韶关市高三六校联考文科数学试题

（文科数学）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1. 已知集合M ＝{x|

x -3

x +1

≤0}，N ＝{-3，-1,1,3,5}，则M ∩N ＝（ ） A.{1,3} B.{-1,1,3} C.{-3,1} D.{-3，-1,1}

2. 已知复数z

满足（5+12i）z=169，则=（ ）

A．-5﹣12i B．-5+12i C．5﹣12i D．5+12i

3. “cos α=0”是“sin α=1”的（ ）．

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知向量=（-1，0），=（1

22

）

，则向量与 的夹角为（ ） A ．π6 B．5ππ2π6 C．3 D．3

5. 设函数f (x ) =-x 2

+4x -3，若从区间[2,4]上任取一个数x 0，则所选取的实数x 0满足f (x 0) ≥0的概率为（ ） A. 14

B．

13 C．12 D．34

6. 椭圆C 的焦点在x 轴上，一个顶点是抛物线E ：y 2=16x 的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，则椭圆的离心率为（ ） A ．

12 B．24 C．2 D．2

7. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯

视图是圆心角为π

2

的扇形，则该几何体的侧面积．．．为（ ） A ．2 B．4+π

C．4+2 D．4+π+2

正视图 侧视图

俯视图

1 / 5

8. 已知α∈（π

tan(α+

π

2，π），且cos α=-513, 则)

cos(α+π)

=（ ）

A ．1213 B．-1213 C．131312 D．-12

9. 已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)⎛

⎝

A >0，ω>0φ

向右平移π

6

个单位得到函数g (x ) 的图像，则函数g (x ) 的单调递增区间为（ ）

A ．⎡

⎢k π-π⎣

4, k π+π⎤4⎥⎦, k ∈Z B ．⎡

⎢ππ⎤⎣

2k π-4, 2k π+4⎥⎦, k ∈Z

C ．⎡

⎢⎣

k π-ππ⎤3, k π+6⎥⎦, k ∈Z

D ．⎡

⎢⎣

2k π-π3, 2k π+π⎤6⎥⎦, k ∈Z

10. 阅读如图所示的程序框图，若输入a 的值为8

17

，则输出的k 值是（ ） A ．9

B．10

C．11 D．12

11. 已知函数f (x ) =⎧⎨2x -2-1, x ≥0x +2, x

, g (x ) =x 2

-2x ，则函数f [g (x )]的所有零点之和是（ ）

⎩A ．2 B．2 C．1+3 D．0

12. 对于三次函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) ，给出定义：设f ' (x )是函数y =f (x ) 的导数，f ' ' (x )

是f '

(x )的导数，若方程f

' '

(x )=0有实数解x 0，则称点（x 0，f (x 0) ）为函数y =

f (x ) 的“拐点”．经

过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称

中心．设函数g (x ) =2x 3-3x 2+11299

2，则g (100) +g (100)

+...... g (100

) =（ ）

A ．100 B．50 C．

99

2

D．0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

⎧y ≤2x ⎪

13. 已知实数x , y 满足⎨2x -5y -8≤0，则z =x +2y 的最小值为 .

⎪y ≤4-x ⎩

1

，则a 14. 已知函数f (x ) =ln x -ax 2，且函数f (x ) 在点（2，f (2) ）处的切线的斜率是-

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-, 0), F 2(, 0) ，且椭圆C 过点P(3，2) ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值． 2

15. 已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:3，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的半径为_______

15. 已知∆ABC 满足BC ⋅AC =22，若C =3πsin A 1

4sin B =2cos(A +B )

, 则AB =

三、解答题（本大题共70分. 解答要有文字说明或推理过程）

16. （本小题满分12分）

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9, 且a 1, a 3, a 7成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）若a a

n ≠a 1时，数列{b n }满足b n =2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．

18. （本小题满分12分）

某商店计划每天购进某商品若干件, 商店每销售1件该商品可获利50元. 若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.

（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件, 求当天的利润y(单位:元) 关于当天需求量n （单位:件, n∈N）的函数解析式；

:件）, 整理得下表:

, 求这50天的日利润（单位:元）的平均数；

②若该店一天购进10件该商品, 记“当天的利润在区间[400,550]”为事件A ，求P （A ）的估计值.

