_广义凸函数的定义与等价命题
第26卷第4期
2010年8月
哈尔滨商业大学学报(自然科学版)
Journal of Harbin U ni v ersity of Comm erce (Natural Sciences Edition)
V o. l 26N o . 4A ug . 2010
K -广义凸函数的定义与等价命题
马素艳, 陈明浩, 马素娟, 刘真真
1
2
3
4
(1. 南京信息工程大学大气科学学院内蒙研修班, 南京210044; 2. 哈尔滨工业大学数学系, 哈尔滨150001;
3. 包头轻工职业技术学院乳品工程系, 内蒙古包头014045; 4. 军事交通学院基础部数学教研室, 天津300161)
摘 要:研究了模糊数学中K -凸函数与K -广义凸函数的有关内容. 介绍了K -凸函与K -广义凸函数的定义, 证明了K -广义凸函的几个等价命题. 关键词:L 模糊数; K -凸函数; K -广义凸函数中图分类号:O159
文献标识码:A
文章编号:1672-0946(2010) 04-0436-03
Definitions and equivalent propositions of
K -generalized convex functions
MA Su -yan , C H E N M i n g -hao , MA Su-j u an , L IU Zhen -zhen
1
2
3
4
(1. D epart ment o f A t mosphe ric Sc i ence , N an jing N n i versity of Informa ti on Sc i ence &T echno l ogy , N anji ng 210044, Chi na ; 2. Depart m ent ofM at he m ati cs , H arb i n Instit ute of T echno l ogy , H arbi n 150001, Chi na ; 3. D a i ry Eng i neeri ng Depart m en, t Baotou L ight Industry Vocati onal T echnical Coll ege , Baotou 014045, Ch i na ;
4. G enera l Courses D epart m ent , A cade m y ofM ilitary T ransportation , T ianji n 300161, Ch i na)
Abst ract :In t h e traditi o na l m athe m atics , the convex f u nction and the generalized convex f u nction are very i m portant i n the opti m ized t h eory . This paper m ainly studies the K -convex f u nctions and K -generalized convex functions i n fuzzy . I ntroduces the defi n iti o n o f K -con -vex f u nctions and K -generalized convex functi o ns , and proves the equivalent propositions of
K -genera lized convex functi o ns . K ey w ords :L -fuzzy num ber ; K -convex f u nctions ; K -genera lized convex functi o ns
1 引 言
在传统数学中, 凸函数与广义凸函数是很重要的, 因为它涉及了凸集上凸函数的极大与极小问题.
同时关于一般非线性函数的大部分局部极值理论在应用到凸函数时都能变成全局理论. 正因如此, 关于凸函数的研究, 不仅在其本身的最优化领域是一个重要方面, 而且它对深入了解大部分优化理论也是很有好处的. 因而本文重点考虑了模糊数学中K -凸函数与K -广义凸函数的有关内容.
[1-4]
2 L -模糊数及其上的序关系
定义 2. 1
[5]
设A 为实数R 上的模糊集, 其
隶属函数为L 严格单A (x ). 称A 为具有有界支撑、调的模糊数, 若满足如下的条件i) ~iv):
i) 存在惟一的m I R, 使得L ; x (m) =1ii) supp(L I R B L ) >0}) 在R 中x ) =cl({N x (N 有界;
iii) L A (x ) 在supp (L x ) 上严格模糊凸, 即L A (K N ) N n {L 1+(1-K 2) >m i A (N 1), L A (N 2) },0
iv) L A (x ) 在R 上上半连续.
收稿日期:2009-12-01.
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10776006).
作者简介:马素艳(1982-), 女, 硕士, 研究方向:模糊最优化.
第4期 马素艳, 等:K -广义凸函数的定义与等价命题#437#
具有有界支撑、严格单调的模糊数的全体记为F .
