充分必要充要条件的集合判别法
1997年第3期 数学教学研
究 23
的分类讨论, 方法简捷, 又有一定的规律可循. 是一种十分有效的解题方法.
充分、必要、充要条件的集合判别法
陈德英 (湖南省澧县教师进修学校 415500)
学生对于充分、必要、充要条件极易混淆。笔者通过多年的教学实践, 觉得用集合方法判别这三种条件非常简单明了, 便于学生接受, 现介绍如下.
三种条件关系可以简述为:
(1) “有A 则有B ”即“, A 就是B A ]B ”的充分条件;
(2) “有B 则有A ”即“, A 就是B B ]A ”的必要条件; (3) 即““有A 则有B 且有B 则有A ”A ΖB ”, A 、. B 就互为充要条件
我们将满足条件A 的对象做成一个集合, 用“表示, 将满足结构B 的对象也做成A ”
(A 、一个集合, 记为“B ”B 均为非空集合) 则三种条件关系可叙述为:
(1) 若集A Α集B , 则A 就是B 的充分条件;
(2) 若集A Β集B , 则A 就是B 的必要条件;
(3) 若集A =集B , 则A 与B 互为充要条件.
因此, 我们就可以用集合的包含关系及相等关系来判断三种关系. 下面举例说明.
例1 下面各题中, A 是B 的什么条件?
(1) A :两组对边相等的四边形; . B :长方形(2) A :菱形;
. B :各边相等的四边形(3) A :x +1=0;
B :x -1=0.
2
解 (1) 显然A ΒB ,
∴A 是B 的必要条件. (2) 显然A ΒB , 且B ΑA , ∴A =B ,
∴A 是B 的充要条件.
(3) ∵A ={x x +1=0}={-1},
B ={x x -1=0}={-1, 1}.
2
∴A ΑB ,
∴A 是B 的充分条件.
(4) A ={x x +1≥0}={x x ≥-1},
B ={x x +2x +1≤0}={x x =-1}.
2
显然A ΒB ,
∴A 是B 的必要条件.
例2 判断下列各组整除性之间满足什么条件关系.
(1) A :一个数能被6整除;
. B :这个数能被3整除
(2) A :一个数既能被6整除, 又能被8
整除;
B :这个数既能被3整除, 又能被8
整除.
分析 将条件A 中的除数或几个除数的最小公倍数记为a , 将结论B 中的除数或几个除数的最小公倍数记为b , 满足条件A 和结论B 的数集分别记为A 和B , 则
解 (1) ∵a =6, b =3, ∴b a .
则A ΑB ,
∴A 是B 的充分条件. (2) ∵a =〔6, 8〕=24, b =〔3, 8〕=24, ∴a =b , ∴A =B .
(4) A :x +1≥0;
2
∴A 是B 的充要条件. B :x +2x +1≤0.
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