19. （本小题满分12分）

如图，ABC -A 1B 1C 1是底面边长为2，高为

2

的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ ， 设C 1P =λC 1A （10

）. Q

（Ⅰ）证明：PQ //A 1

1B 1；

（Ⅱ）当λ=1

时，求点C 到平面APQB C P A 1

2

的距离.

1

C

A

2 / 5

21. （本小题满分12分）

已知函数f (x ) =2ln x -ax +a (a ∈R ) . （Ⅰ）讨论f (x ) 的单调性；

（Ⅱ）若f (x ) ≤0恒成立，证明：当0

) -f (x 1) 1

x

-1) ．

2-x 1x 1

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知圆

O 是∆ABC 的外接圆, AB =BC , AD 是BC 边上的高, AE 是圆

F

O 的直径，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F .

（Ⅰ）求证：AC ⋅BC =

AD ⋅AE ；

（Ⅱ）若AF =2, CF =AE 的长.

B

D

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

E

⎧⎪x =1-1t 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪

⎨2(t 为参数). 以原点为极点，x 轴正半轴为

⎪⎪⎩y =极轴建立极坐标系，圆C 的方程为ρ=θ. (Ⅰ) 写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

(Ⅱ) 若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于A , B 两点，求|PA |+|PB |的值.

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f (x ) =x +a +x +1

a

(a >0) (Ⅰ) 当a =2时，求不等式 f (x ) >3的解集；

(Ⅱ) 证明： f (m ) +f (-1

m

) ≥4

二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案填在答题卡题号相应的横线上. ）

13. -5 . 14. 14 15. 23

3

三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分. 解答要有文字说明或推理过程） 17【解答】解：（1）∵等差数列{an }的前n 项和为S n ，且S 3=9，a 1，

a 3，a 7

成等比数列，

∴

.................2

解得

或

，......................4

当

时，a n =3；.........................5

当

时，a n =2+（n ﹣1）=n+1．..............6

（2）∵an+1n

≠a1，∴an =n+1，∴bn

=2=2，.........7

∴， =2，...........................9

∴{b n }是以

4为首项，以

2为公比的等比数列，.......................10

3 / 5

∴Tn ===2n+2

﹣4．............12

18【解答】

解：(Ⅰ) 当日需求量n ≥10时, 利润为y =50⨯10+(n -10) ⨯30=30n +200；.......2 当需求量n

⎧30n +200, n ≥10, n ∈N

⎩60n -100, n

...................5

（Ⅱ）50天内有10天获得的利润380元，有10天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元................8 ①

380*10+440*10+500*15+530*10+560*5

50

=476....................................10

② 事件A 发生当且仅当日需求量n 为9或10或11时. 由所给数据知，n=9或10或11的频率为

f =

10+15+1050=7

10

，

故P(A)的估计值为0.7. ..................................12

19【解答】 （Ⅰ）证明：∵ ABC -A 1B 1C 1 是正三棱柱， ∴平面ABC //平面A 1B 1C 1„„2分

∵平面APQB ⋂平面A 1B 1C 1=PQ ，平面APQB ⋂平面ABC =AB ∴PQ //AB „„„„„„„„4分

∵AB //A 1B 1， ∴PQ //A 1B 1„„„„„„„„6分 （Ⅱ）连结PB ，点C 到平面APQB 的距离等于三棱锥

C -APB

的高，设其值为d

„„„„„„„7分

当λ=

12时，PQ //1

2

AB =1，四边形APQB 是等腰梯形，经计算

得梯形

的高为

2

„„8

分

∴S 1∆PBA =

2⨯2⨯2=

2S ∆ABC =4

22=„„„„9分

∵ABC -A 1B 1C 1 是正三棱柱，∴V C -PBA =

11

S ∆PBA ⨯d =V P -ABC =S ∆ABC ⨯AA 1„„10分

33

d =d =

11分 所以点C 到平面APB

„„„„12分 20. 解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为x 2y 2

a 2+b

2=1, (a >b >0)， .................1

⎧a 2-b 2=10

由题意可得⎪

⎨⎪94

.........................................................................................3 ⎩a 2+b

