双曲线高考复习题

1．双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；

(2)动点到两定点的距离的一定

值

；

(3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程和几何性质

1．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|则轨迹不存在．

2．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．

若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2) ； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e 2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e 2.

3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.

b

4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为，

a a

当焦点在y 轴上，渐近线斜率为.

b

[试一试]

1. 双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( ) A ．y ＝±x C ．y ＝3x

B ．y ＝2x D ．y ＝±2x

y 2x 2

解析：选A 由题意知1，y ＝±x .

22

x 2y 2

2．已知双曲线C 1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )

a b x 2y 2

1 205x 2y 2

＝1 8020

x 2y 2

－1 520x 2y 2

＝1 2080

解析：选A 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐b 11b

近线方程为y ＝x ，得＝，解得a 2＝20，b 2＝

5.

a 22a

1．待定系数法求双曲线方程的常用方法

x 2y 2x 2y 2

(1)－＝1共渐近线的可设为λ(λ≠0) ；

a b a b b x 2y 2

(2)若渐近线方程为y ＝x ，则可设为－＝λ(λ≠0) ；

a a b x 2y 2

(3)若过两个已知点则设为1(mn

m n 2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系

双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系) ．

3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 4．渐近线与离心率

x 2y 2b 1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为＝ a b a b ＝ a c －a e －1. 可以看出，a

双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．

[练一练]

x 22

1．(2013·福建高考) 双曲线y ＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )

42 52 5

454

5

x 22x

解析：选C 双曲线y ＝1的渐近线方程为y ＝x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点

42(±2,0) 到其渐近线距离为

22.

55

x 2y 2

2．(2013·云南模拟) 已知F (c, 0) 是双曲线C 1(a ＞0，b ＞0) 的右焦点，若双曲线

a b 1

C 的渐近线与圆E ：(x －c ) 2＋y 2＝2相切，则双曲线C 的离心率为________．

2

解析：依题意得，圆心F (c, 0) 到渐近线的距离等于

22

c ，即有b ＝(注：双曲线的一22

c

个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长) ，c 2＝2b 2＝2(c 2－a 2) ，c 2＝2a 2，2，即双

a 曲线C

的离心率为2.

2

y 2

1．设F 1，F 2是双曲线x －＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，

24

2

则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．42 C ．24

B ．83 D ．48

解析：选C 双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝2×5＝10. 据题意和双曲线的定义知，41

2＝|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|－|PF 2|＝PF 2|，

33

∴|PF 2|＝6，|PF 1|＝8.

∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴PF 1⊥PF 2，

11

∴S △PF 1F 2PF 1|·|PF 2|＝6×8＝24.

22

x 2y 2

2．已知F 1，F 2为双曲线1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲

54线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )

＋4 37－25

37－4 37＋25

解析：选C |AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－ 2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|37，

∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－ 2a ＝37－25.

33．(2013·广东高考) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)C

2的方程是( )

x 2y 2

－＝1 45x 2y 2

－＝1 25

x 2y 2

－1 45x 2y 2

－＝1 25

解析：选B 由题意可知c ＝3，a ＝2，b c －a ＝3－2＝5，故双曲线的方程为x 2y 2

－1. 45

[类题通法]

1．应用双曲线的定义需注意的问题：

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点) 具备的几何条件，即“到两定点(焦点) 的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．

2．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．

角度一 已知离心率求渐近线方程

x 2y 25

1．(2013·新课标卷Ⅰ) 已知双曲线C 1(a >0，b >0)的离心率为C 的渐近

a b 2线方程为( )

1

A ．y ＝

41

C ．y ＝x

2

2

1

B ．y ＝x

3D ．y ＝±x

22

c 2a ＋b b 25b 21b 11

解析：选C ∵e ＝＝1＋＝，∴，∴y ＝.

a a a 4a 4a 22

角度二 已知渐近线求离心率

x 2y 2

2．设双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0) 的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，

a b 则双曲线的离心率为( )

5 45 2

B ．5 5

解析：选D 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝kx ，由题可知这条直线与抛物线y ＝x 2

