平面向量知识点[1]
高考数学概念方法题型易误点技巧总结(五)
平面向量
1、向量有关概念:
(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如已知A(1,2),B
(4,2),则把向量AB按向量a=(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3,0))
(2)零向量
:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的;
:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是
(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:a∥b,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个
向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有0);④三
点A、B、C共线AB、 AC共线;
(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是-。
如下列命题:(1)若ab,则ab。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相
同,终点相同。(3)若ABDC,则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形,
abb,ca/bb,/c则ABDC。(5)若,则ac。(6)若,则a//c。其中正确的是_______
(答:(4)(5))
2、向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,为
基底,则平面内的任一向量可表示为axiyjx,y,称x,y为向量的坐标,=x,y叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面
内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2。如(1)若a(1,1),b
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;(2)下列向量组中,能作为平面内所有(1,1),c(1,2),则c______(答:ab)
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向量基底的是 A. e1(0,0),e2(1,2) B. e1(1,2),e2(5,7) C. e1(3,5),e2(6,10)
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D. e1(2,3),e2(,)(答:B);(3)已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中
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线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____ab);(4)已知ABC中,
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点D在BC边上,且CD2DB,CDrABsAC,则rs的值是___(答:0)
定如下:1aa,2当>0时,的方向与的方向相同,当
4、实数与向量的积:实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度和方向规
方向与a的方向相反,当=0时,a0,注意:a≠0。
(1)两个向量的夹角:对于非零向量,,作OAa,OBb,AOB
5、平面向量的数量积:
0称为向量,的夹角,当=0时,,同向,当=时,,反向,
当=
时,,垂直。 2
(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量a,b,它们的夹角为,我们把数量
。|a||b|cos叫做a与b的数量积
规定:零向量与任一向量的数量积是01)△ABC中,|AB|3,|AC|4,|BC|5,则ABBC_________(答:-9);(2)11
已知a(1,),b(0,),cakb,dab,c与d的夹角为,则k等于____(答:1);
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b3,则ab等于____(3)已知a2,b
5,a;(4)已知a,b是两个非
(3已知|a|3,
|b|5,且ab12,则向量a在向量b上的投影为______(答:)
5
(4)ab的几何意义:数量积ab等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
(5)向量数量积的性质:设两个非零向量,,其夹角为,则:
①abab0;
a(,2),b(3,2),如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是______(答:
411或0且);(2)已知OFQ的面积为S,且OFFQ1,若S,
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则OF,FQ夹角的取值范围是_________(答:(
ay与b之间有关系式kabkb,其中k0,①用a(coxs,sxinb),y(cos
k表示ab;②求ab的最小值,并求此时a与b的夹角的大小(答:k211
(k0);②最小值为,60) ①ab4k2
6、向量的运算: (1)几何运算:
));(3)已知43
向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设ABa,BCb,那么向量AC叫
做a与b的和,即abABBCAC;
②向量的减法:用“三角形法则”:设ABa,ACb,那么abABACCA,
由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如(1)
化简:①ABBCCD___;②ABADDC____;③(ABCD)(ACBD)_____
①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的
(答:①AD;②CB;③0);(2)若正方形ABCD的边长为1,ABa,BCb,ACc,
则|abc|=_____
(答:);(3)若O是ABC所在平面内一点,且满足
OBOCOBOC2OA,则ABC的形状为____(答:直角三角形);(4)若D为
ABC的边BC的中点,ABC所在平面内有一点P,满足PABPCP0,设
|AP|
,则的值为___(答:2);(5)若点O是△ABC的外心,且OAOBCO0,|PD|
则△ABC的内角C为____(答:120);
(2)坐标运算:设a(x1,y1),b(x2,y2),则:
①向量的加减法运算:ab(x1x2,y1y2)。如(1)已知点A(2,3),B(5,4),
C(7,10),若APABAC(R),则当=____时,点P在第一、三象限的角平分线上
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(答:);(2)已知A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy),x,y(,),则xy
