李晓峰__通信原理复习

1.

两个二元消息符号

X X

M

解：利用式H (X ) =-∑P i log 2P i 易见，

i =1

H (X 1) =-0. 3log 20. 3-0. 7

log 20. 7≈0. 881

2.

(bit )

H (X 2) =-2⨯0. 3log 20. 3-2⨯0. 2log 20. 2≈1. 971(bit )

习题二

解：（1）最大输出信噪比的时刻为：T

（2）

（3）最大输出信噪比值

:

习题三

1.

2. 一个AM 信号具有如下形式：

s (t )=[20+2cos3000πt +10cos6000πt ]cos2πf c t

5

其中f c =10Hz ；

（1） 试确定每个频率分量的功率； （2） 确定调制指数；

（3） 确定边带功率、全部功率，以及边带功率与全部功

率之比。 解：（1）试确定每个频率分量的功率 =20cos 2πf t +cos 2π(f +1500) t +cos 2π(f -1500) t

c c c

+5cos 2π(f c +3000) t +5cos 2π(f c -3000) t s (t )=[20+2cos3000πt +10cos 6000πt ]cos 2πf c t

s (t )的5个频率分量及其功率为：

20cos 2πf c t ：功率为200w ；cos2π(f c +1500) t ：功率为0.5w ；

cos2π(f c -1500) t ：功率为0.5w ；5cos2π(f c +3000) t :功率为12.5w ；5cos2π(f c -3000) t :功率为12.5w 。 （2）确定调制指数

s (t )=[20+2cos3000πt +10cos 6000πt ]cos 2πf c t

=20[1+0.1cos3000πt +0.5cos 6000πt ]cos 2πf c t

βAM 因此m (t )=0.1cos3000πt +0.5cos6000πt ，

=⎡ ⎣m (t )⎤⎦max =0.6。

（3）确定边带功率、全部功率，以及边带功率与全部功

率之比

5个频率分量的全部功率为：

P =200w +2⨯0.5w +2⨯12.5w =226w total 边带功率为：P

side

=2⨯0.5w +2⨯12.5w =26w

AM

边带功率与全部功率之比：η

=

26

=0.115 226

3. 用调制信号m (t )=A m cos2πf m t 对载波A c cos 2πf c t 进行调制后得到的已调信号为s (t )=A c ⎡为了能够⎣1+m (t )⎤⎦cos 2πf c t 。无失真地通过包络检波器解出m (t )，问A m 的取值应满足什么条件。 解：

如果A m >1，即发生了过调制，包络检波器此时将无

法恢复出m (t )。因此要想无失真通过包络检波器解出m (t )，则需要A m ≤1。

4. 已知调制信号m (t )=cos (2000πt )+cos (4000πt )，载波为cos104πt ，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达式，并画出频谱图。

解：根据单边带信号的时域表达式，可确定上边带信号： S USB (t )=

=

11

ˆ(t )sin ωc t m (t )cos ωc t -m

22

14

cos 2000πt +cos 4000πt cos10πt ⎡⎤()()⎣⎦2

14-⎡sin 2000πt +sin 4000πt sin10πt ⎤()()⎣⎦2

11

=cos12000πt +cos14000πt 22

1

S USB (f )=[δ(f +6000)+δ(f -6000)+δ(f +7000)+δ(f -7000)]

4

同理，下边带信号为：

S LSB (t )=

11

ˆ(t )sin ωc t m (t )cos ωc t +m

22

=

14cos 2000πt +cos 4000πt cos10πt ⎡⎤()()⎣⎦2

14+⎡sin 2000πt +sin 4000πt sin10πt ⎤()()⎣⎦2

11

=cos8000πt +cos 6000πt 22

1

S LSB (ω)=[δ(f +4000)+δ(f +3000)+δ(f -4000)+δ(f -3000)]

4

两种单边带信号的频谱图分别如下图所示（载波为cos104πt ，即f c =5000Hz ）：

S LSB (f )S (f )