2=12解得⎧⎪⎨a =18b 2=8

，......................................................4

⎪⎩故椭圆C 的方程为

x 218+y 2

8

=1． „5分

（

Ⅱ

）

直

线

OP

方程

为

2x -y 3=

，设直线

AB

2x -3y +

t (=0且, t ∈)R

．, ............................................6 ≠t 0将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得8x 2

+4tx +t 2

-72=0．............7 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)．

当∆=16t 2

-32(

t 2

-72)=16(

144-t

2

)>0，即0

有x =-t t 22, x -72

1+x 21x 2=8

．............................................8

所以AB =32

...........................................................................................9

方程 4 / 5O 到直线AB

的距离d =

S (144-t 2

)+2

∆PAB

=1

2

AB ⋅d =≤

t 24

=6

∴∆PAB 面积的最大值为6..........................................12分

21. 【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x ）=

，x ＞0．......................2

若a≤0，f′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上递增；.......................3 若a

＞0，当x ∈（0，）时，f′（x ）＞0，f

（x ）单调递增；..............4

当x ∈（

，+∞）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减．.....................5

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

若a≤0，f （x ）在（0，+∞）上递增，又f （1）=0，故f （x ）≤0不恒成立......6

若a ＞2，当x ∈（

，1）时，f （x ）递减，f （x ）＞f （1）=0，不合题意．.,...7

若0＜a

＜2，当x ∈（1，

）时，f （x ）递增，f （x ）＞f （1）=0，不合题意....8

为

若a=2，f （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

f （x ）≤f（1）=0，合题意．.............................................9 故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）． 当0＜x 1＜x 2时，f （x 2

）﹣f （x 1）=2ln

﹣2（x 2﹣

x 1）

＜2（﹣1）﹣2（x

2﹣x 1）=2（﹣1）（x

2﹣x 1

），......................11

∴＜2（﹣1）．.................................12

22．（本小题满分10分）

（Ⅰ）证明：连结BE ，由题意知∆ABE 为直角三角形 „„„1分 因为∠AEB =∠ADC =90︒，∠AEB =∠ACB ，∆ABE ∆ADC „„„2分 所以

AB AD =AE

AC

„„„3分 即AB ⋅AC =AD ⋅AE „„„4分

又AB =BC ，所以AC ⋅BC =AD ⋅AE „„„5分 （Ⅱ）因为FC 是圆O 的切线，所以FC 2

=FA ⋅FB ，„„„6分

又AF =2, CF =BF =4, AB =2，„„„7分

因为∠ACF =∠FBC , ∠CFB =∠AFC ，所以∆AFC ∆CFB „„„8分

所以AF FC =

AC BC ，得AC =

, cos ∠ACD =∠ACD ==sin ∠AEB „„9分

所以AE =AB sin ∠AEB =

7

„„„10分 23. （本小题满分10分）

（Ⅰ）消去参数得直线l

+y =0， „„„2分

由ρ=θ得圆C

的直角坐标方程x 2+y 2-=0. „„„5分 （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知直线过点P ， „„6分 把直线l 的参数方程代入圆C

的直角坐标方程x 2+y 2-=0，

得(1-

12t ) 2+2

2=3， „„„„7分 化简得t 2

-4t +1=0, ∆=12>0，故设t 1, t 2是上述方程的两个实数根，所以t 1+t 2=4, t 1t 2=1，„„8分

A , B 两点对应的参数分别为t 1, t 2， „„„„„„9分

所以|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=4. „„„„„„10分 24. （本小题满分10分）

（Ⅰ） 当a =2时，f (x ) =x +2+x +

1

2

，原不等式等价于 5 / 5

⎧⎧⎪x

x >-1⎨，或⎪⎪2⎪⎪2⎪⎩-x -2-x -1

2>3⎨⎪⎪⎩x +2-x -1，或⎨1„„„„„„3分 2>3⎪⎪⎩x +2+x +2

>3解得x

114或∅或x >1

4

„„„„„„4分 不等式的解集为{x |x

4或x >4

„„„„„„„„5分 （Ⅱ）f (m ) +f (-

1m ) =m +a +m +1111

a +-m +a +-m +a

„„„„„6分 =m +a +-

1111m +a +m +a +-m +a ≥2m +1

m

„„„„8分 =2(|m |+1

⎧m =±|m |) ≥4，当且仅当⎨

1时等号成立。„„„10分 ⎩

a =1