⎧⎪y ＝kx ，

＋1相切，联立⎨整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0， 2

⎪y ＝x ＋1. ⎩

b c

解得k ＝±2，即＝2，故双曲线的离心率e ＝

a a 角度三 由离心率研究渐近线夹角问题

x 2y 2

3．已知双曲线＝1(a ＞0，b ＞0) 的离心率e 2，则一条渐近线与实轴所成锐角

a b 的值是________．

c 2

解析：∵e 2，∴e ＝2，即2，又c 2＝a 2＋b 2，

a

2

＝ a a ＋b a 1＋(25.

a

b 2b

∴1, 即＝1， a a

π∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是4π答案：4

角度四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围

x 2y 2

4．(2013·惠州模拟) 已知双曲线－＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值

a b 范围为( )

A ．(1，5) C ．5，＋∞)

B ．(1，5] D ．5，＋∞)

b b

解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y x ，则由题意得2，

a a c

∴e ＝

a

[类题通法]

解决渐近线与离心率关系的问题方法

b a

(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝或m ＝讨论．

a b (2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．

⎫2

1＋⎛⎝a ⎭1＋45.

2

[典例] (2014·铜陵一模) 若双曲线E y ＝1(a ＞0) 的离心率等于2，直线y ＝kx －1

a 与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．

(1)求k 的取值范围；

(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC ＝m (OA ＋OB ) ，求k ，m 的值．

c 2⎧⎧⎪a 2，⎪a ＝1，

[解] (1)由⎨得⎨2

⎪c ＝2，⎩⎪⎩a 2＝c 2－1

故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，

⎧y ＝kx －1，⎪

由⎨22 ⎪x －y ＝1，⎩

得(1－k 2) x 2＋2kx －2＝0. ①

∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，

⎧⎪k ＞1，故⎨ 22

⎪Δ＝(2k )－4(1－k )×(－2)＞0，⎩

⎧k ＞1，即⎨所以1＜k ＜2. ⎩2＜k ＜，

2k 2

(2)由①得x 1＋x 2x 1x 2＝

k －1k －1∴|AB |＝1＋k (x 1＋x 2)－4x 1x 2 ＝2

(1＋k )(2－k )

＝3，

(k －1)整理得28k 4－55k 2＋25＝0， 55∴k 2＝或k 2＝74又1＜k ＜2， ∴k 5， 2

所以x 1＋x 2＝5， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2) －2＝8.

设C (x 3，y 3) ，由OC ＝m (OA ＋OB ) ，得

(x 3，y 3) ＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m, 8m ) ．

∵点C 是双曲线上一点， 1

∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝4故k ＝

51，m ＝24

[类题通法]

1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y ) 的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．

2．与中点有关的问题常用点差法．

注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系． [针对训练]

已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15) ，则E 的方程．

x 2y 2

解：设双曲线的标准方程为1(a >0，b >0)，

a b 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则有：

⎧⎨x y

⎩a b 1，

22x 2y 21，a b

两式作差得：

y 1－y 2b 2(x 1＋x 2)－12b 24b 2

＝ x 1－x 2a (y 1＋y 2)－15a 5a －15－0

又AB 的斜率是1，

－12－3所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得 a 2＝4，b 2＝5.

x 2y 2

所以双曲线的标准方程是－＝

1.

45

[课堂练通考点]

x 2y 2

1．(2013·北京高考) 若双曲线＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )

a b A. y ＝±2x 1

C. y ＝x

2

B ．y ＝2x 2

D. y ＝x

2

b 2b 1＋⎛＝3，可得＝2，故所求的双曲⎝a a

c

解析：选B 在双曲线中离心率e ＝＝

a 线的渐近线方程是y ＝2x .

y 2x 2

2. (2014·哈师大附中模拟) 与椭圆C ：1共焦点且过点(1，3) 的双曲线的标准

1612方程为( )

y 2

A ．x －1

3

2

B ．y 2－2x 2＝1 y 22

－x ＝1 3

y 2x 2

－＝1 22

y 2x 2y 2

解析：选C 椭圆＋1的焦点坐标为(0，－2) ，(0,2)，设双曲线的标准方程为－

1612m 31－＝1，x

＝1(m ＞0，n ＞0) ，则⎨m n 解得m ＝n ＝2，故选C. n

⎪⎩m ＋n ＝4，

2

y 2

3．设F 1，F 2分别是双曲线x ＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，则PF 1·PF 2