USB

f

6000

7000

3000

4000

f

5. 若对某一信号用DSB 进行传输，设加至发射机的调制信号m (t )之功率谱密度为：

⎧N 0f ⎪⋅,

P m (f )=⎨2f m

⎪0, ⎩

f ≤f m f >f m

试求：

（1） 接收机的输入信号功率； （2） 接收机的输出信号功率

（3） 若叠加于DSB 信号的白噪声具有双边功率谱密度为

N 02，设解调器的输出端接有截止频率为f m 的理想低通滤波器，那么输出信噪比是多少。 解：

⑴ 设DSB 已调信号s DSB (t )=m (t )cos ωc t ，则接收机的输入信号功率

121∞

S i =S t =m t =⎰P m (f )df

22-∞f m N N 0f m 1f 0

=⨯2⨯⎰⋅df = 022f m 4

2

DSB

⑵ 相干解调之后，接收机的输出信号m o (t )=m (t )，因此输出信号功率

N 0f m

s o (t )=m t =m t =

2

2o

2

⑶ 解调器的输出信噪功率比 ⎛S ⎫

s i 2t N 0f m 1

== ⎪=

⎝N ⎭i 2N 0B m 8N 0f m 8

⎛S ⎫⎛S ⎫1 ⎪=2 ⎪=⎝N ⎭o ⎝N ⎭i 4

6. 某线性调制系统的输出信噪比为20dB ， 输出噪声功率为10-9W ，由发射机输出端到解调器输入之间总的传输损耗为100dB ，试求：

（1） DSB 时的发射机输出功率； （2） SSB 时的发射机输出功率。 解：⑴

在DSB 方式中，解调增益G DEM =2，因此解调器输入信噪比

20

⎛S ⎫1⎛S ⎫110

⎪=⋅ ⎪=⨯10=50 ⎝N ⎭i 2⎝N ⎭o 2

同时，在相干解调时，

N i =N o =10-9w

因此解调器输入端的信号功率

S i =50N i =5⨯10-8W

考虑发射机输出端到解调器输入端之间的100dB 传输损耗，可得发射机输出功率

S T =10

10010

⨯S i =500w

另解：在DSB 方式中，系统增益G sys =1

20

⎛S ⎫⎛S ⎫10

==10=100 ⎪ ⎪

⎝N ⎭base ⎝N ⎭o S i

=100 N 0B

DSB 输出噪声功率：2N 0B =10-9w

1

S i =100N 0W =100⨯⨯10-9=0.5⨯10-7w

2S T =10

10010

⨯S i =500w

⑵

在SSB 方式中，解调增益G DEM

20

S S ⎛⎫⎛⎫10

⎪= ⎪=10=100 ⎝N ⎭i ⎝N ⎭o

=1，

N i =N o =10-9W

因此，解调器输入端的信号功率

S i =100N i =10-7W

发射机输出功率

S T =1010⨯S i =1000W

7. 已调信号由下式描述：

83

s (t )=10cos ⎡2π⨯10t +10cos 2π⨯10t )⎤()(⎣⎦

试确定以下各值：

（1） 已调信号的归一化功率； （2） 最大相位偏移； （3） 最大频率偏移。

2

解：（1）P s =s t =

121

a t =⋅102=50 22

3

o s π⨯2（2） θ(t )=10c (t →∆θa )10m

x

=r a 10 d

1d θ(t )=-104sin (2π⨯103t )→∆f max =104Hz （3）∆f i (t )=

2πdt

6310πt +8cos 10πt )⎤8. 已知调频信号S FM (t )=10cos ⎡设调制器的(⎣⎦，比例常数K FM =2，求其载频、调制信号、调频指数和最

大频偏分别是多少。 解：载频为f c =5⨯105HZ ，因为

θ(t )=8cos (103πt )=2πK FM ⎰m (t )dt

8⨯103π

m (t )=-sin (103πt )2πK FM

33

故调制信号为 m (t )=-2⨯10sin10πt ，

m ) t )=K 又 ∆f i (t F M (

调频指数 βFM

∆f m a x k F M A m 2⨯2⨯130====8， 3

f m f m 0. ⨯510

3

最大频偏为4⨯10Hz 。

习题四

1. 给定二进制比特序列{1101001}，试给出相应的单极性NRZ 信号、双极性RZ 信号与传号差分码信号的波形。 解：单极性NRZ 信号、双极性RZ 信号与传号差分码信号的

波形如下图所示：

2. 某数字基带系统速率为2400Baud ，试问以四进制或八进制码元传输时系统的比特速率为多少？采用双极性NRZ 矩形脉冲时，信号的带宽估计是多少？

解：以四进制传输时系统的比特率为：

R b =R S ⋅log 2M =2400⨯log 24=4800bps

以八进制传输时系统的比特率为;

