八年级数学压轴题

八年级数学压轴题

1. 如图, 直线y = kx+6与x 轴y 轴分别相交于点E,F. 点E 的坐标为(- 8, 0), 点A 的坐标为(- 6,0). 点P （x,y ）是第二象限内的直线上的一个动点。 (1).求K 的值；

(2).当点P 运动过程中，写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，和自变量x 的取值范围； (3).探究：当P 运动到什么位置（求P

（一次函数）

△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，E ⊥A C 2．已知：如图，且B

于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF =AC ； （2）求证：CE =

1

BF ； 2

（3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．

（全等三角形）

3. (1)如图①，A 、B 、C 三点在同一直线上，分别以AC,BC 为边在AB 的同侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE 、BD ，M 、N 分别为AE 、BD 的中点，连接CM 、CN 、MN. 则△CMN的形状是________三角形；

(2)如图②，A 、B 、C 三点在同一直线上，分别以AC,BC 为边在AB 的同侧作等腰Rt△ACD 和等腰Rt△BCE ．∠ACD=∠BCE=90°，连接AE 、BD ，M 、N 分别为AE 、BD 的中点，连接 CM 、CN,MN. 则△CMN的形状是______三角形；

(3)如图③，在图②的基础上，将△BCE绕点C 旋转一定的角度，其它条件不变，请将图形补充完整．试判断△CMN的形状，并说明理由． （全等三角形）

4. 一次函数y=x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，E 为OA 上一动点，D 为OB 的延长线上一动点，且AE=BD

(1)当E 为OA 中点时，求C 点坐标．

(2)当E 运动到x 轴正半轴上，仍有AE=BD，过E 作EF ⊥AB 于F, 变，请求出其值；若变化，请求其变化范围．

（一次函数）

FC

的值是否变化？若不AB

5. 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为A （4，0），B （0，－4），P 为y 轴上B 点下方一点，PB=m（m>0），以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM=PA，点M 落在第四象限。

（1）求直线AB 的解析式；

（2）用m 的代数式表示点M 的坐标；

（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由。

（一次函数）

6. 如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，AD=AE，AF ⊥BE 交BC 于点F ，过点F 作FG ⊥CD 交BE 的延长线于点G ，交AC 于点M 。 （1）求证：△EGM 为等腰三角形；

（2）判断线段BG 、AF 与FG 的数量关系并证明你的结论。

（全等三角形）

7．如图，已知直线OA 的解析式为y =x ，直线AC 垂直x 轴 于点C ，点C 的坐标为（2，0），直线OA 关于直线AC 的 对称直线为AB 交x 轴于点B ． （1）写出点A 及点B 的坐标；

（2）如图，直线AD 交x 轴与点D ，且△ADB 的面积为1， 求点D 的坐标；

（3）作OE ⊥AD 于点E ，交AC 于点H ，作BF ⊥AD 于点F ， 求证：OE =AF ，并直接写出点H 的坐标．

（一次函数）

8. 如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是y 1=x和y 2=-2x+6，动点P （x ，0）在OB 上运动（0

（1）求点C 的坐标，并回答当x 取何值时y 1>y2？

（2）设△COB 中 位于直线m 左侧部分的面积为s ，求出s 与x 之间函数关系式． （3）当x 为何值时，直线m 平分△COB 的面积？（10分） （一次函数）

9. 08年5月12，四川省汶川等地发生强烈地震。在抗震救灾中，甲、乙两重

灾区急需一批大型挖掘机，甲地需25台，乙地需23台；A 、B 两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区．若从A 省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元，到乙地要耗资0.3万元；从B 省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元，到乙地要耗资0.2万元．设从A 省调往甲地x 台，A 、B 两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y 万元．

（1）求出y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案？

（3）怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资是多少万元？

（（一次函数、不等式）

10. 某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A 县和B 县．已知C ，D 两县运化肥到A ，B 两县的运费（元／吨）如下表所示．

（1）设C 县运到A 县的化肥为x 吨，求总运费W （元）与x （吨）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案． （一次函数）

11. 某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm，B 型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意

设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A.B 两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；

（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式， 并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材

多少张？ （一次函数）

12. 已知：如图，平面直角坐标系中，A （1，0），B （0，1），C （－1，0），过点C 的直线l 绕点C 旋转，交y 轴于点D ，交线段AB 于点E . （1）求∠OAB 的度数及直线AB 的解析式；

（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，

① 求直线CE 的解析式； ② 若y 轴上一点P 满足∠APE=45°，

请直接写出P 点的坐标.

