有关梯形的概念.等腰梯形的性质.判定及应用
有关梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用
一. 教学内容:
梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及中位线的应用 二. 重点、难点
重点:等腰梯形的性质与判定定理。 难点:等腰梯形的性质与判定定理的应用。 三. 具体过程
(一)梯形的有关概念
1. 梯形:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形 注:(1)梯形是特殊的四边形 (2)有且只有一组对边平行。
2. 梯形中平行的两边叫做梯形的底,短边为上底,长边为下底,与位置无关,不平行的两边叫做梯形的腰,梯形两底之间的距离叫做梯形的高,它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。 3. 梯形的分类
一般梯形梯形直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
(1)直角梯形:有一个角为直角的梯形为直角梯形
(2)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形
(二)梯形的性质
1. 一般梯形的性质 在梯形ABCD中,AD∥BC,则∠A+∠B=180,∠C+∠D=180
2. 直角梯形具有的特征 在直角梯形ABCD中,若AD∥BC,∠B=90,则∠A=90,∠C+∠D=180 3. 等腰梯形具有的性质 (1)等腰梯形同一底上的两个内角相等
(2)等腰梯形的两条对角线相等
(3)等腰梯形是轴对称图形,但不是中心对称图形,等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。
4. 等腰梯形的判定 (1)利用定义:
(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 (3)对角线相等的梯形是等腰梯形
二梯形题目的转化策略
常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化,变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:
1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形.
【例1】 已知:如图2,在梯形ABCD中
,
.
.
求证:
【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,
若
.AD = 7 ,BC = 15 ,求EF .
2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题. 【例3】.如图,在梯形梯形
3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形.然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题. 【例4】.如图,在梯形
中,
.求证:
.
中,
,
,梯形 .
的面积与
的面积相等.求证:
4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决.
【例5】.如图,等腰梯形
中,
.
, ,且 , 是
高,
是中位线,求证:
【例6】.已知:如图,在梯形等腰梯形.
中, .求证:梯形 是
5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题.
【例7】.已知:如图4,在梯形
中,.
是 的中点,
且
.求证:
.
【例8】.已知:梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AD+BC=DC , 求证:DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.
证法2:延长CE与DA延长线交于一点F,过程略.
证法3:在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决.
6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转利用一腰中点旋转
、将梯形补成平行四边形或三角形问题.
、
【例9】.已知:如图5,在梯形ABCD 中
,
N分别是BD 、AC 的中点.
求证:
.
M、
取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形.
【例10】.如图,梯形为
中点,求证:
中,
.
, 、 分别平分 和 ,
分析:要证明
与
的延长线交于 ,再证明
.
,可以利用 ,
即可.
为 中点,
延长,
得到
【例11】.已知:如图,
在梯形点.求证: .
说明:在图5中,
得到;在图6中,
相当于由
是由
.
中, 是CD的中
绕点E
旋转 绕点E旋转
得到.
【例12】.如图,梯形 中, , 为腰 的中点,
求证:
.
巩固练习
例1. 如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC平分∠BAD,∠B60,CD=2cm,则梯形ABCD的面积为
A. 33cm
2
B. 6cm
2
C. 6cm
2
D. 12cm2
例2. 如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是AD延长线上一点,DE=BC,
(1)求证:∠E=∠DBC (2)判断△ACE的形状
例3. 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,求S梯形ABCD。
例4. 如图,已知:AD是△ABC边BC上的高线,E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,求证:四边形EDGF是等腰梯形。
例5. 有一块梯形形状的土地,现要平均分给两个农民种植(即将梯形面积两等分),在图1和图2中,试设计两种方案,并说明理由。
图1
图2
【模拟试题】
1. 等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm,•则等腰梯形的下底角为_____. 2. 如图,在梯形ABCD中,∠DCB=90°,AB∥CD,AB=25,BC=24. 将该梯形折叠,点A恰好与点D重合,BE为折痕,那么AD的长度为________.
3. 如图所示,图(1)中梯形符合_________条件时,可以经过旋转和翻折形成图(2).
4. 如图所示,梯形纸片ABCD,∠B=60°,AD∥BC,AB=AD=2,BC=6,将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕为AE,则CE=________.
5. 如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB≠AD,对角线AC,BD相交于点O,如下四个结论:①梯形ABCD是轴对称图形;②∠DAC=∠DCA;③△AOB≌△DOC.
请把其中正确结论的序号填在横线上:________.
6. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长,•那么这个梯形一内角是( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
7. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,CD=5,则AD的长是( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
8. 如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AC⊥BC,点E是AB的中点,EC∥AD,则∠ABC等于( )
A. 75° B. 70° C. 60° D. 30°
9. 如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=8,则此等腰梯形的周长为( )
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
10. 如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED,连AE、CE,则△ADE的面积是( ) A. 1
B. 2
C. 3 D. 不能确定
11. 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是底边BC的中点,连接AE、DE. 求证:△ADE是等腰三角形.
12. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°.
求证:(1)BD⊥DC;(2)若AB=4,求梯形ABCD的面积.
13. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠B=60°,DE∥AB. 求证:(1)DE=DC;(2)△DEC是等边三角形.