R b =R S ⋅log 2M =2400⨯log 28=7200bps

信号的带宽与波特率有关，无论是多少进制传输，采用双极性NRZ 矩形脉冲传数据时，信号带宽都为：

B T =R S =2400Hz

3. 某数字基带系统速率为9600bps ，试问以四进制或十六进制码元传输时系统的符号率为多少？采用单极性RZ 矩形脉冲时，信号的带宽估计是多少？ 解：以四进制传输时系统的符号速率为：

R s =R b /log 2M =9600/log 24=4800B a u d

以十六进制传输时系统的符号速率为：

R s =R b /log 2M =9600/log 216=2400Baud

信号的带宽与波特及脉冲宽度有关，以四进制单极性RZ 脉冲传输时，信号带宽为：

B T =2R s =2⨯4800=9600Hz 以十六进制单极性RZ 脉冲传输时，信号带宽为： B T

4. 在功率谱密度为N 02的AWGN 信道中进行二元基带传输，假定码元等概且发射信号分别为：

⎧At

⎪, 0≤t ≤T

m 1(t )=⎨T 其他⎪⎩0,

4-11

=2R s =2⨯2400=4800Hz

⎧⎛t ⎫⎪A 1-⎪,

m 2(t )=⎨⎝T ⎭

⎪0, ⎩

0≤t ≤T

其他

（1） 确定最佳接收机的结构（确定滤波器特性）； （2） 给出最佳错误概率。 解：

⎧⎪m 1(t ), S (t )=⎨

⎪⎩m 2(t ),

1

发1，概率为

21

发0，概率为

2

y t

0≤t ≤T 0≤t ≤T

y

(1) 最佳接收机结构为（滤波器为匹配滤波器）

r t =s t +n ()()()

a ˆn }

或：

4-12

（2）s d (t )=s 1(t )-s 2(t )的能量E d 为：

E d =⎰⎡m 1(t )-m 2(t )⎤dt =⎰⎣⎦00

T

2

T

A 2T ⎛2At ⎫

-A ⎪dt =

3⎝T ⎭

2

由教材式（4.3.21）可知，最小的P e 为

⎛⎛P e =Q =Q ⎝⎝E s =(E d +0)2=E d 2

⎛=Q ⎝

5. 设4种基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器

组成的H (f )如图题4.13所示，若要求以T s 波特的速率进行数字传输，问它们是否会造成码间干扰。

4-13

（a ）

（b ）

（c ）

（d ）

图 题4.13

1

解： 根据奈奎斯特第一准则，当最高传输码率R B =T 时，

s

能够实现无码间串扰传输的基带系统的总特性H (f )应满足

容易验证：（a ）、（b ）、（c ）、（d ）都满足无码间串扰传输的条件。

4-14

6. 设基带传输系统的发送滤波器、信道和接收滤波器的总传输特性如图题4.14所示：

2112

图

题4.14

其中f 1=1MHz ，f 2=3MHz 。试确定该系统无码间干扰传输时的码元速率和频带利用率。 解：

该系统无码间干扰传输时的码元速率和频带利用率为：

R s max =2⨯⎡⎣(f 1+f 2)2⎤⎦=2⨯⎡⎣(1+3)2⎤⎦=4MBaud

R S 4

ηs ===1.333Baud /H z

B T 3

7. 设无码间干扰基带传输系统的传输特性为α=0.3的升余弦滚降滤波器，基带码元为16进制，速率是1200Baud 。试求：

（1） 该系统的比特速率。

（2） 传输系统的截止频率值； （3） 该系统的频带利用率；

4-15

解：（1）对于M 进制传输，其信息速率R b 与码元速率R s 的关系为R b =R s log 2M ，这里M=16，故系统的比

特速率为：

R b =R s log 2M =1200⨯log 216=4800bps

（2）传输系统的截止频率值为

R s 1200

B =f 0(1+α)=(1+α)=(1+0.3)=780Hz

22

（3）系统频带利用率为：

R b 4800

ηb ==≈6.154bps /Hz

B 780

R s R s 2ηs ====1.538Baud /Hz

B R s 1+α/21+0.3

习题五

4-16

1. 已知某2ASK 系统的码元速率为1000

6

A cos 4π⨯10t )。 (波特，所用载波信号为

（1） 假定比特序列为{0110010}，试画出相应的2ASK 信号波形示意图； （2） 求2ASK 信号第一零点带宽。

6

R =R =1000bps f =2⨯10Hz ， 解：由b ，c s

T b f c 2⨯10

6

===2000 T c R b 1000

（1）一个码元周期内有2000个正弦周期：

{a n }

s 2ASK (t )

1

1

1

（2）B 0=2R b =2000Hz

2. 假定2DPSK 数字通信系统的输入比特

4-17

序列为[1**********]0…

（1） 写出相对码（考虑相对码的第一个比特为1）；

（2） 画出2DPSK 发送与接收框图。 解：（1）

绝对 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 码{b n

}

相对1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 码{d n

}

（2）发送框图：

接收框图：

假设在某2DPSK 系统中，载波频率为2400Hz ，码元速率为1200Baud ，已知绝对码（相对码）序列为1100010111。 （1） 试画出2DPSK 信号波形；

4-18

0 1 3.