（一次函数）

图15

单位：cm

13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．

（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；

（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？

（一次函数、四边形）

14. 某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y （单位：千米）与所用时间x （单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时． （1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图象．

（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）

（

3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．

（一次函数）

15. 将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.

（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；

（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由. （一次函数、四边形） A D

M

B ˊ (四边形)

16. 用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分, 其中M 为AD 的中点. 用这两部分纸片可以拼成一些新图形, 例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.

E

A D A B B C 图1 图2 图3 图4

(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE 外, 还可以拼成一些四边形. 请你试

一试, 把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.

(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形, 设原矩形纸片中的边AB 和

BC 的长分别为a 厘米、b 厘米, 且a 、b 恰好是关于x 的方程x -(m -1) x +m +1=0的两个实数根, 试求出原矩形纸片的面积.

（一次函数、四边形）

2

17. 如图，已知：点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB =AC ，DA =DE ，∠BAC =∠ADE =α. ⑴如图1，当α=60°时，∠BCE = ；

A E B C B D

B

图1E 图2

3 （图1） （图2） （图图3）

D E

⑵如图2，当α=90°时，试判断∠BCE 的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范

围；若不变化，请求出其值，并给出证明；

⑶如图3，当α=120°时，则∠BCE = ； （全等三角形）

18、在平面直角坐标系xoy 中，直线y =x +6与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，BC ⊥AB 交x

轴于C . ①求△ABC 的面积.

②D 为OA 延长线上一动点，以BD EA 的解析式.

③点E 是y 轴正半轴上一点，且∠OAE =30°，OF 点，点N 是线段AO 小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.

（一次函数）

19. 如图，直线l 1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 2与直线l 1关于x 轴对称，已知直线l 1的解析式为y =x +3，（1）求直线l 2的解析式；

（2）过A 点在△ABC的外部作一条直线l 3，过点B 作BE ⊥l 3于E, 过点C 作CF ⊥l 3于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF

（3）△ABC沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值。在

（一次函数）

20. 如图①，直线AB 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.OA 、OB 的长度分别为a 和b ，且满足a -2ab +b =0. ⑴判断△AOB 的形状.

⑵如图②，正比例函数y =kx (k

AB 交于点Q ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ， BN ⊥OQ 于N ，若AM=9，BN=4，求MN 的长.

⑶如图③，E 为AB 上一动点，以AE 为斜边作等腰直角△ADE ，P 为BE 的中点，连结PD 、PO ，试问：线段PD 、PO 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.

2

2

①

21. 一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示：

（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？

（3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围.

（反比例函数）

22. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，-1），且P （-1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形

OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．

（正、反比例函数）

图

23. 恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A ) 和世界级自然保护区星斗山(B ) 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，

AB =50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1=PA +PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2=PA +PB ．

（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2=PA +PB 的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、

B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

P

图（1）

图（2） 图（3）

（勾股定理）

24. 四：在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE ，且∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接BD ．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．

3

PQ ； 3

（2）若 BC＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与

(1) 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋

x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；

（3）在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段PG 的长。

（相似形、三角函数）

25. 七：如图, 矩形纸片ABCD 中, AB =8,将纸片折叠, 使顶点B 落在边AD 的E 点上, BG =10. (1)当折痕的另一端F 在AB 边上时, 如图(1).求△EFG 的面积.

(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时, 如图(2).证明四边形BGEF 为菱形, 并求折痕GF 的长.

图（1）

图（2）

（相似形、四边形） A

F 26. 如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射

线BC 上，且PE=PB.

（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；

（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.