9

2

＝0，则|PF 1|＋|PF 2|＝( )

5

B ．210 D ．19

解析：选D ∵PF 1·PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2， 2 2

∴|PF 1|＋|PF 2|＝40，

2 2 2 又||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，∴||PF 1|－|PF 2||＝|PF 1|＋|PF 2|－2|PF 1|×|PF 2|＝4，

∴|PF 1|×|PF 2|＝18， 2 2 2

||PF 1|＋|PF 2||＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PF 1|×|PF 2|＝76，

∴|PF 1|＋|PF 2|＝219.

x 2y 2

4. (2013·江苏高考) 双曲线1的两条渐近线的方程为________．

169x 2y 23

解析：令－＝0，解得y ＝x .

16943

答案：y ＝x

4

5. 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，2，且过点P (4，－10) ． (1)求双曲线方程；

(2)若点M (3，m ) 在双曲线上，求证：MF 1·MF 2＝0；

(3)求△F 1MF 2的面积．

解：(1)∵e 2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (410) ，∴16－10＝λ，即λ＝6. x 2y 2

∴双曲线方程为－＝1.

66

(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b 6， ∴c ＝3. ∴F 1(－2，0) ，F 2(23，0) ． m m

∴kMF 1kMF 2＝.

3＋233－3m 2m 2

kMF 1·kMF 2＝39－12

∵点(3，m ) 在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3. 故kMF 1·kMF 2＝－1. ∴MF 1⊥MF 2.

∴MF 1·MF 2＝0.

法二：∵MF 1＝(－3－23，－m ) ，

MF 2＝3－3，－m ) ， ∴MF 1·MF 2＝(3＋3) ×(3－3) ＋m 2

＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0.

∴MF 1·MF 2＝0.

(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，

△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.

[课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

x 2y 2

1．设P 是双曲线＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分

a 9别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )

A ．1或5 C ．7

B ．6 D ．9

b 3

解析：选C 由渐近线方程3x －2y ＝0，知. 又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7.

a 2y 2

2．(2013·四川高考) 抛物线y ＝4x 的焦点到双曲线x －＝1的渐近线的距离是( )

3

2

2

1

2C ．1

3 2

3

解析：选B 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝3x ，所以所求距离为

3

，故选B. 2

3．(2013·深圳调研) 双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) 1 4C ．2

2

12D ．4

y 2

解析：选D 双曲线方程可化为x －1，

1m ∴实轴长为2，虚轴长为2 ∴2＝2⎛2

，解得m ＝4. m ⎭

， m

⎝

x 2y 2

4.(2013·郑州模拟) 如图所示，F 1，F 2是双曲线1(a ＞0，b ＞0)

a b 的两个焦点，以坐标原点

O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的

两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) 2＋1 2＋1 23＋1 3＋12

解析：选B 连接AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，|AF 1|＝c ，|AF 2|＝c ，因

|F F |2c 此该双曲线的离心率e ＝3＋1，选B. |AF 2|－|AF 1|c －c

x 2y 2

5．(2013·武汉模拟) 已知P －＝1(a ＞0，b ＞0) 上的点，F 1，F 2是其焦点，a b

5PF 1, ·PF 2, ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( ) 4

A ．5

C ．7

c 5解析：选C 设c ＝a ＋b ，则 a 4

43∴a ，∴b c －a ＝c . 55B ．6 D ．8

∵PF 1, ·PF 2, ＝0(即PF 1⊥PF 2) ，

S △PF 1F 2＝9，

∴|PF 1|·|PF 2|＝18.