（2） 若采用差分相干解调法接收该信号，试画出解调系统的各点波形； （3） 若发送符号0和1的概率相同，试给出2DPSK 信号的功率谱示意图。

T b f c 2400Hz

解：T =R =1200Baud =2，此

c b

2DPSK 信号

一个码元周期包含有个2个波型周期。

（1）

⎧±π, 发"1" ∆ϕ=⎨ 0, 发

"0" ⎩

（2）DPSK 差分相干解调框图：

各点的波形图：

4-19

（3）2DPSK 功率谱示意图

P s (f )

c b c c b c b c c b

4. 假定QPSK 系统的输入二进制序列为[1**********]010，试问： （1）载波相位序列（B 方式）；

（2）相应的载波相位序列（A 方式）； （3）同相与正交支路的比特序列；

4-20

（4）传输率为4Mbps 时需要的带宽。 解：（1）首先将输入序列表示为格雷编码序列：00 11 01 10 01 00 11，

由表5.4.1可以得出B 方式下的载波相位：

5ππ7ππ3π7π5π

4，4，4，4，4，4，4；

（2）相应的A 方式下的载波相位序列为：

π，0

3π，2

π3π

，2，2，π，0；

（4） 同相支路的比特序列 {b 0n }： 0 1 1 0 1 0 1； 正交支路的比特序列 {b 1n }： 0 1 0 1 0 0 1；

6

R =R /2=2⨯10（4） 传输率为4Mbps 时，s b

（baud ），采用矩形NRZ 基带信号时，可得，

6

B QPSK =2R s =R b =4⨯10（Hz ）。

19. 电话线频带为300~3300Hz，试给出下面调制方式下的载波频率、符号率与比特率：

（1） OOK 、BPSK 、2DPSK （采用α=0.25的升余弦滚降特性）； （2） BFSK ；

（3） QPSK 、DQPSK （采用α=0.25的升余弦滚降特性）。 解：（1）对于OOK 、BPSK 、2DPSK ：

300+3300

=1800(Hz ) ；载频选在频带中央：f c = 2

B T 3300-300

符号率：R s =1+α=1+0.25=2400（Baud ）

比特率：R b =R s =2400（bit/s） （1） 对于BFSK ：

要使两路2ASK 部分在频谱上基本可分离，则两个频谱间的间距应该至少满足f 1-f 0≥R b ，所以

B 2FSK =f 1-f 0+2R b ≥R b +2R b =3R b ， 不等式取等号，得

B 2FSK 3300-300R b ===1000(bit/s)，

33

f 0=300+R b =1300(Hz ) ，f 1=3300-R b =2300(Hz ) ，

R s =R b =1000（Baud ）

（2） 对于QPSK 、DQPSK ：

300+3300

=1800(Hz ) ；载频选在频带中央：f c = 2

B T 3300-300R ==符号率：s 1+α1+0.25=2400（Baud ）

R b =R s log 2M =2400⨯2=4800比特率：（bit/s）

20.

21. QPSK 系统，采用α=0.25的升余弦基带信号，信道带宽为20MHz ，求无码间串扰传输的最大速率。

B T 20⨯1066

R ===16⨯10解：s 1+α1+0.25（Baud ）

R b =log 2M ⨯R s =2R s =3.2⨯107bps

22. 设通信系统的频率特性为α=0.5的升余弦滚降特性，传输的信息速率为120kbps ，要求无码间串扰。

（1） 采用2PSK 调制，求占用信道带宽和频带利用率； （2）

设E b N 0=10，求2PSK 最佳接收机的误比特率。 解：（1）信道带宽： B T =(1+α) R b

5

=(1+0.5) ⨯120⨯1000=1.8⨯10(Hz )

