周期函数最小正周期存在性及其应用论文

中学代数研究

期末论文

周期函数最小正周期存在性及其应用

学生姓名： 陈益梅 学 号： [1**********]3 学 院： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2011 班 级： 双师一班 指导老师： 潘飚

周期函数最小正周期存在性及其应用

陈益梅（2011级双师一班）

摘要：对周期函数的最小正周期存在的条件及性质进行了探讨，也给出了说明结果的一些例子，并总结了些求最小正周期的方法。

关键词：周期函数；最小正周期；狄利克雷函数；最小正周期的求法

一、引言

我们都知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期，如sinx，cosx，tanx等。但也有些周期函数并无最小正周期，例如常值函数、狄利克雷函数等。那么，什么样的周期函数一定存在最小正周期？

二、基本概念

定义：若函数f(x)为M上的周期函数，T称为函数f(x)的一个周期，如果在所有周期中存在一个最小正数T’，那么T’叫做f(x)的最小正周期或基本周期。

三、最小正周期存在的条件

定理1 定义域上的非常值的连续周期函数一定有最小正周期。

(反证法)

假定f(x)为连续周期函数，若f(x)不存在最小正周期，则f(x)为常数函数。 记u=imfS,若u属于周期集合S,则与假设相反。

若uS,则存在TnS,使得limTnu,所以f(x+u)=f(x+limTn).又f(x)连续，nn

所以f(x+limTn)=f(lim(x+Tn))=f(x) = f(x+u).综上所述，u=0。 nn

对定义域上任意的x1,x2，f(x)在x2处连续，即a>0,>0,使得当|x-x2|

|x1+nr-x2|

定理2[1] 有连续区间的非常值周期函数一定存在最小正周期．

证明 (反证)．假设无最小正周期，设函数的连续区间为I,I的长度记为d，则存在正周期T，使T

定理3[2] 设f(x)是定义域M上的非常值周期函数，若f(x)在M上至少有一个连续点，则f(x)必有最小正周期。

证明：（用反证法）

由于f(x)不是常数，所以存在点y小于连续点x1,使f(x1)f(y),记en=x1y,假n设f(x)没有最小正周期，那么，对每一个en有周期rn,适合0

f(xn)=f(y)。另一方面，显然有xn->x1(当n趋于无穷大时)，根据f(x)在点x1处的连续性，有f(xn)->f(x1)。从而f(x1)=f(y),与假设相矛盾，这就证明了f(x)有最小正周期。(假设x1

推论：非常值的周期函数如果没有最小正周期，则此函数必是处处不连续的函数。 反之，在处处不连续的非常值周期函数类中，也常常包含具有最小正周期的周期函数。

例1 设有函数f(x)，对于任意的n属于整数，

当2n≤x

若x是无理数，f(x)=1；若x是有理数，f(x)=-1.

当2n+l≤x

若x是无理数，f(x)=2；若x是有理数，f(x)=-1. 此函数是一个处处不连续的函数，但有最小正周期T=2.

总结：通过以上讨论，我们得出连续性只能是最小正周期存在的充分条件，而非必要条件．即存在最小正周期的函数可能连续、部分连续或处处不连续。 定理4[3] 若T1，T2是函数f(x)的两个周期，且

小正周期。

然而狄利克雷函数以任何非零有理数为周期，但由于有理数中无最小正数，故D(x)无最小正周期。从此例可看出任意两个周期之比皆为有理数，但它没有最小正周期，这说明定理4的逆定理不成立。 T1为无理数，则f(x)不存在最T2

四、最小正周期的应用及性质

1 若t是函数的一个周期，n为非零整数，则nt并不一定能包含函数的所有周期，但当t为函数的最小正周期时，nt就能包括函数的所有周期。

证明：记函数f所有周期构成的集合为S，对任意的T属于集合S，有T=nt+r,其中0=

定理5[4] 设f(x)是以2L为最小正周期的可积周期函数,则对任意自然数K,在区

间[0，2L]上和在区间[0，K*2L]上计算f的傅里叶级数结果相同。

2 复合函数的最小正周期：

(1) 如果f(u)是定义在集合M上的函数，而u=g(x)是定义在集合N上的周期函数，且最小正周期为T，当xN时，g(x)M，那么复合函数f[g(x)]是集合N上的周期函数。但最小正周期不一定还是T。

例2 g(x)=sinx,f(x)=c, 则f[g(x)]=c,此时无最小正周期。

例3 g(x)=sinx,f(x)=x²,则f[g(x)]=sin2x=1cos2x,即周期为2 2

T1是有理T2

数，那么它们的和与积也是定义在M上的周期函数。此时T1和T2的最小公倍数是函数f(x)+g(x)的一个周期，但未必是最小正周期。 (2)定义在M上的周期函数f(x)、g(x)的最小正周期分别为T1、T2,若

例4 求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.

解:∵y =|sinx|+|cosx|

=|－sinx|+|cosx|

=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|

=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|

=f(x+π/2)

|sinx|和|cosx|的最小正周期的最小公倍数为π，但函数|sinx|+|cosx|的最小正周期为π/2。即两函数最小正周期的最小公倍数是两函数的和的函数周期,但不是最小正周期。

五、最小正周期的求法一般为以下三种

1.1 用周期函数的定义求最小正周期，即取适当的xo∈M，(常取xo=0)，找出使f(xo+T)=f(xo)成立的最小正数T，若能证明此T值对任意x∈M，f(x+T)=f(x)都满足，则T就是最小正周期。

1.2 先找出函数的一个正周期再证明它是最小的。

例5 求f(x)=x一[x]的最小正周期

解：1)因为f(x十1)=(x+1)一[x+1]=x+1一([x]+1)=x一[x]=f(x)，所以1是f(x)的一个正周期。

2)任意0

1.3 由已知的某个函数的最小正周期，根据下面的定理

或推论求出要求的函数的最小正周期。

定理6

如果T是f(x)的最小正周期，则

证明：先证T是f(ax+b)的最小正周期，其中a≠o 1a1T是f(ax+b)的周期，由周期函数的定义，令y=ax+b,则有1a1

TTf[a(x+)+b]=f(ax+bT)=f(yT)=f(y)=f(ax+b),所以是f(ax+b)的周1a11a1

TT期。再证是f(ax+b)的最小正周期，即0

则有：

f[a(x+T’)+b]=f(ax+b),即f(ax+b+aT’)=f(ax+b),

令y=(ax+b),得f(y+aT’)=f(y),即aT’是f(x)的周期，但

|aT’|=|a|T’

故T

由定理6得出：

推论：Kf(ax+b)+B与f(ax)有相同的最小正周期。

六、针对三角函数的有 1.1.1 公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|w| ，正余切函数T=π/|w|．

例6 求函数y=cotx－tanx的最小正周期.

解：y=1/tanx－tanx=(1－tan²x)/tanx=2*(1-tan²x)/(2tanx)=2cot2x ∴T=π/2

1.1.2 最小公倍数法

设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期为T1、T2的最小公倍数，最小正周期=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数。

例7 求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.

例8 求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.

解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1=10π.

∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.

1.1.3 图象法

例9 求y=|sinx|的最小正周期.

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

参考文献：

[1]袁建忠，严顺清.关于周期函数的最小正周期的存在性.数学通报，2001，（7）：21-22

[2]杨曼英.关于周期函数及最小正周期的探讨.娄底师专学报,2001，（2）：79-81

[3]郑林.函数的周期性[J].广西师院学报，1994,（1）：90-93

[4]华东师范大学数学系编.数学分析.第四版.高等教育出版社，2011