据余弦定理知
(14t ) 2＝(10t ) 2＋122－2·12·10t cos 120°，…………………………………………………..12 3
∴t ＝2或t ＝－舍去) ．………………………………………………………………. …18
4
答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时．…………………………………………20 15．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，
a b 即a ＝b ，
2R 2R
其中R 是△ABC 外接圆的半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2) ＋b (a －2) ＝0. ∴a ＋b ＝ab .
由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b ) 2－3ab ， 即(ab ) 2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1) ，
11π
∴S △ABC ＝sin C ×4×sin 3.
223
a b c
16．解 (1)由正弦定理，可设＝＝k ，
sin A sin B sin C
2c －a 2k sin C －k sin A 2sin C －sin A 则，
b k sin B sin B cos A －2cos C 2sin C －sin A
cos B sin B 化简可得sin(A ＋B ) ＝2sin(B ＋C ) ． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . sin C
因此2.
sin A (2)由
sin C 11
2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×sin A 44
＝4a 2.
所以b ＝2a . 又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.