⎧⎪||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∵⎨ 222⎪|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，⎩

22⎧|PF 2|＝4a 2，⎪|PF 1|＋|PF 2|－2|PF 1|·∴⎨ 222⎪⎩|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，

两式相减得，2|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，

∴b 2＝9，∴b ＝3，∴c ＝5，a ＝4，∴a ＋b ＝7.

x 2y 2

6. (2013·惠州模拟) 已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦a b

点重合，且双曲线的离心率等于________． 3

解析：由已知可得抛物线y 2＝410x 的焦点坐标为(10，0) ，a 2＋b 2＝10. 又双曲线的离心率e 1010＝， a 3

x 22∴a ＝3，b ＝1，∴双曲线的方程为－y ＝1. 9x 22答案：－y ＝1 9

x 2y 257．(2013·陕西高考) 双曲线－＝1的离心率为m 等于________． 16m 4

⎧⎪b ＝m ，解析：⎨25e ＝⎪⎩1622a 2＝16， 2516＋m ⇒m ＝9. 1616

答案：9

x 2y 2

8. (2013·石家庄模拟) F 1，F 2分别是双曲线1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的a b 直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．

解析：如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，

因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB |，因此|AF 1|＝2a ，

|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋

12×2a ×4a ×＝28a 2，所以e 7. 2

7

x 2y 2

9．设A ，B 分别为双曲线1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为3，a b 焦点到渐近线的距离为(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y ＝－2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点3

D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．

解：(1)由题意知a ＝3，

∴一条渐近线为y ＝

即bx －23y ＝0. ∴

2b 2x . |bc |3. b ＋12x 2y 2

∴b ＝3，∴双曲线的方程为1. 123

(2)设M (x 1，y 1) ，N (x 2，y 2) ，D (x 0，y 0) ，

则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.

将直线方程代入双曲线方程得

x 2－

163x ＋84＝0，

则x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝12.

43⎧x

y 3∴⎨x y ⎩12－3＝1. 022 ⎧x 0＝43，∴⎨ ⎩y 0＝3.

∴t ＝4，点D 的坐标为3，3) ．

x 2y 2

10. P (x 0，y 0)(x 0≠±a ) 是双曲线E ：－＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E a b

1的左、右顶点，直线PM ，PN 5

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为

双曲线上一点，满足OC ＝λOA ＋OB ，求λ的值．

x 2y 2

解：(1)由点P (x 0，y 0)(x ≠±a ) 在双曲线1上， a b

2x y 2有－＝1. a b

y y 1由题意又有＝ x 0－a x 0＋a 5

c 30可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝＝. a 5

222⎧⎪x －5y ＝5b (2)联立⎨，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0， ⎪y ＝x －c ⎩

设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，

⎧x ＋x ＝2则⎨35b x x ＝⎩4122125c ①

⎧x 3＝λx1＋x 2，⎪设OC ＝(x 3，y 3) ，OC ＝λOA ＋OB ，即⎨ ⎪⎩y 3＝λy1＋y 2.

22又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 3＝5b ，

有(λx1＋x 2) 2－5(λy1＋y 2) 2＝5b 2.

2222化简得：λ2(x 21－5y 1) ＋(x 2－5y 2) ＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2) ＝5b ，

22又A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 在双曲线上，所以x 21－5y 1＝5b ，

22x 22－5y 2＝5b .

由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c ) ＝

－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2) －5c 2＝10b 2，

得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0，或λ＝－4.

第Ⅱ组：重点选做题

x 2y 2

1．(2013·河北省重点中学联考) 设F 1，F 2－＝1(a ＞0，b ＞0) 的左、a b 右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) 5 210 210 35 3

解析：选B 由题可知点A 在双曲线的右支上，则|AF 1|－|AF 2|＝2|AF 2|＝2a ，则|AF 2|＝a ，

c 10得|AF 1|＝3a ，由∠F 1AF 2＝90°，得(3a ) 2＋a 2＝(2c ) 2，则e a 2

x 2y 2

2．(2014·武汉模拟) 已知F 1，F 2分别是双曲线－＝1(a ＞b ，b ＞0) 的左、右焦点，P a b

|PF |2

为双曲线右支上的任意一点．若8a ，则双曲线的离心率的取值范围是________． |PF 2|

c 解析：设|PF 2|＝y ，则(y ＋2a ) 2＝8ay ⇒(y －2a ) 2＝0⇒y ＝2a ≥c －a ⇒e ＝3. a

答案：(1,3]