（四边形、二次函数最大值）

E

E

D

27. 如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合) ，以CG

为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a ≠b ，k >0) ，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =

1

，求BE 2+DG 2的值． 2

（四边形）

28. 为预防甲型H1N1流感，某校对教室喷洒药物进行消毒. 已知喷洒药物时每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比，药物喷洒完后，y 与x 成反比例（如图所示）．现测得10分钟喷洒完后，空气中每立方米的含药量为8毫克．

（1）求喷洒药物时和喷洒完后，y 关于x 的函数关系式；

（2）若空气中每立方米的含药量低于2毫克学生方可进教室，问消毒开始后至少要经过多少分钟，学生才能回到教室？

（3）如果空气中每立方米的含药量不低于4毫克，且持续时间不低于10分钟时，才能杀灭流感病毒，那么此次消毒是否有效？为什么？

y (毫克)

8

（正、反比例函数） O x (分钟) 10

29．如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°, 且BE 在AB 边上, 取AE 的中点F,CD 的中点G, 连结GF.

（1）FG 与DC 的位置关系是 ,FG与DC 的数量关系是 ；

（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变, 请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论. A

F

D E

G

C B

A

C （三角形） B

2

30．如图，直线y=x+b（b ≠0）交坐标轴于A 、B 两点，交双曲线y=于点D ，过D 作两坐

x

标轴的垂线DC 、DE ，连接OD ．

（1）求证：AD 平分∠CDE ； （2）对任意的实数b （b ≠0），求证AD ·BD 为定值；

（3）是否存在直线AB ，使得四边形OBCD 为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

（四边形、一次函数）

31. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=Rt∠，AD=21cm，BC=24cm，动点P 从点A 出发沿AD 边向D 以1cm/s的速度运动，另一动点Q 同时从点C 出发沿CB 边向点B 以2cm/s的速度运动（运动到点B 时，P 、Q 同时停止运动）．设点P 运动时间为t ． （1）t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？

（四边形）

32、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿线段AB 方向向点B 运动，点Q 从点D 出发，以每秒3cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P 、Q 同时发，当点P 运动到点B 时，P 、Q 运动停止，设运动时间为t ． （1）求CD 的长；

（2）当四边形PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；

（3）在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ 的面积为20cm 2？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．

（四边形）

33、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝16cm ，AB ＝12cm ，BC ＝21cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动，点P ，Q 分别从点B ，A 同时出发，当点Q 运动到点D 时，点P 随之停止运动，设运动的时间为t(秒). （1）当t 为何值时，四边形PQDC 是平行四边形.

（2）当t 为何值时，以C,D,Q,P 为顶点的梯形面积等于60cm 2？

（3）是否存在点P ，使△PQD 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由.

第33题

（三角形、四边形）

34、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=15，BC=25，AB=DC=10，动点P 从点D 出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA 的方向向点A 运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB 的方向运动，点P 、Q 分别从点D 、C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。 （1）当t=2时，求△APQ 的面积；

（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间t ；

（3）当t 为何值时，以A 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（三角形、四边形）

35、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α。

（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ； ②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当α=90°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由。

（四边形）

36、等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，点P 是腰AB 上的一个动点．

（1）求BC 的长．

（2）如图1，如果点M 在BC 上，BM=12，PM 平分梯形ABCD 的面积，求此时PB 的长； （3）过点P 作直线PM ，是否存在PM 将梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时PB 的长；若不存在，请说明理由。

（四边形）

37、已知边长为4的正方形ABCD ，顶点A 与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C ，动点P 以每秒1个单位速度从点A 出发沿AB 方向运动，动点Q 同时以每秒4个单位速度从D 点出发沿正方形的边DC-CB-BA 方向顺时针折线运动，当点P 与点Q 相遇时停止运动，设点P 的运动时间为t ．

（1）求出该反比例函数解析式．

（2）连接PD ，当以点Q 和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD 全等时，求点Q 的坐标．

（3）用含t 的代数式表示以点Q 、P 、D 为顶点的三角形的面积s ，并指出相应t 的取值范围．

（反比例函数）

38、如图①、②、③中，点E 、D 分别是正△ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN

中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB 交AE 于P 点。 （1）求图①中，∠APD 的度数为

（2）图②中，∠APD 的度数为 ，图③中，∠APD 的度数为 ； （3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况，若能，写出推广问题和