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(答:或);(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1),则
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合力FF1F2F3的终点坐标是 (答:(9,1))
②实数与向量的积:ax1,y1x1,y1。
③若A(x1,y1),B(x2,y2),则ABx2x1y,2y1,即一个向量的坐标等于表示这个
1向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(1,5),且ACAB,
3
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AD3AB,则C、D的坐标分别是__________(答:(1,),(7,9));
3
④平面向量数量积:abx1x2y1y2。如已知向量=(sinx,cosx), =(sinx,
3
,],函数sinx), c=(-1,0)。(1)若x=,求向量a、c的夹角;(2)若x∈[
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; f(x)
的最大值为,求
的值(答:(1)150;(2)或1)
222222
⑤向量的模:|a|a|a|xy。如已知a,
b均为单位向量,它们的
夹角为60,那么|a3b|=_____;
⑥两点间的距离:若
Ax1,y1,Bx2,y2,则|AB|
如如图,在平面斜坐标系xOy中,
xOy60,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:
若OPxe1ye2,其中e1,e2分别为与
x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜坐标为(x,y)。(1)若点P的斜坐标为(2,-2),求P到O
的距离|PO|;(2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。(答:(1)2;(2)x2y2xy10);
7、向量的运算律:(1)交换律:abba,aa,abba;(2)
abcabc,abcabc,ababab;结合律:(3)
分配律:aaa,abab,abcacbc。如下列命
题中:① a(bc)abac;② a(bc)(ab)c;③ (ab)|a|
2
2
22222222abb
⑥aa;⑦2;⑧(ab)ab;⑨(ab)a2abb。其中正确的是
aa
______(答:①⑥⑨)
提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”
不满足结合律,即()(),为什么?
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a//bab(ab)(|a||b|)x1y2y1x2=0。8、向量平行(共线)的充要条件:
2|a||b||b|;④ 若ab0,则a0或b0;⑤若abcb,则ac;
2
如(1)若向量a(x,1),b(4,x),当x=_____时a与b共线且方向相同(答:2);(2)已
知a(1,1),b(4,x),ua2b,v2ab,且u//v,则x=______(答:4);(3)设
PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k),则k=_____时,A,B,C共线(答:-2或11)
B90,)(2);以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,m2
则点B的坐标是________ (答:(1,3)或(3,-1));(3)已知n(a,b),向量nm,且nm,
则m的坐标是________ (答:(b,a)或(b,a))
10.线段的定比分点:
(1)定比分点的概念:设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点,若存在一个实
数 ,使PPPP2,则叫做点P分有向线段PP112所成的比,P点叫做有向线段PP12的
(3)线段的定比分点公式:设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),P(x,y)分有向线段PP12所成
x1x2x1的比为,则,特别地,当=1时,就得到线段P1P2的中点公式
yy2y1
1
x1x2x2。在使用定比分点的坐标公式时,应明确(x,y),(x1,y1)、(x2,y2)的意义,yy1y22
即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点
1和终点,并根据这些点确定对应的定比。如(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且MPMN,
3
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则点P的坐标为_______(答:(6,));(2)已知A(a,0),B(3,2a),直线yax与
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线段AB交于M,且AM2MB,则a等于_______(答:2或-4)
xxh
11.平移公式:如果点P(x,y)按向量ah,k平移至P(x,y),则;曲线
f(x,y)0按向量ah,k平移得曲线f(xh,yk)0.注意:(1)函数按向量平移与
平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如(1)按向量
a把(2,3)平移到(1,2),则按向量a把点(7,2)平移到点______(答:(-8,3));(2)函数ysin2x的图象按向量a平移后,所得函数的解析式是ycos2x1,则a=________(答:(
yyk
4
,1))
(2)||a||b|||ab||a||b|,特别地,当a、 b同向或有0|ab||a||b|
b反向或有0|ab| b不||a||b|||ab|;当a、|a||b||a||b||ab|;当a、
共线|a||b||a|b||a||b(这些和实数比较类似).
(3)在ABC中,①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,则其重心的坐标为
yxx2x3y2y3
如若⊿ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、 (-1,G1,1。
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-1),则⊿ABC的重心的坐标为_______(答:(,)
);
为
BAC的角平分线所在12、向量中一些常用的结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心;
,点M为平面内的任一点,则(3)若P分有向线段PP12所成的比为
MPMPMPMP12; 12,特别地P为PP的中点MPMP12
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(4)向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数
、使得PAPBP且C1.如平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点
A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中1,2R且121,则点C的轨迹是_______(答:直线AB)