R b 12η===bps /Hz () 频带利用率：B T 1+α3

（2）2PSK 最佳接收机的误比特率

P e =Q

=Q

=3.8721⨯10-6

习题6

1. 对模拟信号m (t )=sin(200πt ) /200t 进行抽样。试问：

（1）无失真恢复所要求的最小抽样频率为多少？（2）在用最小抽样频率抽样时，1分钟有多少抽样值。

f

→rect (), B >0 解：(1) 由表2.1.2，有BSa (πBt ) ←−B

F

sin(200πt ) πsin(200πt )

m (t )==，B =200

200t 200πt π⎛f ⎫π⎛f ⎫

M (f )=

rect ⎪=rect ⎪ B ⎝B ⎭200⎝200⎭

∴

f H =100Hz

∴无失真最小抽样频率

f S =2f H =

200Hz

(2) 一分钟抽样值的数目为f S ⨯60=200*60=12000个

2. 已知信号m (t )的频谱为：

⎧f

, ⎪1-

M (f )=⎨1000

⎪0, ⎩

f

(1) 假设以1500Hz 的速率对它进行抽样，试画出已抽样信号m S (t ) 频谱图。

(2) 若用f S =3000Hz 的速率抽样，重做(1)小题 解：(1)

∞

m S (t )=m (t )∑δ(t -n T S )

n =-∞

1

M S (f )=M (f )⨯

T S 1

δ(f -kf S )=∑T S k =-∞

∞

∑M (f -kf )

S

k

（2）

Hz )

8. 在要求量化误差不超过量化器输入范围的P %时，试说明均匀量化器的位数应满足n ≥3.32log 10(P )

∆

证明：对于均匀量化器，量化误差有：e q ≤，

22V

, M =2n ，由题 其中∆=M

∆/21P

==≤n

2V 2V 2⨯2100

50⎛50⎫n

⇒≤2⇒log 2 ⎪≤n P ⎝P ⎭

n

2V /2()/2

50

50⇒≤n ⇒3.32log 10≤n

log 102P log 10

∴n ≥3.32log 10

50

P

12. 已知一个正弦信号的动态范围为45dB ，量化信噪比不能低于26dB ，求线性PCM 的编码位数 解：

2

σx 22

10lg 2max =45→10lg σx -10lg σmax x min =45

σx min

σ10lg

σ

2x max 2x min

/V

=45 2

/V

2

20lg D max -20lg D min =45

x (t )max =V sin ωt →P x =

V /2

2

20lg D max

V /=20lg =-3.01

V

(20lgD )min =-3.01-45=-48.01

⎛S ⎫

⎪=6.02n +4.77+20lg D ≥26⎝N ⎭

6.02n +4.77-48.01≥26n ≥11.5, 取

n =12

13. 在A 律PCM 系统中，当(归一化) 输入信号抽样值

为0.12，0.3， 与0.7时，输出二进制码组是多少。

解：Ａ律折线近似各段特性

∆=

12048

当x =0.12，属于第4段，

x -0.06250.12-8∆=0.0625

8⨯

1=14.72

2048

所以二进制码是 1 100 1110

当x =0.3，属于第6段，

0.3-0.2532∆=0.05

32⨯

=3.2

2048

所以二进制码是 1 110 0011

当x =-0.7，属于第7段，

0.7-0.50.2

==6.4

164∆ 64⨯

2048

所以二进制码是 0 111 0110

14. 单路语音信号最高频率为4kHz ，抽样速率为8kHz ， 以PCM 方式传输，假设用单极性NRZ 矩形脉冲传输，试问

(1)采用7比特量化时，PCM 基带信号(第一零点) 带宽为多少?

(2)采用8比特量化时，结果又是多少 解：

(1)R b =f S *n =8k *7=56kbps ， 对于NRZ ，B =R b =56kHz (2)R b =f S *n =8k *8=64kbps ，

对于NRZ ，B =R b =64kHz

-41016. 已知某线性PCM 通信系统的线路误码率为，

模拟信号的最高频率为3kHz ，如果要求接收端恢复的模拟信号达到30dB 的峰值信噪比，试问： (1)PCM量化器的比特数至少是多少 (2)传输系统的带宽至少是多少 解：(1)

30

S ⎛⎫10

⎪=10=1000⎝N ⎭out

2

S 3M ⎛⎫⎪=2由 N 1+4M (-P 1e ) ⎝⎭out

3M 2

≥1000 2-4

1+4(M -1) ⨯10得到 M >19. 6取 M =20 每个样值所用的比特数n =5

所以至少需要5位

(2) f S =2f H =6kHz ，R b =f S *5=30kHz 所以最小

1

带宽 B =2R b =15kHz