结论；若不能，请说明理由。

（多边形）

39、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）除了正方形外，写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称： ；

（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0），A （3，0），B （0，4），请你画出以格点为顶点，OA ，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ，并写出点M 的坐标； （3）如图2，以ΔABC 的边AB ，AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACFG ，连结CE ，BG 相交于O 点，P 是线段DE 上任意一点．求证：四边形OBPE 是勾股四边形。

（阅读题）

40、刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，在Rt △ABC 中∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；Rt △FDE 中∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。如图是刘卫同学所做的一个实验，他将Rt △FDE 的直角边DE 与Rt △ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△FDE 沿AC 的方向移动，在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）。

（1）在△FDE 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐 ；（填“不变”、“变大”或“变小”） （2）刘卫同学经过进一步的研究，编制了如下问题：

问题①：当△FDE 移动到什么位置时，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行？ 问题②：当△FDE 移动到什么位置时，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形能构成直角三角形？（请完成解答过程。）

（阅读题）

F

41、把一幅三角板按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B ，C （E ），F 在同一条直线上。∠ACB=∠DFE=90°，∠A=30°，∠DEF=45°，BC=EF=8cm，点P 是线段AB 的中点。△DEF 从图（1）出发，以4cm/s的速度沿CB 方向匀速移动，如图（2），DE 与AC 相交于点Q 。当点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，设移动时间为t （s ），解答下列问题； （1）当t=1时，求出AQ 的长；

（2）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上； （3）当t=2时，如图（3），△ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到△A ˊB ˊC ˊ，点P ˊ是A ˊB ˊ中点，则DP ˊ= cm 。（直接写出答案）

（三角形）

42、在△ABC 中，AB=AC，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD=AE，∠DAE=∠BAC, 连接CE 。 （1）如图1，当点D 在线段BC 上，求证∆ABD ≅∆ACE ； （2）设∠BAC=α，∠BCE=β。

①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎么样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在线段CB 的延长线上时，则α，β之间有怎么样的数量关系，请画出图形并直接写出你的结论。

B D

图1

（三角形）

E

E

C

D

图2

C

B C

43. 26．（2012重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．

（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；

（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFC 为正方形B′EFG，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B′EFG的边EF 与AC 交于点M ，连接B′D，B′M，DM ，是否存在这样的t ，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．

（四边形、相似三角形）

44. Rt△ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y =

k

(k ≠0) 在第一象限内的x

图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．

（1）求m 与n 的数量关系；

（2）当tan ∠A ＝

1

时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； 2

（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．

图1

（正、反比例函数、相似三角形）

45. 如图，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m ) 是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．

（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；

（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；

（相似三角形）

46. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数y B ．

（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒． 当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

（一次函数）

4

x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点3

47. 如图，在直角坐标平面内有点A (6, 0)，B (0, 8)，C (－4, 0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向作匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向作匀速运动，MN 交OB 于点P ． (1)求证：MN ∶NP 为定值；

(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长； (3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．

图

（相似三角形）

48. 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．

1

（1）已知直线①y =-x +2；②y =x +2；③y =2x +2；④

2

y =2x +4和点C (0，2) ，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0) 、B (2，7) 、C (0，7) ，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．

（一次函数、相似三角形）

49. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；

（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．

（相似三角形、四边形）

50. 在直角梯形OABC 中，CB //OA ，∠COA ＝90°，CB ＝3，OA ＝6，BA

＝．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．

（1）求点B 的坐标；

（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；

（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2

（相似三角形、四边形、一次函数）

m

(x ＞0) 交于点B (2，1) ．过点P (p , p -1) (p x

m m

＞1) 作x 轴的平行线分别交曲线y =(x ＞0) 和y =-(x ＜0) 于M 、N 两点．

x x

（1）求m 的值及直线l 的解析式；

（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；

（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．

51. 如图，直线l 经过点A (1，0) ，且与双曲线y =

（一次函数、反比例函数、相似三角形）

52. 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y =-

1

x +b 交折线OAB 于点E ． 2

（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

（函数、四边形）

53. 如图，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行； （2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？