定义 2. 2 函数L B R +y I 为型函数, 若满足条件(其中I =[0, 1], 下文同):
i) L (x) =1Z x =0; ii) L 在x \0上单调不增;
iii) L (-x ) =L (x ), x \0;
iv) t 0=sup {x>0B L (x ) >0},则有0
设F L 为具有型函数L 的L -型模糊数的集合.
定义 2. 3
[5][5]
st b
仅当
F (kx 1+(1-k )x 2) [x 1, x 2I S, k I [0, 1]
K
k F (x1) +(1-k )F (x 2)
K
当且仅当F (kx 1+(1-k ) x 2)
k F (x 1) +(1
-k )F (x 2). x 1X x 2I S, k I (0, 1) 成立时, 函数F B S y F L 为K -严格凸的.
3. 2 K -拟凸函数的定义与等价命题
定义 3. 3
[6]
函数F B S y F L 为K -拟凸的,
K
是指
F (kx 1+(1-k )x 2) [x 1, x 2I S, k I [0, 1]
定义 3. 4的, 是指
[7]
m ax {F(x 1), F (x 2) }
F L ={L I F b }满足(i) 或
st
函数F B S y F L 为K -严格拟凸
(ii) },令m I R , l \0.
m -, l
i) 对l >0, L 满足L (N ) =
N -m L ,
l
L
ii) 对l =0, L 满足L (N ) =
1, N =m
0, N X m
N [m N \m
F (kx 1+(1-k )x 2)
x 1, x 2I S, 且x 1X x 2, k I (0, 1)
定义 3. 5的, 是指
F (kx 1+(1-k )x 2)
L A ={x |F (x ) [
为凸集.
证明:必要性 P x, y I S, k I [0, 1]有F (x ) [K A , F (y ) [K A , 再由F 为K -拟凸函数, 有F (kx +(1-k )y ) [
K
K
[7]
函数F B S y F L 为K -强拟凸
在i) 中用L =(m,l) L I F L 表示模糊数L , 在ii) 中用(m, 0) L I F L 表示L .
为确定满足上述不等式的x, y 之间的顺序, 应考虑F L 上的序关系. 下文的K I I 为定值.
定义 2. 4 令x =(x 1, x 2), y =(y 1, y 2) 为L -型模糊数. 关系x [
K
A }
y 成立, 当且仅当下面的情
况i) ~iii) 中的一个成立:
i) |y 1(1) -y 1(0) -(x 1(1) -x 1(0) ) |[y 1
(1) -x 1(1), y 1(1) \x 1(1);
ii) K |y 1(1) -y 1(0) -(x 1(1) -x 1(0) ) |[y 1(1) -x 1(1) x 1(1) 且y 1(1) -y 1(0) X x 1(1) -x 1(0) ;
iii) |y 1(1) -x 1(1) |
(1) -x 1(0) ) ],y 1(1) -y 1(0) >x 1(1) -x 1(0).
定理 2. 1[
K
[6]
m ax {F(x), F (y) }[
K
A
所以kx +(1-k ) y I S, 即L A 为凸集.
充分性 设F (x) [K A , F (y ) [K A , 不妨设F (x) [
K
F (y ) =A , 由L A 为凸集有kx +(1-k ) y I
K
L A , 所以
F (kx +(1-k )y ) [
A =m ax {F(x ), F (y ) }
即F 为K -拟凸函数. 证毕.
定理 3. 2 函数F B S y F L 为K -拟凸(严格拟凸) 的充分必要条件为F (kx +(1-k ) y ) 是K -拟凸(严格拟凸) 函数
[8]
对P x, y I F L 如下两个关系x
K
y 与y [
K
x 必有一个成立, 因此, 关系[
K
为F L
.
上全序关系.
若有x [
y 且y [
K
K
x 成立, 则称x 与y 相等,
K
证明:必要性 P k 1, k 2I S, L I [0, 1]g (L k 1+(1-L ) k 2) =F ((L k 1+(1-L ) k 2) x +(1-L k 1-(1-L ) k 2) y ) =F (L (k 1x +(1-k 1) y ) +(1-L ) (k 2x +(1-k 2) y ) ) [K m ax {F((k 1x +(1-k 1) y ) ), F ((k 2x +(1-k 2)y ) ) }=m ax {g(k 1), g (k 2) }
充分性显然. 证毕.
3. 3 K -弱凸函数和K -弱拟凸函数的定义与等价命题
定义 3. 6 函数F B S y F L 为K -弱凸的是指I , 记为x =y; 若x [
y 成立且x X y, 则记为x
3 K -广义凸函数的等价命题与性质
3. 1 K -凸函数的定义
定义 3. 1 集合S
(1-k )y I S, x, y I S, k I I
以下在未说明情况下S 均为非空凸集. . F B y L 为K , n
L
#438#哈尔滨商业大学学报(自然科学版) 第26卷
K
F (kx +(1-k ) y ) [
F (kx ) +F ((1-k ) y )
其中x, y I F u ={x I S B F (x ) [
K
u }且F u X ª.
其中:k 是依赖于x , y 的.
定义 3. 7 函数F B S y F L 为K -弱拟凸的是指P x, y I S, v k I (0, 1) , 使
F (kx +(1-k ) y ) [
K
证明:必要性 设F 为K -弱拟凸函数, 及u
I F L 且F u X ª,
对x, y I F u , 由F 的K -弱拟凸性, v k I (0, 1) 使F (kx +(1-k )y ) [
K
m ax {F(x ), F (y ) }m ax {F(x), F (y) }[
K
u
K
其中:k 是依赖于x , y 的.
定理 3. 3 函数F B S y F L , 则以下几个命题等价.
1) 函数F B S y F L 为K -弱凸函数;
2) P (x,u ), (y, v ) I epi (F) K , x, y I S, u, v I F L , 则
{C (x,u) +(1-C ) (y , v) |0
F (kx 1+(1-k ) x 2)
其中:u, v I F L , F (x )
4) P (x,u), (y , v) I G (F) K ={(x, u ) |x I S, F (x)
其中:x , y I S, u, v I F L .
证明:显然3) 与4) 等价.
1) ]2):P (x , u ), (y, v ) I epi (F ) K , x, y I S, u, v I F L , F 为K -弱凸函数, 所以v k I (0, 1) 使F (kx +(1-k ) y ) [(1-k ) v
F (x) +(1-k )F (y ) [K k
K ku +
即证明了
{C x +(1-C ) y |0
u }X ª
充分性 设函数F B S y F L 满足式(1), 设P x, 且u =m ax {F(x), F (y ) },则u I F 且x, y I F u ={xI S B F (x ) [K u }, 由条件知, v k I (0, 1) 使
F (kx +(1-k )y ) [K u =m ax {F(x), F (y) }即证明了由F 是K -弱拟凸函数.
4 结 语
介绍了L -模糊数及其上的序关系和K -凸函数的定义; 平行于普通优化给出了K -广义凸函数的定义, 且并证明了它们几个等价命题与性质. 参考文献:
[1] SYAU Y R , LEE E S. Prei ncavit y and Fuzz y Decisi on M ak i ng
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[8] 桂艳丽, 计东海, 杨晓薇. 点态凸性模与空间中相关几何性质
的关系[J].哈尔滨商业大学学报:自然科学版, 2009, 25(4):459-460.
即(kx +(1-k ) y , ku +(1-k ) v) I ep i (F) K , 所以2) 成立.
2) ]3):P x , y I S, u, v I F L , 且F (x )
因为(x , F (x ) ), (y, F (y ) ) I ep i (F) K , 由2) 知, v k I (0, 1) 使得F (kx +(1-k ) y ) [(1-k ) v 所以3) 成立.
3) ]1):显然. 定理 3. 4 函数F B S y F L 为K -弱拟凸函数的充分必要条件是P u I F L
{C x +(1-C )y |0
K
K
k F (x) +(1-k )F (y ) [
K
ku +
u}X ª(1)