（相似三角形）

54. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；

（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．

CP 12

。 CM 13

图1 图2 备用图

（相似三角形）

55. 如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，．

BH 5

AB 13

探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．

拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）

（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；

（2）求(m ＋n ) 与x 的函数关系式，并求(m ＋n ) 的最大值和最小值；

（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

图1 图2

（函数）

56. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0) ，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．

（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；

（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；

图

（函数）

57. 如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC

＝BAC ＝30°。点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线P A 的同侧．设运动的时间为t 秒（t ≥0）．

（1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；

（3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？若存在，求

出对应的t 的值；若不存在，请说明理由． 图1

（四边形）

58. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF //BC 交CD 于点F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°． （1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交BC 于M ，过M 作MN //AB 交折线ADC 于N ，连结PN ，设EP ＝x ．

①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．

（四边形）

59. 如图，直线y =-

图1 图2 图3

4

x +4和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． 3

（1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．

① 求S 与t 的函数关系式；

② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．

图

（相似三角形）

60. 在平面直角坐标系中，已知点A (－2,0) ，B (0,4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA ． （1）如图1，求点E 的坐标；

（2）如图2，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE ′O ′，连结A ′B 、BE ′．

①设AA ′＝m ，其中0＜m ＜2，使用含m 的式子表示A ′B 2＋BE ′2，并求出使A ′B 2＋BE ′2

取得最小值时点E ′的坐标；

②当A ′B ＋BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标（直接写出结果即可）．

图1 图2

（相似三角形）

61某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）操作发现：

在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．

①AF ＝AG ＝

1

AB ；②MD ＝ME ；③整个图形是轴对称图形；④MD ⊥ME ． 2

（2）数学思考：

在任意△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则MD 与ME 有怎样的数量关系？请给出证明过程；

（3）类比探究：

在任意△ABC 中，仍分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，试判断△MDE 的形状．答：_________．

图1

（中位线、直角三角形斜边上中线）

62. 如图, 在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动. 设BD=x , CE=y . (1)如果∠BAC=30°, ∠DAE=105°, 试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α, ∠DAE 的度数为β, 当α, β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立? 试说明理由.

（相似三角形）

B

63. 如图，在∆ABC 中，AB =AC =5, BC =6，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）试求∆ABC 的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设AD =x ，∆ABC 与正方形DEFG 重叠部分的 面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（4）当∆BDG 是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．

（函数、等腰三角形）

64. 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D

处。已知折叠CE =C

且。

EA 3

= DA 4

（1）判断△OCD 与△ADE 是否相似？ 请说明理由；

（2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标； （3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、

直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

（相似三角形）

65. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB =90，点A ，C

0) ，C (1，0) ，的坐标分别为A (-3，

BC 3

= AC 4

（1）求过点A ，B 的直线的函数表达式； （2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，

使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等）， 并求点D 的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P ，Q 分别是AB 和

x

AD 上的动点，连接PQ ，设AP =DQ =m ，问是否

存在这样的m 使得△APQ 与△ADB 相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由。

（相似三角形）

66. 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s，点Q 运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

（相似三角形）

67. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90，AB =6，AC =8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ =x ，QR =y ．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

（相似三角形）

68. 直线y =-

3

x +6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到4

运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →

达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA

B →A 运动．

（1）直接写出A 、B 两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当S =

48

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第5

四个顶点M 的坐标．

（相似三角形）

69. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与

t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成

为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值． ．．

（相似三角形）

，∠B =60°，BC =2．70. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°点

O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，

交AB 边于点D ．过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线

l 的旋转角为α．

69题图

（备用图）

（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形， 此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形， 此时AD 的长为 ；

（2）当α=90°时，判断四边形EDBC 是否为菱形， 并说明理由．

（四边形）

71. 如图，在梯形ABCD

中，AD ∥BC ，AD =3，DC =5，AB =B =45︒．动点

M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．

（2）当MN ∥AB 时，求t 的值．

（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．

（相似三角形）

72. （1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．

（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究：

Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC边BA 上运动时（点D 与点B 不重合）连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′，连接AF 、BF′，探究AF 、BF′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．

Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．